應(yīng)用二元一次方程組(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、樂(lè)博思應(yīng)用二元一次方程組（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；2熟練掌握用方程組解決雞兔同籠，增收節(jié)支，里程碑上的數(shù)等實(shí)際問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系1.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率 較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.2.增收節(jié)支問(wèn)題：（1）增長(zhǎng)（遞減）率公式：原來(lái)的量（1+增長(zhǎng)率）=后來(lái)的量； 原來(lái)的量（1-遞減率）=后來(lái)的量； （2）利潤(rùn)公式：利潤(rùn)=總收入-總支出 ；利潤(rùn)售價(jià)成本(或進(jìn)價(jià))成本利潤(rùn)率；標(biāo)價(jià)成本(或進(jìn)價(jià))(1

2、利潤(rùn)率)（3）銀行利率公式：利息=本金利率期數(shù).本息和（本利和）本金利息本金本金利率期數(shù)本金(1利率期數(shù)) .年利率月利率12.月利率年利率.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?增收節(jié)支問(wèn)題常常借助列表分析問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過(guò)程3.行程問(wèn)題： 速度時(shí)間=路程.順?biāo)俣?靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.4.數(shù)字問(wèn)題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫(xiě)出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a要點(diǎn)二、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想 列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已

3、知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿(mǎn)足：方程兩邊表示的是同類(lèi)量：同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫(xiě)出答案要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；

4、（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類(lèi)型一、雞兔同籠問(wèn)題1. （2016茂名）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問(wèn)有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為（）abcd【思路點(diǎn)撥】設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)100匹馬恰好拉了100片瓦，已知一匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，列方程組即可【答案與解析】解：設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)題意得，故選c【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2

5、個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】根據(jù)圖中所給出的信息，求出每個(gè)籃球和每個(gè)羽毛球的價(jià)格. 【答案】解：設(shè)每個(gè)籃球元，每個(gè)羽毛球元.根據(jù)題意列方程組： 解得 答：每個(gè)籃球20元，每個(gè)羽毛球2元.類(lèi)型二、增收節(jié)支問(wèn)題2.（2015北京）九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)其中，方程術(shù)是九章算術(shù)最高的數(shù)學(xué)成就九章算術(shù)中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩問(wèn)：牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩問(wèn)：每頭牛、每只羊各值金多少

6、兩？”設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為 【思路點(diǎn)撥】由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關(guān)系，即可列出方程組【答案與解析】解：根據(jù)題意得：.【總結(jié)升華】考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組的能力，解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在的等量關(guān)系舉一反三【變式】小明想開(kāi)一家時(shí)尚點(diǎn)專(zhuān)賣(mài)店，開(kāi)店前他到其它專(zhuān)賣(mài)店調(diào)查價(jià)格他看中了一套新款春裝，成本共500元，專(zhuān)賣(mài)店店員告訴他在上市時(shí)通常將上衣按50的利潤(rùn)定價(jià)，褲子按40的利潤(rùn)定價(jià).由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實(shí)際出售時(shí)，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專(zhuān)賣(mài)店

7、共獲利157元，小明覺(jué)得上衣款式好，銷(xiāo)路會(huì)好些，想問(wèn)問(wèn)上衣的成本價(jià)，但店員有事走開(kāi)了，你能幫助他嗎？【答案】上衣成本褲子成本500元上衣利潤(rùn)褲子利潤(rùn)157元分析：設(shè)上衣的成本價(jià)為元，褲子的成本價(jià)為元：成本（元）實(shí)際售價(jià)（元）利潤(rùn)（元）上衣x褲子y解：設(shè)上衣的成本價(jià)為x元，褲子的成本價(jià)為y元，則上衣利潤(rùn)為 元，褲子利潤(rùn)為0.9(1+40%)y-y元，依題意得整理得: 26,得9x=2700, x =300.把其代入，得y=500300=200答：上衣成本300元，褲子成本200元.3. 蔬菜種植專(zhuān)業(yè)戶(hù)徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請(qǐng)了甲，乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，徐先生每年須付利息60

8、75元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款13萬(wàn)元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息6075元.【答案與解析】解：設(shè)甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據(jù)題意得：解得：答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元【總結(jié)升華】利息貸款金額利息率.類(lèi)型三、里程碑上的數(shù)（數(shù)字問(wèn)題）4.有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)【思路點(diǎn)撥】本題中的等量關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)十位上的數(shù)5；原數(shù)+新數(shù)143【答案與解析】解：設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)中

9、，個(gè)位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y則原數(shù)為10y+x，把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換后，所得的新數(shù)為10x+y，根據(jù)題意，得：，解方程組，得故這個(gè)兩位數(shù)為10y+x104+949答：這個(gè)兩位數(shù)為49【總結(jié)升華】對(duì)于兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字問(wèn)題，關(guān)鍵是明確它們與各數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系：兩位數(shù)十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)百位數(shù)字100+十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字【變式】（2015黑龍江）為推進(jìn)課改，王老師把班級(jí)里40名學(xué)生分成若干小組，每小組只能是5人或6人，則有幾種分組方案（）a4b3c2d1【答案】解：設(shè)5人一組的有x個(gè)，6人一組的有y個(gè)，根據(jù)題意可得：5x+6y=40，當(dāng)x=1，則y=（不合題意）；當(dāng)x

10、=2，則y=5；當(dāng)x=3，則y=（不合題意）；當(dāng)x=4，則y=（不合題意）；當(dāng)x=5，則y=（不合題意）；當(dāng)x=6，則y=（不合題意）；當(dāng)x=7，則y=（不合題意）；當(dāng)x=8，則y=0；所以有2種分組方案故選：c類(lèi)型四、行程問(wèn)題5. a、b兩地相距480千米，一列慢車(chē)從a地開(kāi)出，一列快車(chē)從b地開(kāi)出 (1)如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇；如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向(沿ba方向)而行，那么快車(chē)12小時(shí)可追上慢車(chē)，求快車(chē)與慢車(chē)的速度各是多少？ (2)如果慢車(chē)先開(kāi)出l小時(shí)，兩車(chē)相向而行，那么快車(chē)開(kāi)出幾小時(shí)可與慢車(chē)相遇?【思路點(diǎn)撥】這兩個(gè)問(wèn)題均可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解(1)“同時(shí)開(kāi)出相向而行”可用下圖表示“同時(shí)開(kāi)出同向而行”可用下圖表示(2)慢車(chē)先開(kāi)出1小時(shí)，兩車(chē)相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來(lái)，并用等式表示出來(lái)【答案與解析】解：(1)設(shè)快車(chē)和慢車(chē)的速度分別為x千米/時(shí)