河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度和施密特正交化

1、定義1 維向量維向量設(shè)有設(shè)有n , 2 1 2 1 nn y y y x x x nn yxyxyx 2211 ),( 令令 一、內(nèi)積的定義及性質(zhì) .),(的內(nèi)積的內(nèi)積與與稱為向量稱為向量 說(shuō)明 1 維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積 的推廣，但是沒(méi)有3維向量直觀的幾何意義 4 nn .),( :, , 2 T 為為內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示向量向量 都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算 內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)維向量維向量為為其中其中 n );,(),()1( );,(),()2( );,(),(),()3( . 0),(0, 0),()4( 時(shí)有時(shí)有

2、且當(dāng)且當(dāng) 定義2 非負(fù)性非負(fù)性. 1 齊次性齊次性. 2 三角不等式三角不等式. 3 . 范范數(shù)數(shù)或或長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的維維向向量量為為稱稱 n 向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)： ; 0,0; 0,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; . 二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì) ;),( 22 2 2 1n xxx 正交的概念 正交向量組的概念 . ,0),( 與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 正交 . , 0 ,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向 量組為正交向量組 三、正交向量組的概念及求法 , 00 2 1111 T 由由.0 1 從而有從而有 . 0 2 r 同理可得同理可得

3、., 21 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)故故 r 使使設(shè)有設(shè)有 r , 21 證明 0 2211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以, 1a T 0 111 T 正交向量組的性質(zhì) 線性無(wú)關(guān).線性無(wú)關(guān)., , , ,則則非零向量,非零向量, 是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理 r r n 21 21 1 4 標(biāo)準(zhǔn)正交基 . , ,) ( , 3 21 21 21 的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基是是則則稱稱向向量量 兩兩兩兩正正交交且且都都是是單單位位如如果果的的一一個(gè)個(gè)基基 是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)定定義義 Veee eeeR VVeeen r r n r

4、 . 21 21 0 0 , 21 21 0 0 , 0 0 21 21 , 0 0 21 21 4321 eeee 例如 . 21 21 0 0 , 21 21 0 0 , 0 0 21 21 , 0 0 21 21 4321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1),( . 4 , 3 , 2 , 1, 0),( jijiee jijiee ji ji 且且 且且 由于由于 ., 4 4321 的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基為為所所以以Reeee . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 4321 同理可知 . 4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

5、正交基也為也為R （1）正交化，取 ， 11 ab , ),( ),( 1 11 21 22 b bb ab ab , 21 的一個(gè)基的一個(gè)基為向量空間為向量空間若若Vaaa r 5施密特正交化的方法 正正交交化化稱稱為為把把這這樣樣一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題等等價(jià)價(jià) 與與使使的的單單位位向向量量 就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基 要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間 rr rr r eeeeee VV , , , , , , 21 212121 21 1 11 1 2 22 2 1 11 1 ),( ),( ),( ),( ),( ),( r rr rr

6、rr rr b bb ab b bb ab b bb ab ab ., 111 等價(jià)等價(jià)與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么 rrr aabbbb （2）單位化，取 , 2 2 2 1 1 1 r r r b b e b b e b b e ., 21 的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基為為那那么么Veee r 2 22 32 1 11 31 33 ),( ),( ),( ),( b bb ab b bb ab ab 例 用施密特正交化方法，將向量組 )1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1( 321 aaa 正交標(biāo)準(zhǔn)化. 解 先正交化， 1 , 1

7、, 1 , 1 11 ab 1 11 21 22 ),( ),( b bb ab ab 1 , 1 , 1 , 1 1111 411 4 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取 ., , 1 1 稱稱為為的的過(guò)過(guò)程程向向量量組組 構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組 r r bb aa 施密特正交化過(guò)程 2 22 32 1 11 31 33 ),( ),( ),( ),( b bb ab b bb ab ab 3 , 1, 2, 0 14 14 1 , 1 , 1 , 1 4 8 1, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化， 14 3 , 1

8、4 1 , 14 2 , 03 , 1, 2, 0 14 1 2 2 2 b b e 0 , 6 2 , 6 1 , 6 1 0 , 2, 1 , 1 6 1 3 3 3 b b e 得規(guī)范正交向量組如下 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 1 , 1 , 1 , 1 2 1 1 1 1 b b e 證明 EA A T E 定義4 . , 1 正交矩陣正交矩陣為為稱稱 則則即即滿足滿足階方陣階方陣若若 A A AEA A An TT 定理 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22221 11211 21 22212 12111 四、

9、正交矩陣 為正交矩陣的充要條件是 的列向量都 是單位向量且兩兩正交 AA E n T n T T , 21 2 1 E n T n T n T n n TTT TTT 21 2 2 2 1 2 n 1 2 1 1 1 nji ji ji ijj T i , 2 , 1, , 0 ;, 1 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 例3 判別下列矩陣是否為正交陣 , 12131 21121 31211 1 . 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 解 12131 21121 31211 1 , 0 2 1 3 1 1 2 1 2 1 1 所以它不是正交矩陣 考察矩陣的第一列和第二列， 由于 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 T 所以它是正交矩陣 100 010 001 由于 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 1