數(shù)學(xué)建模——古塔的變形[谷風(fēng)教學(xué)]

1、2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： C 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 5339 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 日期： 2013 年 09 月

3、 16 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：教育a2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：教育a古塔的變形數(shù)學(xué)模型摘要:本文是研究關(guān)于古塔變形類型以及變形分析的模型，用Matlab畫出古塔的三維結(jié)構(gòu)可以看出它是近似于正八邊形的形狀。因此，問題一我們用每層各個(gè)測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)的平均值作為塔每層的中心坐標(biāo)，再用中心坐標(biāo)的三個(gè)坐標(biāo)值分別對(duì)時(shí)間t做回歸來得到確定古塔各層中心位置的通用方法。對(duì)于問題二，我

4、們分別研究該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，通過建立數(shù)學(xué)模型來確定變形的程度。首先，用各層中心點(diǎn)坐標(biāo)的z坐標(biāo)值與其相應(yīng)點(diǎn)的x,y坐標(biāo)值做多元線性回歸。然后得到的回歸方程所表示的回歸平面與z軸正方向的夾角就可以表示古塔的傾斜程度大小。最后根據(jù)各層中心的分布和變化趨勢(shì)方向，確定古塔的傾斜方向。用古塔各層中心點(diǎn)進(jìn)行平面擬合，從效果上觀察，較為精確地反映了實(shí)例中的問題，由此也說明了我們所建模型的合理性。古塔的傾斜變形必然會(huì)導(dǎo)致在同一層中，測(cè)點(diǎn)存在高程的絕對(duì)差h，如果古塔只存在傾斜變形的話，每層的h值會(huì)相等；如果古塔存在傾斜變形的同時(shí)也存在彎曲變形的話，則每層的h值會(huì)發(fā)生改變。所以相鄰兩層的高程絕對(duì)差的變

5、化量，表示古塔每層彎曲程度大小。再根據(jù)每層出現(xiàn)高程絕對(duì)差h的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)的連線，確定每層彎曲方向。古塔的扭曲變形，首先每層選取兩對(duì)相同的對(duì)測(cè)量點(diǎn)，并做連線。然后通過每層對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線，分別與第一層相同對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線所成的角度的平均值來衡量古塔的扭曲情況。對(duì)于該塔的變形趨勢(shì)的研究，將傾斜指標(biāo)、彎曲指標(biāo)、扭曲指標(biāo)對(duì)時(shí)間的回歸。再用得到的回歸方程預(yù)測(cè)未來幾年的數(shù)據(jù)，結(jié)合用excel畫出的圖來預(yù)測(cè)古塔在未來時(shí)間里的變形趨勢(shì)。關(guān)鍵字： 線性回歸 變化趨勢(shì) 擬合 預(yù)測(cè)1、 問題重述由于長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文

6、物部門需適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。某古塔已有上千年歷史，是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物。管理部門委托測(cè)繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對(duì)該塔進(jìn)行了4次觀測(cè)。請(qǐng)你們根據(jù)附件1提供的4次觀測(cè)數(shù)據(jù)，討論以下問題：1. 給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)。2. 分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。3. 分析該塔的變形趨勢(shì)。2、 問題分析（1） 、對(duì)問題一的分析 問題一中確定古塔各層中心位置的通用方法。因?yàn)楣潘鲗訛榻普诉呅?，根?jù)正八邊形圖形特征，可以用每次測(cè)量時(shí)，古塔各層測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)的平均值作為各層中

7、心點(diǎn)坐標(biāo)。然后將各層中心點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間回歸，可得到各層中心點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的回歸方程。根據(jù)方程就可以確任意時(shí)間各層中心點(diǎn)坐標(biāo)。（2） 、對(duì)問題二的分析問題二要求我們確定塔的傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。為了簡(jiǎn)化模型，我們分別對(duì)古塔的傾斜、彎曲、扭曲進(jìn)行討論。對(duì)于傾斜，首先根據(jù)不同年份，各層中心點(diǎn)坐標(biāo)的z坐標(biāo)值與其相應(yīng)點(diǎn)的x,y坐標(biāo)值做多元線性回歸。然后得到的回歸方程所表示的回歸平面與z軸正方向的夾角就可以表示古塔的傾斜程度大小。最后根據(jù)各層中心的分布和變化趨勢(shì)方向，確定古塔的傾斜方向。對(duì)于古塔的彎曲，首先求出每層高程絕對(duì)差，然后相鄰兩層的高程絕對(duì)差的變化量，表示古塔每層彎曲程度大小。再根據(jù)每層出現(xiàn)高程

