幾種特殊形式光波

1、幾種特殊形式光波 上節(jié)得到的交變電場上節(jié)得到的交變電場 E 和和交變磁場交變磁場 H 所滿足的所滿足的 波動方程：波動方程： 1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 這是一個二階偏微分方程，根據(jù)邊界條件的不同，解這是一個二階偏微分方程，根據(jù)邊界條件的不同，解 的具體形式也不同，例如的具體形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光可以是平面光波、球面光 波、柱面光波或高斯光束。波、柱面光波或高斯光束。 2 2 22 1 0(18) t f f 2 2 22 2 2 22 1 0 (13) 1 0 E E t H H t 可以表示為如下的一般形式：可以表示為如下的一般形式： 幾種特殊形式光波

2、1. 平面光波平面光波 1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 首先說明，光波中包含有首先說明，光波中包含有電場矢量和磁場矢量電場矢量和磁場矢量， 從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是 從光與介質(zhì)的相互作用來看，其作用不同。從光與介質(zhì)的相互作用來看，其作用不同。 在通常應用的情況下，磁場的作用遠比電場弱，在通常應用的情況下，磁場的作用遠比電場弱， 甚至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量甚至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量 E 稱為光矢量稱為光矢量，把電場把電場 E 的振動稱為光振動，在討論的振動稱為光振動，在討論 光的波動持性

3、時，只考慮電場矢量光的波動持性時，只考慮電場矢量 E 即可。即可。 幾種特殊形式光波 1. 平面光波平面光波 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解 222 2 222 xyz 在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為 為簡單起見，假設為簡單起見，假設 f 不含不含 x、y 變量，則波動方程為變量，則波動方程為 22 222 1 0(19) zt ff 幾種特殊形式光波 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解 11 ()()0 ztzt f 為了求解波動方程，先將其改寫為為了求解波動方程，先將其改寫為 令令 pzt qzt 可以證明可以證明

4、11 () 2 11 () 2 pzt qzt 幾種特殊形式光波 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解 因而，上面的方程變?yōu)橐蚨?，上面的方程變?yōu)?2 0 p q f 求解該方程，求解該方程，f 可表示為可表示為 1( ) ( )()()(20)pqztzt 212 fffff 對于式中的對于式中的 f1(z- t)，(z- t)為常數(shù)的點都處于相同為常數(shù)的點都處于相同 的振動狀態(tài)。如圖所示，的振動狀態(tài)。如圖所示，t0 時的波形為時的波形為 I，tt1時時 的波形的波形相對于波形相對于波形 I 平移了平移了 t1 , 。 幾種特殊形式光波 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解

5、 由此可見，由此可見， f1(z- t) 表示的是沿表示的是沿 z 方向、以方向、以 速度傳速度傳 播的波。類似地，分析可知播的波。類似地，分析可知 f2(z+ t) 表示的是沿表示的是沿 - z 方向、以速度方向、以速度 傳播的波。傳播的波。 f t z t = 0 t1 t2 t1 幾種特殊形式光波 波陣面：將某一時刻振動相位相同的點連接起來，波陣面：將某一時刻振動相位相同的點連接起來， 所組成的曲面叫波陣面。由于此時的波陣面是垂直所組成的曲面叫波陣面。由于此時的波陣面是垂直 于傳播方向于傳播方向 z 的平面的平面(如左圖所示如左圖所示)，所以，所以 fl 和和 f2 是是 平面光波。平面

6、光波。（20）式是平面光波情況下波動方程的式是平面光波情況下波動方程的 一般解。一般解。 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解 O x y z k 幾種特殊形式光波 在一般情況下，沿任一方向在一般情況下，沿任一方向 k、以速度、以速度 v 傳播的平傳播的平 面波，如右圖所示。面波，如右圖所示。 1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解 z O x y k 幾種特殊形式光波 2）單色平面光波）單色平面光波 （1）單色平面光波的三角函數(shù)表示單色平面光波的三角函數(shù)表示 cos()sin()tkztkzfAB 若只計沿若只計沿z 方向傳播的平面光波，其電場表示式為方向傳播的平面光波，其

