點(diǎn)到直線的距離教學(xué)設(shè)計(jì)

1、點(diǎn)到直線的距離教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析點(diǎn)到直線的距離這節(jié)課的內(nèi)容是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計(jì)算的過渡 . 點(diǎn) 到直線的距離公式是解析幾何后續(xù)學(xué)習(xí)的一個基礎(chǔ)工具，屬于概念性知識 . 本節(jié)課蘊(yùn)含分類與整合，轉(zhuǎn)化 與化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學(xué)思想；它既是兩點(diǎn)間距離公式的延續(xù)，又為導(dǎo)出兩平行線間 距離公式作了鋪墊，具有承上啟下的重要作用. 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是點(diǎn)到直線距離的探索與應(yīng)用；難點(diǎn)是點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo) .二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置【知識與技能】（1）探索并掌握點(diǎn)到直線的距離公式；（ 2）學(xué)會點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用 .【過程與方法】 通過經(jīng)歷公式多種推導(dǎo)方案的設(shè)計(jì)及比較，領(lǐng)會特

2、殊到一般，轉(zhuǎn)化與化歸，分類與整合，數(shù)形結(jié)合， 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想 .【情感、態(tài)度、價值觀】在探索問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)的形式美與簡潔美 .三、學(xué)生學(xué)情分析面授學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實(shí)、思維活躍、有較強(qiáng)的創(chuàng)新能力。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式， 且具備了相關(guān)的幾何知識，如：交點(diǎn)、垂直、三角函數(shù)等. 學(xué)生對坐標(biāo)法解決幾何問題有初步的認(rèn)識四、教學(xué)策略分析 本節(jié)課采用以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)為主的教學(xué)方法，以歸納啟發(fā)式作為教學(xué)模式，結(jié)合多媒體輔助教學(xué) . 通過合 作交流，類比聯(lián)想，歸納化歸，總結(jié)提升，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題 .五、 教學(xué)過程（一）溫故知新，引出課題

3、復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)間的距離公式，同時，引出課題點(diǎn)到直線的距離 . 【設(shè)計(jì)意圖】平面圖形最基本的要素是點(diǎn)和線. 在研究了兩點(diǎn)間距離公式后，很自然地會去研究點(diǎn)線間的距離，當(dāng)然還可以更深入地去探究兩平行線間的距離 . 這三個距離公式是一脈相承的，因此，這樣引入自 然、貼切，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 .（二）特例引入，巧作鋪墊引例：在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn) P（1,2） 到直線 l :x y 5 0 的距離 .問題 1. 點(diǎn)到直線的距離指的是？問題2.為什么選擇垂足與點(diǎn) P的距離作為點(diǎn)線距離？選直線上其它點(diǎn)與P點(diǎn)距離可以嗎?問題3點(diǎn)到直線的距離還可以怎么定義？【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)點(diǎn)到直線距離的垂線段定義法，

4、同時引出廣義定義法，即點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)距離的最小 值，為后續(xù)目標(biāo)函數(shù)的推導(dǎo)方法的展開埋下伏筆自主探究：請同學(xué)計(jì)算引例中的距離，并考慮用多種方法進(jìn)行解答【設(shè)計(jì)意圖】從具體的例子出發(fā)求距離，相對來說，計(jì)算量更小，學(xué)生有更充裕的時間去發(fā)現(xiàn)解法的多樣性，為后續(xù)求抽象的點(diǎn)線距離做好準(zhǔn)備預(yù)計(jì)會出現(xiàn)以下幾種解法1、垂線段法如圖1，過P作PQ丄I于Q.Stepl.求出直線PQ的方程：x y 10 ;Step2.聯(lián)立直線PQ, I的方程，求出交點(diǎn) Q的坐標(biāo)(2,3);Step3.求出距離，|PQ| 2 .評注：很好，該思路自然、簡單、清晰.2、解直角三角形法如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，過 P作PR/x軸交直線I于點(diǎn)