8、絕對(duì)差的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)的連線，確定每層彎曲方向。對(duì)于古塔的扭曲變形，首先每層選取兩對(duì)相同的對(duì)測(cè)量點(diǎn)，并做連線。然后通過每層對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線，分別與第一層相同對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線所成的角度的平均值來衡量古塔的扭曲情況。（3） 、對(duì)問題三的分析問題三要求我們分析該塔的變形趨勢(shì)，這個(gè)問題屬于預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)問題。對(duì)于這個(gè)問題我們一般用回歸的方法來求解，得出傾斜指標(biāo)、彎曲指標(biāo)、扭曲指標(biāo)對(duì)時(shí)間的回歸方程，并作出各自的圖像，觀察趨勢(shì)。3、 模型假設(shè)1. 假設(shè)古塔只存在傾斜，彎曲，扭曲的三種變形情況；2. 假設(shè)在1986年到2011年沒有對(duì)古塔進(jìn)行人為的保護(hù)，如加固或修補(bǔ)；3. 忽略1986年與1996年觀測(cè)的第13層第5個(gè)

9、測(cè)量點(diǎn)所少數(shù)據(jù)；4. 假設(shè)古塔的變形是連續(xù)的；四、符號(hào)說明觀測(cè)點(diǎn)古塔層數(shù)時(shí)間，并以1986年為第一年，即t=1古塔同一層測(cè)點(diǎn)的最大高程差古塔相鄰兩層h值的差兩對(duì)角線的夾角古塔的傾斜角五、模型的建立與求解5.1問題一的求解：為觀察同層各觀測(cè)點(diǎn)的大概位置，做出1986年古塔內(nèi)同層觀測(cè)點(diǎn)連線的俯視圖進(jìn)行分析，做出下圖：圖1-1 圖1-1是通過1986年每層各測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)連起來的（用CAD制）圖，每層所測(cè)的點(diǎn)相交構(gòu)成一個(gè)多邊形，得到每層的近似平面圖，可以近似地把每層當(dāng)作正八邊形。根據(jù)正八邊形圖形特征，古塔各層測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)（，）的平均值作為各層中心點(diǎn)坐標(biāo)。即：， ， 算出的各層中心坐標(biāo)如下：表1-1.所

10、測(cè)年數(shù)各層中心坐標(biāo)表1986年1996年樓層iXYZ樓層iXYZ1566.6648522.71051.78741566.665522.71021.71022566.7196522.66847.32032566.7205522.66747.31463566.7735522.627312.75533566.7751522.625612.75084566.8161522.594417.07834566.8183522.592217.07515566.8621522.559121.72055566.8649522.556321.7166566.9084522.524426.23516566.91185

11、22.52126.22957566.9468522.508129.83697566.9506522.504229.83238566.9843522.492433.35098566.9884522.488133.34549567.0218522.476436.85499567.0265522.471436.848310567.0569522.462440.172110567.062522.457240.167611567.1045522.42344.408811567.1102522.417344.435412567.1518522.383648.711912567.1578522.377548

12、.707413567.085522.740352.834313567.0912522.73452.83塔尖567.2473522.243855.1233塔尖567.2544522.236755.119752009年2011年樓層iXYZ樓層iXYZ1566.7268522.70151.76451566.727522.70141.763252566.764522.66937.3092566.764522.6697.29053566.8001522.638412.73233566.8004522.638712.72694566.8293522.613217.06984566.8297522.612

13、717.0525566.8604522.586621.70945566.861522.58621.70396566.947522.534226.2116566.9478522.533526.20457566.9792522.512329.82467566.98522.511529.8178567.0305522.479733.33998567.0313522.478833.33669567.0816522.446636.84389567.0825522.445736.822310567.137522.393740.161110567.1381522.392640.144111567.17995