7、電場表示式為 00 0 cos()cos () cos 2()(21) z EEtkzEt tz E T ee e 最最簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式為為 這就是平面簡諧光波的三角函數(shù)表示式。式中，這就是平面簡諧光波的三角函數(shù)表示式。式中，e 是是 E 振動方向上的單位矢量。振動方向上的單位矢量。 幾種特殊形式光波 （1）單色平面光波的三角函數(shù)表示單色平面光波的三角函數(shù)表示 （21）式表示的平面簡諧光波是一個單色平面式表示的平面簡諧光波是一個單色平面 光波。光波。所謂單色，即指單頻所謂單色，即指單頻。一個單色平面光波是。一個單色平面光波是 一個在時間上無限延續(xù)

8、，空間上無限延伸的光波動，一個在時間上無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動， 在時間、空間中均具有周期性。在時間、空間中均具有周期性。 其時間周期性用周期其時間周期性用周期（T）、頻率、頻率（v）、圓領(lǐng)、圓領(lǐng) 率率（）表征，而由表征，而由（21）式形式的對稱性，其空間式形式的對稱性，其空間 周期性可用周期性可用 、1/ 、k 表征，并分別可以稱為表征，并分別可以稱為空間空間 周期、空間頻率和空間圓頻率周期、空間頻率和空間圓頻率。 幾種特殊形式光波 例如，可以將沿例如，可以將沿 z 方向傳播的平面光波寫成方向傳播的平面光波寫成 采用這種形式，就可以用簡單的指數(shù)運算代替比較采用這種形式，就可以用簡單的

9、指數(shù)運算代替比較 繁雜的三角函數(shù)運算。例如，在光學應用中，經(jīng)常繁雜的三角函數(shù)運算。例如，在光學應用中，經(jīng)常 因為要確定光強而求振幅的平方因為要確定光強而求振幅的平方 E20，對此，只需將，對此，只需將 復數(shù)形式的場乘以它的共軛復數(shù)即可，復數(shù)形式的場乘以它的共軛復數(shù)即可， i() 0 (22) t kz e EE （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 *i()i()2 000 t kzt kz E EE eE eE 幾種特殊形式光波 應強調(diào)的是，任意描述真實存在的物理量的參量應強調(diào)的是，任意描述真實存在的物理量的參量 都應當是實數(shù)，在這里采用復數(shù)形式只是都應當是實數(shù)，在這里采用復

10、數(shù)形式只是數(shù)學上運算數(shù)學上運算 方便的需要方便的需要。 由于對由于對（22）式取實部即為式取實部即為（21）式所示的函數(shù)，式所示的函數(shù)， 所以，對復數(shù)形式的量進行線性運算，只有取實部后所以，對復數(shù)形式的量進行線性運算，只有取實部后 才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進行同樣運才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進行同樣運 算得到相同的結(jié)果。算得到相同的結(jié)果。 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 i() 0 (22) t kz EE e 00 cos()cos2()(21) tz EeEtkzeE T 幾種特殊形式光波 此外，由于對復數(shù)函數(shù)此外，由于對復數(shù)函數(shù) exp-i(t

11、-kz)與expi(t- kz) 兩兩種形式取實部得到相同的函數(shù)，所以對于平面種形式取實部得到相同的函數(shù)，所以對于平面 簡諧光波，采用簡諧光波，采用，exp-i(t-kz)和和expi(t-kz)兩種形兩種形 式完全等效。因此，在不同的文獻書籍中，根據(jù)作者式完全等效。因此，在不同的文獻書籍中，根據(jù)作者 的習慣不同，可以采取其中任意一種形式。的習慣不同，可以采取其中任意一種形式。 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 exp-i(t-kz) expi(t-kz) 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 對于平面簡詣光波的復數(shù)表示式，可以將時間對于平

12、面簡詣光波的復數(shù)表示式，可以將時間 相位因子與空間相位因子分開來寫：相位因子與空間相位因子分開來寫： iii 0 (23) kztt e eEe EE 式中式中 0 (24) ikz e EE 稱為稱為復復振幅。若考慮場強的初相位，復振幅為振幅。若考慮場強的初相位，復振幅為 0 () 0 (25) i kz e EE 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 復振幅表示場振動的振幅和相位隨空間的變化。復振幅表示場振動的振幅和相位隨空間的變化。 在許多應用中，由于在許多應用中，由于 exp(-it) 因子在空間各處都相同，因子在空間各處都相同， 所以只考察場振動的空

