高等數(shù)學 D1習題課(黑白)

1、二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習題課習題課 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章第一章 1實用精品課件PPT )(xfy y x O D 一、一、 函數(shù)函數(shù) 1. 概念概念 定義定義: Df :R)(Df DxxfyyDf, )()( 定義域定義域 值域值域 圖形圖形: DxxfyyxC, )(),( ( 一般為曲線一般為曲線 ) 設設函數(shù)為特殊的映射函數(shù)為特殊的映射: 其中其中 DR 2實用精品課件PPT 2. 特性特性 有界性有界性 , 單調(diào)性單調(diào)性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性 3. 反函數(shù)反函數(shù) )(:DfDf設函數(shù)設函數(shù)為單射為單射, 反函數(shù)為

2、其逆映射反函數(shù)為其逆映射 DDff )(: 1 4. 復合函數(shù)復合函數(shù) 給定函數(shù)鏈給定函數(shù)鏈)(: 11 DfDf 1 )(:DDgDg 則復合函數(shù)為則復合函數(shù)為 )(:DgfDgf 5. 初等函數(shù)初等函數(shù) 有限個有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)經(jīng)有限次有限次四則運算與四則運算與 復合而成的復合而成的一個一個表達式的函數(shù)表達式的函數(shù). )( 1 Df D )(Dg g 1 D fgf 3實用精品課件PPT 思考與練習思考與練習 1. 下列各組函數(shù)是否相同下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)( 2 xxx與 ax

3、a axx xf , , )()2( 2 )( 2 1 )(xaxax與 0, 0,0 )()3( xx x xf)()(xffx 與 相同相同 相同相同 相同相同 4實用精品課件PPT 2. 下列各種關(guān)系式表示的下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為是否為 x 的函數(shù)的函數(shù)? 為什為什 么么? 1sin 1 ) 1 ( x y , 0,cos,sinmax)2( 2 xxxy 2 2,arcsin)3(xuuy 不是不是 4 0 x,cosx 2 4 x,sin x 是是 不是不是 提示提示: (2)y 5實用精品課件PPT 0 x 0,1 0,1 )()4( 3 3 xx xx xf 0, 1

4、0, 1 )()2( x x xf 1,4 1,2 )()3( x x xf , 2 x x 1, 1 1, 1 3 x x 1 ) 1( 3 2 x x ,1 6 x 1x Rx 3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù)下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么為什么 ? 0, 0, )() 1 ( xx xx xf 2 x 以上各函數(shù)都是初等函數(shù)以上各函數(shù)都是初等函數(shù) . 6實用精品課件PPT 4. 設設,0)(,1)(,e)( 2 xxxfxf x 且求求)(x 及其定義域及其定義域 . 5. 已知已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求求 . )5(f 6. 設設,coscsc) sin

5、 1 (sin 22 xx x xf 求求. )(xf 由由 )( 2 e x x1 得得 ,)1ln()(xx0,(x ,e)(f x 2 x f)(x4. 解解:e )(x 2 7實用精品課件PPT f 5. 已知已知 8,)5( 8,3 )( xxff xx xf, 求求 . )5(f 解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f )( f312)(9f6 6. 設設,coscsc) sin 1 (sin 22 xx x xf 求求 . )(xf 解解:1sin sin 1 ) sin 1 (sin 2 2 x x x xf 3) sin 1 (sin 2 x x 3)(

6、 2 xxf 8實用精品課件PPT 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式函數(shù)連續(xù)的等價形式 )()(lim 0 0 xfxf xx )()(, 000 xfxxfyxxx 0lim 0 y x )()()( 000 xfxfxf ,0,0, 0 時當 xx 有有 )()( 0 xfxf 2. 函數(shù)間斷點函數(shù)間斷點 第一類間斷點第一類間斷點 第二類間斷點第二類間斷點 可去間斷點可去間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 振蕩間斷點振蕩間斷點 9實用精品課件PPT 有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零點定理零點定理 ; 介值定理介值定理 . 3. 閉區(qū)間上

7、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 例例1. 設函數(shù)設函數(shù))(xf , 2 )cos1 ( x xa 0 x ,10 x , )(ln 2 xb0 x 在在 x = 0 連續(xù)連續(xù) , 則則 a = , b = . 提示提示: 2 0 )cos1 ( lim)0( x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx )(lnlim)0( 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 10實用精品課件PPT ) 1)( e )( xax b xf x 有無窮間斷點有無窮間斷點 0 x 及可去間斷點及可去間斷點, 1x 解解:為無窮間斷點為無窮間斷點,0 x ) 1)( e lim 0 x

8、ax b x x 所以所以 b xax x x e ) 1)( lim 0 b a 1 0 1,0ba 為可去間斷點為可去間斷點 ,1x ) 1( e lim 1 xx b x x 極限存在極限存在 0)(elim 1 b x x eelim 1 x x b 例例2. 設函數(shù)設函數(shù) 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b . 11實用精品課件PPT 例例3. 設設 f (x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間),( 上上 , 有yx,)()()(yfxfyxf, 若若 f (x) 在在 連續(xù)連續(xù),0 x 提示提示: )(lim 0 xxf x )()(lim 0 xfxf x )0()(fxf )0( xf)