14、22.354744.432611567.181522.353544.424912567.2225522.31648.699812567.2238522.314748.683913567.2712522.271552.818413567.2725522.270152.8131塔尖567.336522.214855.091塔尖567.3375522.213555.087用上表得到的數(shù)據(jù)，把每層中心點(diǎn)的X，Y，Z坐標(biāo)分別對(duì)時(shí)間t（設(shè)1986年為第一年，即t=1）做回歸，得到下表的一系列回歸方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一層的中心坐標(biāo),即為確定古塔各層中心位置的通用方法。表1-2.各層坐標(biāo)

15、與時(shí)間的回歸表中心點(diǎn)坐標(biāo)層數(shù)iXiYiZi1X=566.65164+0.00286tY=522.71231-0.00041tZ=1.76325-0.00024t2X=566.71052+0.00203tY=522.66783+0.00044tZ=7.322956-0.00093t3X=566.7685+0.001214tY=522.62418+0.00054tZ=12.75904-0.00115t4X=566.81415+0.00059tY=522.58954+0.00088tZ=12.75904-0.00115t5X=566.86355-0.00009tY=522.55215+0.00128

16、tZ=21.72178-0.0006t6X=566.90148+0.00176tY=522.52099+0.00047tZ=26.23885-0.00121t7X=566.94137+0.00147tY=522.50569+0.00022tZ=29.83865-0.00071t8X=566.97606+0.00210tY=522.49343-0.00056tZ=33.35139-0.00053t9X=567.01090+0.00272tY=522.48078-0.00134tZ=36.85757-0.00099t10X=567.04181+0.00366tY=522.47502-0.00313

17、tZ=40.17504-0.00089t11X=567.09066+0.00322tY=522.43534-0.00311tZ=44.41597-0.00061t12X=567.13906+0.00922tY=522.39564-0.00308tZ=48.71487-0.00091t13X=567.04774+0.00853tY=522.83776-0.02153tZ=52.83664-0.00082t14X=567.23116+0.00404tY=522.24712-0.00129tZ=55.12923-0.00155t5.2問題二的求解：?jiǎn)栴}二要求我們確定塔的傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。為

18、了簡(jiǎn)化模型，我們分別對(duì)古塔的傾斜、彎曲、扭曲進(jìn)行討論。5.2.1傾斜變形求解：1) 傾斜度大小的求解 首先用第t年中,各層中心點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)，做多元線性回歸。 = （1） 該回歸方程在空間直角坐標(biāo)系中是一個(gè)平面，表示各層中心近似所處的平面。運(yùn)用Excel軟件根據(jù)（1）式求解各年回歸方程。統(tǒng)計(jì)各年回歸方程系數(shù)可得下表：表2-1 回歸方程系數(shù)年份t19861-82920.6116.501332.34341199611-82194.2115.423532.12215200924-57953.592.5080710.58585201126-5715091.765449.853791運(yùn)用Matlab做出20

19、09年回歸方程對(duì)應(yīng)的回歸平面（過程見附錄1）。 圖2-1由圖2-1可以直觀地看出各層中心點(diǎn)貼近回歸平面，證明上面所建立模型的準(zhǔn)確性。 上述方法所得的回歸平面與z軸正方向的夾角可以表示塔的傾斜角。原理解釋如下： 圖2-2 如圖，空間直角坐標(biāo)系（由CAD制作）中有下列關(guān)系： 其中，平面ABC是同一年塔內(nèi)各層中心點(diǎn)的回歸平面。AB垂直于OD，AB垂直于OC，即AB垂直于CD，即ODC為平面OAB與平面ABC夾角。所以平面ABC與z軸夾角為： 即角為回歸平面與z軸正方向的夾角可以表示塔的傾斜角。令=0，即方程為=0為AB所在直線方程，所以O(shè)D為點(diǎn)O到AB的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：令x和y等于

20、0，可以得出 根據(jù)正切性質(zhì)得： 根據(jù)反三角函數(shù)，可知： (2) 根據(jù)（2）式可以得算出古塔每年的傾斜角，列表如下：表2-2 塔的傾斜角度，單位：（）年份1986199620092011塔的傾斜角0.47390.47820.61530.6208夾角的值可以表示古塔的傾斜程度大小。2) 傾斜方向的求解根據(jù)古塔各層中心點(diǎn)在水平面xoy中的投影的分布和變化趨勢(shì)，來確定古塔的傾斜方向。下面以2009年數(shù)據(jù)為例。用Matlab作2009年各測(cè)點(diǎn)與中心點(diǎn)的平面圖（過程見附錄2）： 87654321 圖2-3 由圖2-3可以看出，各層中心點(diǎn)都大致分布在第2，6個(gè)測(cè)量點(diǎn)的對(duì)角線上。再根據(jù)中心點(diǎn)投影位置隨樓層的增

