24.1.4圓周角 1

1、24.1.4 圓周角圓周角 1、復習提問、復習提問: (2)圓心角，弧，弦，弦心圓心角，弧，弦，弦心 距關系定理是什么？距關系定理是什么？ (1)什么是圓心角？什么是圓心角？ acbacb與與 aob aob 有何異同點？有何異同點？ 你知道你知道acbacb這一類的角名字嗎？這一類的角名字嗎？ 頂點在圓上，兩邊頂點在圓上，兩邊 與圓相交的角與圓相交的角, ,叫圓叫圓 周角。周角。 圓周角的概念圓周角的概念 ： b a c o 判斷下列各圖形中的是不是圓周角判斷下列各圖形中的是不是圓周角, , 并說明理由并說明理由 歸納：歸納： 一個角是圓周角的條件：頂點在圓上；一個角是圓周角的條件：頂點在圓

2、上； 兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交. . 問題：同弧所對圓周角的度數(shù)與相應的圓心角問題：同弧所對圓周角的度數(shù)與相應的圓心角 度數(shù)有什么關系？度數(shù)有什么關系？ 問題：同弧所對圓周角的度數(shù)與相應的圓心角問題：同弧所對圓周角的度數(shù)與相應的圓心角 度數(shù)有什么關系？度數(shù)有什么關系？ (1)(1)當圓心在圓周角的一邊上時當圓心在圓周角的一邊上時, , 證明證明:(圓心在圓周角上圓心在圓周角上) 結論：結論：在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,一條弧所對的圓一條弧所對的圓 周角等于它所對圓心角的一半周角等于它所對圓心角的一半. . c o b a baccocoa bocbac 2 1 cbacboc 2.2

3、.當圓心在圓周角內(nèi)部時當圓心在圓周角內(nèi)部時 提示提示: :能否轉化為能否轉化為1 1的情況的情況? ? n過點過點b b作直徑作直徑bd.bd.由由1 1可得可得: : abc = aoc. abc = aoc. 2 1 nabd = aod,cbd = cod,abd = aod,cbd = cod, 2 1 2 1 o a b c d 結論結論: :在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,一條弧所對的圓一條弧所對的圓 周角等于它所對圓心角的一半周角等于它所對圓心角的一半. . 3.3.當圓心在圓周角外部時當圓心在圓周角外部時 結論結論: :在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,一條弧所對的圓一條弧所

4、對的圓 周角等于它所對圓心角的一半周角等于它所對圓心角的一半. . 提示提示:能否轉化為能否轉化為1的情況的情況? n過點過點b b作直徑作直徑bd.bd.由由1 1可得可得: : abc = aoc. abc = aoc. 2 1 nabd = aod,cbd = cod,abd = aod,cbd = cod, 2 1 2 1 o d a b c 定理定理 在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周 角等于它所對圓心角的一半角等于它所對圓心角的一半. . b a c o 圓周角定理圓周角定理 在同圓或等圓中在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的，同弧或等弧所對的圓周角圓周角

5、 都相等，都相等，等于它所對的等于它所對的圓心角圓心角的一半。的一半。 a bc o a bc o a b c o 即即bac= boc 2 1 b a c d e f g o 例例 在在o o中中,ab,ab是直徑是直徑, , 弦弦 cgabcgab于于d,d,交交bfbf于于e,e,求證求證:be=ec:be=ec cb cf = 練一練練一練.1.1試找出下圖中所有相等的圓周角。試找出下圖中所有相等的圓周角。 a b c d 1 2 3 4 5 6 7 8 2=7 1=4 3=6 5=8 如果如果a=44,則則boc=_. 如果如果boc=44,則則a=_. 如果如果a=35,則則bdc