5、R.Stepl.求出點(diǎn)P到直線I的水平距離|PR| 2 ；Step2.在 Rt PQR 中， PRQ 45 ;故，|PQ| PR sin PRQ 返.評注：這種方案將點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。在斜邊及 角度已知的情況下，顯然運(yùn)用三角函數(shù)的知識可以輕松求解。3、等面積法如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，過 P作PS/y軸交直線l于點(diǎn)S.Step1.求出Rt SPR的三條邊長；易得，|PR| 2,| PS| 2,| RS| 2、一2 ;Step2.利用等面積法求出斜邊上的高.|PR| |PS| 2 2 匚|PQ|RS|厲邁評注：直角三角形構(gòu)造巧妙，避開研究三角形的內(nèi)角，計(jì)算簡潔，快速得出結(jié)果

6、 問題4.還有別的做法嗎？如果從剛才點(diǎn)到直線的本原定義來看的話，我們可以先將點(diǎn)到直線上任意點(diǎn)的距離表示出來，再求這個距離的最小值即可.那么，要求最小值，我們可以從什么地方切入呢?【設(shè)計(jì)意圖】引出目標(biāo)函數(shù)法4、目標(biāo)函數(shù)法Step1.求出點(diǎn)P到直線l上任一點(diǎn)M(x,y)的距離的平方：2 2 2|PM | (x 1) (y 2)Step2.消兀，轉(zhuǎn)化為一兀二次函數(shù)；|PM2 2 2|2 2x2 8x 102(x 2)2 2,x RStep3.求目標(biāo)函數(shù)的最小值；當(dāng)且當(dāng)x 2時，取到最小值2 ;此時，| PM | ,2評注：該方法運(yùn)用函數(shù)思想，將幾何問題代數(shù)化，是典型的解析幾何解法(三) 公式推導(dǎo)，殊

7、途同歸問題一般化：在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P(x, yo)到直線l : Ax By C 0的距離.問題5.以上這些方法應(yīng)該都可以用來解決該問題，但同學(xué)們會選擇哪種， 或者哪些方法來做呢？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)行方案比較，優(yōu)選；在比較中，再次領(lǐng)會各種方案的思想方法，比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)，選擇 合適的方案執(zhí)行在比較之后，師生合作，詳細(xì)演示等面積法的推導(dǎo)過程 構(gòu)造直角三角形，使得所求垂線段為斜邊上的高，用等面積法求出高。Stepl 過P作x,y軸的垂線，分別交直線 l于M、N，構(gòu)造直角三角形 MPN ;則 PQ為斜邊上的高(如圖 4)Step2.求出直角三角形三條邊長；易得，|PM | |Ax0 By0

8、 C|,B| MN | | PM |2_| PN |2|PN| | Ax。By0 CA| Ax0 By0 C | A BN|A|B|5By0 C I |PM |2 | PN |2. _B2問題6.在上述推導(dǎo)過程有沒有不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?Step3.利用等面積法求出|PQ|。 |PQ| |PM | |PN|AX0【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生自我排查，發(fā)現(xiàn)代B必須都不等于0的條件以及 與 還可能相等等問題，培養(yǎng)學(xué) 生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.(四) 公式記憶，學(xué)以致用教師引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證 A=0或B=0的特殊情況也符合一般的距離公式.最后得到點(diǎn)到直線的距離公式可統(tǒng)| Ax0_By_C |.A2 B2問題7.這個公式如何記憶？問題8.這個公式的對點(diǎn)、線的位置有沒有要求? 【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化公式記憶，明確公式的適用范圍例1 求點(diǎn)P( 1,2)到下列直線的距離.3 x y(1) y x 1(2)1(3) 3x 2(4) 5x 2y 1 04 5 12例2已知點(diǎn)A(1,3), B(3,1),C( 1,0)，求 ABC的面積.(預(yù)設(shè))(五) 歸納總結(jié)，思維提升1、學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線距離的定義；2、學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線距離公式的四種不同推導(dǎo)方法；其實(shí)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法還有很多種， 如：向量法、