21、加而自測(cè)量點(diǎn)2向測(cè)量點(diǎn)6移動(dòng)?？梢灾拦潘膬A斜方向大致是沿測(cè)量點(diǎn)2向測(cè)量點(diǎn)6方向傾斜。5.2.2彎曲變形求解1) 彎曲程度大小的求解對(duì)于古塔的彎曲情況，我們通過每層平面傾斜的變化程度初步分析，然后再結(jié)合整棟古塔，得出古塔的大概外形，從局部到整體分析古塔的變形。首先，計(jì)算第t年，i層測(cè)量點(diǎn)高程的絕對(duì)差，為：它能直觀地反映在各層內(nèi)最大傾斜程度，但絕對(duì)差不能全面的表現(xiàn)出彎曲的情況。而第t年i層到i+1層高程的絕對(duì)差的變化量，可以反映相鄰兩層的彎曲的大小程度。公式如下：運(yùn)用excel計(jì)算與排列每年各層的測(cè)量點(diǎn)絕對(duì)差，得下表：表2-3每年各層的測(cè)量點(diǎn)絕對(duì)差，單位：m絕對(duì)差層數(shù)/年份1986199620

22、09201110.0490.0550.0790.07820.050.0490.0480.05730.050.0520.0760.08340.050.0460.0440.07350.050.0510.050.05160.1730.1660.1980.19770.1740.1670.160.15380.1740.180.1860.18590.1740.1670.1730.198100.2060.2050.2040.237110.1960.1950.1920.207120.1960.1950.1880.168130.1940.1930.1920.194通過上表中的絕對(duì)差計(jì)算第t年i層到i+1層高程的

23、絕對(duì)差的變化量。得出1986年，1996年，2009年，2011年各個(gè)值，得出下表： 表2-4相鄰兩層高程的絕對(duì)差的變化量表，單位：m層數(shù)1986年1996年2009年 2011年120.001-0.006-0.031-0.0212300.0030.0280.026340-0.006-0.032-0.014500.0050.006-0.022560.1230.1150.1480.146670.0010.001-0.038-0.0447800.0130.0260.032890-0.013-0.0130.0139100.0320.0380.0310.0391011-0.01-0.01-0.012-

24、0.03111200-0.004-0.0391213-0.002-0.0020.0040.026從所得各年值的統(tǒng)計(jì)可得出結(jié)論：在各年中都是56層間的值為最大，從1986年到2011年，值呈某部分增大，而且總體的總值都在變大。對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：在56層間的傾斜程度變化很大，表現(xiàn)為56層間產(chǎn)生大的彎曲，在1986年到2011年塔的相鄰層之間的傾斜變化程度越來越大。表現(xiàn)為隨著時(shí)間的推移塔的彎曲程度越來越嚴(yán)重。的值主要在第五與第六層之間有較大值，其他值都較小。所以古塔主要彎曲的地方是在第5層與第6層。所以用第5層到第6層間的高程絕對(duì)差的增量的值來表示古塔的彎曲大小程度。由上表可以知在每年中，每層的高

25、程的絕對(duì)差都是較小的數(shù)，即表示該塔同層內(nèi)高程起伏較小，基本處于同一水平面；在第5層至第6層高程的絕對(duì)差異常增大，且使在第6層以后每層的絕對(duì)差都穩(wěn)定在較大數(shù)值；在2011年中，在相鄰兩層的高程的絕對(duì)差的數(shù)值變化較大。 圖2-4圖2-4是用Matlab作出古塔的三維結(jié)構(gòu)圖（過程在附件2），可以看出古塔中間的地方比較彎曲，由此也說明了我們所建模型的合理性。2) 彎曲方向的求解列出在第5、6層各點(diǎn)高程從高到低的測(cè)量點(diǎn)序號(hào)： 表2-5 第5、6層各年各測(cè)量點(diǎn)的排序1986年1996年2009年2011年第5層222288811117777533666534565344481986年1996年2009年2