6、=_. o a b c d 半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？ o ab c 2. 902. 90的圓周角所對的弦是的圓周角所對的弦是 否是直徑？否是直徑？ 問題問題3 3 在半徑不等的圓中，相等的兩個在半徑不等的圓中，相等的兩個 圓周角所對的弧相等嗎？圓周角所對的弧相等嗎？ c a b b a c 如圖，如圖，abc=30，abc=30，但是，但是 caac 在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等， 它們所對的弧一定相等嗎？為什么？它們所對的弧一定相等嗎？為什么？ a b b a c c o 結論 n在同圓或等圓中，如果兩個圓

7、在同圓或等圓中，如果兩個圓 周角相等，那么它們所對的弧周角相等，那么它們所對的弧 一定相等一定相等 例例. .如圖如圖o o的直徑的直徑abab為為10cm,10cm,弦弦acac為為6cm, 6cm, acbacb的平分線交的平分線交o o于點于點d,d,求求bc,ad,bdbc,ad,bd的長的長. . a c b d o a b c o 例例: :已知已知, o, o的弦的弦abab長等于圓的半徑長等于圓的半徑, , 求該弦所對的圓心角和圓周角的度數(shù)求該弦所對的圓心角和圓周角的度數(shù), , o a b c 因此，在點b射門為好。 如圖，在足球比賽中，甲、乙兩名隊 員互相配合向對方球門mn進

8、攻，當 甲帶球沖到a點時，乙已跟隨沖到b點，此時自己 直接射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？ (在射門時球員相對與球門的張角越大射門的成功率就越大。) 解： 過m、n、b作圓，則點a在圓外 因為amcn 2 1 而mcn o= b ab 連接m、c 練習練習:1,:1,如圖如圖 abab是是o o的直徑的直徑, c ,d, c ,d是圓上是圓上 的兩點的兩點, ,若若abd=40abd=40, ,則則bcd=bcd= . . ab o c d 40 500 2. 2. 如圖如圖oaoa、obob、ococ都是都是o o的半徑，的半徑， aob=2bocaob=2boc 求證：求證：ab

9、c=bacabc=bac c b o a 3,3,如圖所示，如圖所示，abab，acac是是o o的弦，的弦，adbcadbc 于于d d，交，交o o于于f f，aeae與與o o的直徑，試問的直徑，試問 兩弦兩弦bebe與與cfcf的大小有何關系，說明理的大小有何關系，說明理 由由 4,4,已知：已知：abcabc的三個頂點在的三個頂點在o o上上, , bac=50bac=50,abc=47,abc=47, ,求求aobaob 解：有題意知：解：有題意知：a a、b b、c c是圓周角，是圓周角， aobaob是圓心角是圓心角 又又bac=50bac=50，abc=47abc=47 ac

10、b=180acb=180-(a-(ab) b) =180 =180-(50-(504747) ) =83 =83 aob2acb283166. b a c o aobacb 2 1 又 5,求證：如果三角形一邊上的中線等于這求證：如果三角形一邊上的中線等于這 邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 （提示：作出這條邊為直徑的圓）（提示：作出這條邊為直徑的圓） o a b c 6,6,如圖，已知圓心角如圖，已知圓心角aob=100aob=100, ,求圓周角求圓周角 acbacb、adbadb的度數(shù)？的度數(shù)？ 7,7,一條弦分圓為一條弦分圓為1 1：4 4兩

11、部分，求這弦所對的兩部分，求這弦所對的 圓周角的度數(shù)？圓周角的度數(shù)？ d a o c b c d ab e 補充例題補充例題: : 平分已知弧平分已知弧abab 已知：弧已知：弧abab 作法：作法： 連結連結abab. 作作abab的垂直平分線的垂直平分線 cdcd，交弧，交弧abab于點于點e.e. 點點e e就是所求弧就是所求弧abab的中點。的中點。 求作：弧求作：弧abab的中點的中點 4、在圓中，一條弧所對的圓心角和、在圓中，一條弧所對的圓心角和 圓周角分別為（圓周角分別為（2x+100）和和 (5x30)，求這條弧所對，求這條弧所對的的圓圓 心角和圓周角的度數(shù)。心角和圓周角的度數(shù)。 學生練習學生練習 已知：如圖