13、間分布。所以只考察場振動的空間分布。 進一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢進一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢 k 方向方向 傳播，則其三角函數(shù)形式和復數(shù)形式表示式分別為傳播，則其三角函數(shù)形式和復數(shù)形式表示式分別為 00 cos()(26)t EEk r 0 i() 0 (27) t e k z EE 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 0 i() 0 (28)e k z EE 相應的復振幅為相應的復振幅為 在信息光學中，經(jīng)常遇到相位共扼光波的概念。所在信息光學中，經(jīng)常遇到相位共扼光波的概念。所 謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的謂相位共扼光波，是指兩

14、列同頻率的光波，它們的 復振幅之間是復數(shù)共共軛的關(guān)系。復振幅之間是復數(shù)共共軛的關(guān)系。 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 假設有一個平面光波的波矢量假設有一個平面光波的波矢量 k 平行于平行于 xOz 平面，平面， 在在 z0 平面上的平面上的復復振幅振幅為為 00 *sinsin() 00 (30) iikxiikx eeee EEE 0 iisin 0 (29) kx ee EE 式中的式中的 為為 k 與與 z 軸的夾角，則相應的相位共扼光軸的夾角，則相應的相位共扼光 波復振幅為波復振幅為 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的

15、復數(shù)表示 該式表明，該式表明，此相位此相位共軛共軛光波是與光波是與 波來自同一波來自同一側(cè)側(cè)的的 平面光波，其波矢量平行于平面光波，其波矢量平行于 xOz 平面平面，與與 z 軸夾角軸夾角 為為- 。 x z E* E O - 幾種特殊形式光波 （2）單色平面光波的復數(shù)表示）單色平面光波的復數(shù)表示 0 * 0 (31) ii ee k r EE 如果對照如果對照（30）式，把式，把（28）式的復數(shù)共扼寫成式的復數(shù)共扼寫成 則這個沿則這個沿 -k 方向，方向， 即與即與 波反向傳播波反向傳播 的平面光波也是其相的平面光波也是其相 位共扼光波。位共扼光波。 幾種特殊形式光波 2. 球面光波球面光波

16、 1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球 面光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的面光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的 增大而逐漸擴展的同心球面。增大而逐漸擴展的同心球面。 球面波球面波 r 光線光線 波陣面波陣面 幾種特殊形式光波 2. 球面光波球面光波 球面光波所滿足的波動方程仍然是球面光波所滿足的波動方程仍然是（18）式，式， 只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動方程僅與只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動方程僅與 r 有有 關(guān)，與坐標關(guān)，與坐標 、 無關(guān)，所以球面光波的振幅只隨距無關(guān)，所

17、以球面光波的振幅只隨距 離離 r 變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可 將波動方程表示為將波動方程表示為 2 2 22 1 0(32) f f t 式中式中， 。( , )ff r t 對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此 時時，（32）式可表示為式可表示為 幾種特殊形式光波 2. 球面光波球面光波 即即 2 2 222 11 ()0(33) ff r rrrt 22 222 ()1() 0 rfrf rt 因而其解為因而其解為 12 ()()f rtfrt f rr 其中，其中，f1（r -t）代表從

18、原點沿代表從原點沿 r 正方向向外發(fā)散的正方向向外發(fā)散的 球面光波，球面光波， f2（r +t）代表向原點傳播的會聚球面代表向原點傳播的會聚球面 光波。球面波的振幅隨光波。球面波的振幅隨 r 成反比例變化。成反比例變化。 幾種特殊形式光波 2. 球面光波球面光波 1 cos()(35) A Etkr r 其復數(shù)形式為其復數(shù)形式為 最簡單的簡諧球面光波最簡單的簡諧球面光波單色球面光波的波單色球面光波的波 函數(shù)為函數(shù)為 i()1 (36) t kr A Ee r 復振幅為復振幅為 i1 (37) kr A Ee r 上面三式中的上面三式中的 A1 為離開點光源單位距離處的振幅值。為離開點光源單位距

19、離處的振幅值。 幾種特殊形式光波 3. 柱面光波柱面光波 1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 一個各向同性的一個各向同性的無限長線光源無限長線光源，向外發(fā)射的波是，向外發(fā)射的波是 柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距 離的增大而逐漸展開的同軸圓柱面，如圖所示。離的增大而逐漸展開的同軸圓柱面，如圖所示。 z r 幾種特殊形式光波 3. 柱面光波柱面光波 柱面光波所滿足的波動方程可以采用以柱面光波所滿足的波動方程可以采用以 z 軸為軸為 對稱軸、不含對稱軸、不含 z 的圓柱坐標系形式描述：的圓柱坐標系形式描述： 2 22 11 ()