26、011年第6層22333322111144448888555577776666從上表可得出結(jié)論：每年的第5層樓到第6層樓，測(cè)量點(diǎn)6相對(duì)其他點(diǎn)降低的程度最大，即可知在第5層到第6層樓中古塔向測(cè)量點(diǎn)6方向彎曲。5.2.3扭曲變形求解對(duì)于古塔的扭曲變形，首先每層選取兩對(duì)相同的對(duì)測(cè)量點(diǎn)，并做連線。然后通過每層對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線，分別與第一層相同對(duì)測(cè)量點(diǎn)的連線所成的角度的平均值來衡量古塔的扭曲情況。由于古塔首層是與穩(wěn)定的地基連接，所以首層的扭曲變形幾乎可以忽略不計(jì)，所以取每層相同對(duì)角線在平面xoy投影的夾角作為扭曲變形的量度：夾角越大，則扭曲變形越嚴(yán)重。具體原理如下：如圖2-5所示，以第1與第13層為例，首

27、先選取兩對(duì)測(cè)量點(diǎn)，分別為2-6、4-8。取第一層的2-6對(duì)角線為L(zhǎng)1，第13層的2-6對(duì)角線為L(zhǎng)2，L1與L2的夾角為。取第一層的4-8對(duì)角線為L(zhǎng)3，第13層的4-8對(duì)角線為L(zhǎng)4，L3與L4的夾角為。用與的平均值作為古塔第13層相對(duì)于第一層扭曲變形的量度。12345678L3L4 圖2-5 同理，其他層2-6測(cè)量點(diǎn)對(duì)角線與第一層2-6測(cè)量點(diǎn)對(duì)角線L1的夾角為，其他層4-8測(cè)量點(diǎn)對(duì)角線與第一層4-8測(cè)量點(diǎn)對(duì)角線L3的夾角為。它們的平均值反映其他層相對(duì)第一層的扭曲度。即： 計(jì)算結(jié)果如下表表2-7 每層相對(duì)于第一層扭曲的度，單位：（）1986年1996年2009年2011年0.5048560.504

28、7130.3108580.3107641.0344411.0344410.6422510.6419261.4917171.4917170.9242250.9242252.0181542.0178871.2512371.2509742.5700912.5699332.0318552.0325022.8833382.8830062.3507992.3507993.2271833.2271832.9175442.9175443.6229583.6219163.5455453.5466064.0536174.0534273.5283223.5279533.9985913.9985913.5016613

29、.5016613.9416813.9412963.4748983.4748983.8800773.8802833.4496713.448519 得出結(jié)論：第2層到第10層隨著層數(shù)的增高的數(shù)值越來越大，第11層到第13層隨著層數(shù)的增高的數(shù)值越來越小。表現(xiàn)為在第2層到第10層的各層塔向逆時(shí)針扭曲，第11層到第13層的各層塔向順時(shí)針扭曲。5.3問題三的求解：5.3.1塔傾斜變形的趨勢(shì)：要確定塔的變形趨勢(shì)，對(duì)于傾斜變形，我們利用問題二中所求出的塔的傾斜角來對(duì)時(shí)間做回歸，得到，可以知道回歸方程為： 利用上述公式可以得到2011年之后每年的傾斜角，列表如下： 圖3-1 塔的傾斜角與時(shí)間的變化曲線 由上圖所

30、得出來的擬合曲線圖我們可以得出結(jié)論：隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，塔傾斜所成的傾斜角度值會(huì)越來越大。預(yù)測(cè)在2025年塔的傾斜角度值達(dá)到0.7，2039年塔的傾斜角度值達(dá)到0.8。5.3.2塔彎曲變形的趨勢(shì)： 討論該塔彎曲程度的變化趨勢(shì)，即可變?yōu)橛懻摬煌瑫r(shí)間第5層到第6層間的高程絕對(duì)差的增量隨時(shí)間變化的變化。因?yàn)槊磕甓际窃诘?層到第6層為最大彎曲，也為整個(gè)塔的主要彎曲的表現(xiàn)，所以可用對(duì)t進(jìn)行回歸來說明塔隨時(shí)間的變化導(dǎo)致其彎曲程度的變化，對(duì)回歸方程求解；= 運(yùn)用Excel軟件的LINEST函數(shù)求解該回歸方程系數(shù)為： =0.11461 =0.001186可以得出： （4） 用（4）式在excel軟件中畫出彎曲程度