9、(xf 閱讀與練習閱讀與練習 且對任意實數(shù)且對任意實數(shù) 證明證明 f (x) 對一切對一切 x 都連續(xù)都連續(xù) . P65 題題 1 , 3(2) ; P74 題題 * *6 12實用精品課件PPT 證證: P74 題題* *6. 證明證明: 若若 令令,)(limAxf x 則給定則給定 ,0,0X當當Xx 時時, 有有AxfA)( 又又 , ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理根據(jù)有界性定理,0 1 M, 使使 ,)( 1 XXxMxf 取取 1 ,maxMAAM 則則),(,)(xMxf )(xf 在在 ),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), )(limxf x 存在存在, 則則 )(xf必在必在),(內(nèi)有界內(nèi)有

10、界. )(xf XX A 1 M O y x 13實用精品課件PPT 0)()()( 21 2 xfxff 上連續(xù)上連續(xù) , 且恒為正且恒為正 , 例例4. 設設 )(xf在在,ba 對任意的對任意的, ),(, 2121 xxbaxx 必存在一點必存在一點 證證: , , 21 xx 使使. )()()( 21 xfxff 令令 )()()()( 21 2 xfxfxfxF, 則則 ,)(baCxF )()( 21 xFxF )()()( 211 2 xfxfxf)()()( 212 2 xfxfxf )()( 21 xfxf 2 21 )()(xfxf0 使使 ,)()( 21 時當xfx

11、f,0)(xf,0)()( 21 xFxF 故由零點定理知故由零點定理知 , 存在存在, ),( 21 xx,0)(F即即 . )()()( 21 xfxff ,)()( 21 時當xfxf, 21 xx或取 )()()( 21 xfxff 證明證明: , 0)(F則有即即 14實用精品課件PPT 上連續(xù)上連續(xù), 且且 a c d b ,例例5. 設設)(xf在在,ba 必有一點必有一點 證證: , ,ba使使 )()()()(fnmdfncfm , ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)( )()(dfncfm )( )()( f nm dfncfm 即即 由介值定理由介值定理, 使存在

12、, ,ba 證明證明: M nm dfncfm m )()( )()()()(fnmdfncfm ,m及最小值故故 即即 mnm)(Mnm)( 15實用精品課件PPT 三、三、 極限極限 1. 極限定義的等價形式極限定義的等價形式 (以以 為例為例 ) 0 xx Axf xx )(lim 0 0)(lim 0 Axf xx (即即 為無窮小為無窮小)Axf)( , )( 0 xxx nn n 有有Axf n n )(lim n x, 0 x Axfxf )()( 00 2. 極限存在準則及極限運算法則極限存在準則及極限運算法則 16實用精品課件PPT 3. 無窮小無窮小 無窮小的性質(zhì)無窮小的性

13、質(zhì) ; 無窮小的比較無窮小的比較 ; 常用等價無窮小常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系）判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系） sin xxtanxxcos1x 2 2 1 x arctanxxarcsin xx)1ln(xx 1e x x1 x aaxln1)1 ( x x 5. 求極限的基本方法求極限的基本方法 ( 極限運算法則，變形為重要極限）極限運算法則，變形為重要極限） 1 sin lim) 1 ( 0 1) 1 1 (lim)2( 0 或或 1 0 lim(1)e 注注: 代表相同的表達式代表相同的表達式 1

14、7實用精品課件PPT 例例6. 求下列極限：求下列極限： )sin1(sinlim) 1 (xx x x x x sin 1 1 2 lim)2( x x x x cot 1 1 0 lim)3( 提示提示: xxsin1sin) 1 ( 2 1 cos 2 1 sin2 xxxx 2 1 cos )1(2 1 sin2 xx xx 無窮小無窮小有界有界 18實用精品課件PPT 令令 1 lim)2( x 1 xt 0 lim t) 1(sin )2( t tt 0 lim t t tt sin )2( 0 lim tt tt )2( 2 x x sin 1 2 19實用精品課件PPT 0 l

15、im)3( x x x x cot 1 1 0 lim x x x x cot ) 1 2 1( e x x x x 1 2 1 2 )1(ln 2 e 則有則有 )( )(1lim 0 xv xx xu 復習復習: 若若,0)(lim 0 xu xx ,)(lim 0 xv xx e )(1ln)(lim 0 xuxv xx e )()(lim 0 xuxv xx )(lim 1 2 sin cos 0 x x x x x 1 20實用精品課件PPT Ox y 33 1xy 例例7. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , 使使 0)1(lim 33 bxax x 解解: 原式可變形為原式可變形為

16、 0)1(lim 3 1 3 x b x x ax 0)1(lim3 1 3 x b x x a 故故,01a于是于是,1a而而 )1(lim 33 xxb x 233 3 23 1)1 ( 1 lim xxxx x 0 xy 21實用精品課件PPT 例例9. 當當0 x時時, 32 xx 是是x的幾階無窮小的幾階無窮小? 解解: 設其為設其為 x 的的 k 階無窮小階無窮小 , 則則 k x x xx 32 0 lim 0C 因因 k x x xx 32 0 lim 3 3 2 0 lim k x x xx 3 3 0 )1 (lim 2 3 2 1 xx k x 故故 6 1 k 22實用

17、精品課件PPT 閱讀與練習閱讀與練習 1. 求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型. 解解: ) 1)(1( sin)1 ( )( xxx xx xf ) 1)(1( sin)1 ( lim 1 xxx xx x 1sin 2 1 x = 1 為第一類為第一類可去間斷點可去間斷點 )(lim 1 xf x x = 1 為第二類為第二類無窮間斷點無窮間斷點 , 1)(lim 0 xf x 1)(lim 0 xf x x = 0 為第一類為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點 23實用精品課件PPT 2. 求求. sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x 解解: x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x xx x sin 1e e2 lim 4 34 0 e 1 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 1 原式