20、0(38) ff r rrrt 式中，式中， 。這個方程的解形式比較復雜，此。這個方程的解形式比較復雜，此 處不詳述。但可以證明，當處不詳述。但可以證明，當 r 較大（遠大于波長）較大（遠大于波長） 時，其單色柱面光波的表示式為時，其單色柱面光波的表示式為 22 rxy i()1 (39) t kr A Ee r 幾種特殊形式光波 3. 柱面光波柱面光波 復振幅為復振幅為 i1 (40) kr A Ee r 可以看出，柱面光波的振幅與可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。成反比。r i()1 (39) t kr A Ee r 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 1.2 幾種特殊形式的光波幾

21、種特殊形式的光波 由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平 面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相 位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。 在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應用在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應用 最多的是基模（最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在這里僅）高斯光束，因此，在這里僅 討論基模高斯光束。討論基模高斯光束。 有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可 參

22、閱激光原理教科書。參閱激光原理教科書。 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波 動方程（動方程（18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。 它是以它是以 z 軸為柱對稱的波，其表達式內(nèi)包含有軸為柱對稱的波，其表達式內(nèi)包含有 z，且，且 大體沿著大體沿著 z 軸的方向傳播。軸的方向傳播。 2 2 22 1 0(18) t f f 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 考慮到高斯光束的柱對稱性，可以來用圓柱坐考慮到高斯光束的柱對

23、稱性，可以來用圓柱坐 標系中的波動方程形式：標系中的波動方程形式： 222 2222 11 ()0(41)E rrrzt 其解的一般函數(shù)形式為其解的一般函數(shù)形式為 ( , , )EE r z t 可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程：可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程： 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 2 2 2 i() arctan 2 ( ) j( ) 0 00( , , ) (42) ( ) rz r k z R zf tz E Er z teee z 式中式中 E0 常數(shù)，其余常數(shù)，其余 符號的意義為符號的意義為 222 2 0 2 2 0 2 ( )1()(43) (

24、 ) rxy k z z f f R zz z f 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 這里，這里，0=(z = 0) 為基模高斯光束的束腰半徑；為基模高斯光束的束腰半徑； f 為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長度；為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長度； R(z) 為與傳播為與傳播 軸線相交于軸線相交于 z 點的高斯光束等相位面點的高斯光束等相位面 的曲率半徑；的曲率半徑； (z) 是與傳播軸線相交于是與傳播軸線相交于 z 點高斯光束等相位面上的點高斯光束等相位面上的 光斑半徑。光斑半徑。 （42）式的波場就是基模高斯光束的標量波形式，式的波場就是基模高斯光束的標量波形式， 由由（42）式可以看出，

25、基模高斯光束具有以下基本特式可以看出，基模高斯光束具有以下基本特 征：征： 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 （1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布按）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布按 照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑 地下降，如圖所示。地下降，如圖所示。 1/e z0 1 exp-r2/2(z) (z)(z) 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 2 0 ( )1()(44) z z f 可見，光斑半徑隨著坐標可見，光斑半徑隨著坐標 z 按雙曲線的規(guī)律擴展，即按雙曲線的規(guī)律擴展，即 22 22 0 ( ) 1(

26、45) zz f 在在 z0 處，處，(z)=0，達到極小值，達到極小值，稱為束腰半徑稱為束腰半徑。 由中心振幅值下降到由中心振幅值下降到 1/e 點所對應的寬度，定義點所對應的寬度，定義 為光斑半徑。為光斑半徑。 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 如圖所示。在如圖所示。在 z0 處，處，(z)=0，達到極小值，達到極小值， 稱為束腰半徑。由（稱為束腰半徑。由（45）式可見，只要知道高斯光束）式可見，只要知道高斯光束 的束腰半徑的束腰半徑0 ，即可確定任何，即可確定任何 z 處的光斑半徑。處的光斑半徑。 0 是由激光器諧振腔決定的，改變激光器諧振腔的結(jié)構(gòu)是由激光器諧振腔決定的，改變激光器諧振腔的結(jié)構(gòu) 設計，即可改變設計，即可改變0 值。值。 (z) 0 R(z) z 0 幾種特殊形式光波 4. 高斯光束高斯光束 （2）基模高斯光束場的相位因子基模高斯光束場的相位因子 2 00( , ) arctan(46) 2 ( ) rz r zk z R zf 決定了基模高斯光