31、的擬合曲線，如下： 圖3-2 塔的彎曲程度與時(shí)間的變化曲線預(yù)測(cè)在2011年以后，每年塔的彎曲程度都會(huì)增大。預(yù)測(cè)在2020年塔彎曲程度為0.15612，即為塔在第5層到第6層的測(cè)量點(diǎn)最大高程差的變化增加了0.15612米，在2050年他彎曲程度為0.17391，即為塔在第5層到第6層的測(cè)量點(diǎn)最大高程的變化增加了0.17391米。5.3.3塔扭曲的變形趨勢(shì)：由于每層相對(duì)于第一層都存在一定的扭曲，因此取各層對(duì)第一層的扭曲度數(shù)的平均值作為古塔的扭曲程度。用對(duì)時(shí)間t的回歸求回歸方程，這樣就得到古塔扭曲變形的趨勢(shì)?；貧w方程為： 運(yùn)算得到與的值(過程見附錄.3)，則回歸方程解析式為; 圖3-3由圖3-3可以

32、知道用excel作出來的曲線的斜率為負(fù)值，因此古塔的扭曲程度隨時(shí)間的增加越來越小。六 、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1 模型的評(píng)價(jià) 本模型從實(shí)際出發(fā)，分析了多種情況，將古塔的變形分成傾斜、彎曲、扭曲三種類型來分別討論。先定性地分析古塔的變形，再定量解出古塔變形了多少。在通過結(jié)合回歸思想，將變形的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為回歸方程，建立了古塔變形趨勢(shì)的模型，使得對(duì)古塔的變形了解得更全面，能為古塔有效地制出保護(hù)措施提供依據(jù)。同時(shí)模型也存在著不足的地方，由于題目給出的數(shù)據(jù)不是很全面，所以很難算出古塔準(zhǔn)確的變形，只能大概地算出一些近似值。但這模型也有很大的意義，不但對(duì)該古塔適用，也能把它用于其他古塔的變形分析，從而保證了對(duì)古

33、塔進(jìn)行維護(hù)的快速性和高效性。6.2 模型的推廣 由圖1-1中同層視為平面時(shí)可看出古塔每層的相鄰連線圖像相似于是正八邊形，但相對(duì)于正八邊形確有一定差距，但從古塔的設(shè)計(jì)理念應(yīng)該使古塔完全成為正八邊形從而增強(qiáng)整個(gè)塔的穩(wěn)固性，但是實(shí)際塔的形狀確實(shí)產(chǎn)生了誤差從而使整個(gè)塔的形狀產(chǎn)生的變化。因?yàn)樵镜男螤顬?條等邊的正八邊形，而古塔各層形狀的變化必引起8條邊的長(zhǎng)度變化，使8條邊的長(zhǎng)度變?yōu)椴坏?，即可用八邊形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差來判斷該層形狀的變化程度，用各邊長(zhǎng)長(zhǎng)度大小的比較來判斷該層變化大概形狀。七、參考文獻(xiàn)【1】數(shù)學(xué)建模論文格式要求 360問答 /q/p>

34、65170【2】李大潛主編 中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 高等教育出版社 (1998)附件附錄一：close allclcclearx1=561.4782 563.9092 567.9981 571.3812 572.0142 569.5162 565.4062 562.1112; 561.7463 564.1008 568.0171 571.243 571.8122 569.4066 565.4625 562.3235; 562.0086 564.289 568.0358 571.107 571.6131 569.3 565.5175 562.5296; 562.2183 564.4385 568

35、.0507 570.9988 571.4555 569.2151 565.562 562.6956; 562.4427 564.5997 568.0667 570.8829 571.2857 569.1237 565.6087 562.8727; 562.8807 564.9208 568.1219 570.6945 571.0345 568.984 565.7192 563.2215; 563.0424 565.0389 568.1419 570.6257 570.941 568.93 565.7612 563.3528; 563.3012 565.2289 568.1741 570.514

36、6 570.7907 568.8459 565.8278 563.5608; 563.5593 565.4173 568.2063 570.4043 570.6414 568.7614 565.8943 563.7683; 563.7822 565.5507 568.1927 570.2892 570.5166 568.7563 566.0125 563.9956; 564.0405 565.6943 568.1455 570.1131 570.3292 568.7197 566.135 564.2616; 564.2984 565.8377 568.0986 569.9368 570.141

37、9 568.6831 566.2569 564.5268; 564.5544 565.9834 568.0609 569.7744 569.9704 568.6554 566.3814 564.7894y1=521.4177 518.0897 517.4028 519.8707 523.9807 527.3387 527.9887 525.5227; 521.4074 518.2185 517.5595 519.9587 523.9056 527.1539 527.7745 525.3761; 521.3974 518.345 517.7137 520.0452 523.8316 526.97

38、5 527.5655 525.2338; 521.3894 518.4456 517.8365 520.114 523.773 526.831 527.397 525.119; 521.3808 518.5539 517.9679 520.1879 523.7099 526.6769 527.2189 524.9969; 521.363 518.8401 518.318 520.3849 523.6306 526.288 526.7638 524.6852; 521.3565 518.9453 518.4445 520.456 523.6 526.1379 526.5906 524.5678;

39、 521.346 519.1146 518.6487 520.573 523.5537 525.9031 526.3165 524.382; 521.3356 519.2826 518.8526 520.6886 523.5066 525.6676 526.0426 524.1966; 521.3422 519.3767 518.9714 520.7323 523.4077 525.462 525.8122 524.045; 521.3802 519.5287 519.1543 520.8171 523.3109 525.2229 525.5456 523.8776; 521.4182 519

40、.6805 519.3369 520.9021 523.2143 524.9848 525.2806 523.7107; 521.4476 519.8195 519.5048 520.9766 523.1144 524.7485 525.0184 523.5424z1=1.777 1.802 1.773 1.757 1.765 1.723 1.76 1.759; 7.322 7.335 7.298 7.287 7.292 7.302 7.31 7.326; 12.745 12.769 12.734 12.725 12.739 12.693 12.724 12.729; 17.081 17.08

41、8 17.065 17.052 17.049 17.048 17.092 17.083; 21.721 21.741 21.697 21.691 21.695 21.699 21.706 21.725; 26.251 26.285 26.293 26.248 26.182 26.095 26.132 26.202; 29.864 29.894 29.893 29.851 29.776 29.734 29.75 29.835; 33.377 33.421 33.406 33.374 33.299 33.235 33.259 33.348; 36.882 36.919 36.911 36.874

42、36.799 36.746 36.766 36.853; 40.195 40.21 40.226 40.217 40.165 40.022 40.109 40.145; 44.467 44.477 44.492 44.477 44.438 44.3 44.389 44.421; 48.737 48.745 48.758 48.746 48.702 48.57 48.653 48.687; 52.859 52.873 52.878 52.873 52.796 52.686 52.773 52.809x=x1,x1(:,1)y=y1,y1(:,1)z=z1,z1(:,1)d=567.336 522

43、.2148 55.091hold onfor i=1:13plot3(x(i,:),y(i,:),z(i,:),k.) plot3(x(i,:),y(i,:),z(i,:),k-) plot3(mean(x1(i,:),mean(y1(i,:),mean(z1(i,:),k.) cen(i,:)=mean(x1(i,:),mean(y1(i,:),mean(z1(i,:)endplot3(d(1,1),d(1,2),d(1,3),k.) X,Y=meshgrid(cen(:,1),cen(:,2) Z=-58296.37472+92.78414147.*X+10.94248841.*Y mes

44、h(X,Y,Z) axis(560 575 515 530 0 60)xlabel(x, FontWeight, bold);ylabel(y, FontWeight, bold);zlabel(z, FontWeight, bold); zoom onaxis squareview(45,45) 附錄二：close allclcclearx1=561.4782 563.9092 567.9981 571.3812 572.0142 569.5162 565.4062 562.1112; 561.7463 564.1008 568.0171 571.243 571.8122 569.4066

45、565.4625 562.3235; 562.0086 564.289 568.0358 571.107 571.6131 569.3 565.5175 562.5296; 562.2183 564.4385 568.0507 570.9988 571.4555 569.2151 565.562 562.6956; 562.4427 564.5997 568.0667 570.8829 571.2857 569.1237 565.6087 562.8727; 562.8807 564.9208 568.1219 570.6945 571.0345 568.984 565.7192 563.2215; 563.0424 565.0389 568.1419 570.6257 570.941 568.93 565.7612 563.3528; 563.3012 565.2289 568.1741 570.5146 570.7907 568.8459 565.8278 563.56