數(shù)學(xué)史哈密頓與四元數(shù)

1、 |SHUXUESHI哈密頓四元數(shù)四元數(shù)意義組員展示 ACTIVITV FLOW 哈密頓是19 世紀(jì)前期的愛(ài)爾蘭 數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為/是使愛(ài)爾蘭人在 數(shù)學(xué)領(lǐng)域中享有盛譽(yù)的最偉大 的人物,又被譽(yù)為/英國(guó)數(shù)學(xué)史上 僅次于牛頓的最偉大的數(shù)學(xué)兼 物理學(xué)家.哈密頓最重要的數(shù)學(xué) 成果是創(chuàng)造了四元數(shù) .他一生中 有三分之一的時(shí)間用在了四元 數(shù)的研究上.當(dāng)然,四元數(shù)也為他 贏得了巨大聲譽(yù). 四元數(shù)的概念 四元數(shù)的運(yùn)算 |SHUXUESHI哈密爾頓四元數(shù)四元數(shù)意義組員展示 兩個(gè)四元數(shù)相等定義為數(shù)量部分相等且向量部分的系數(shù)也分別 對(duì)應(yīng)相等； 兩個(gè)四元數(shù)相加定義為數(shù)量部分和向量部分的系 數(shù)分別對(duì)應(yīng)相加。 顯然，四元數(shù)相

2、加滿足交換律和結(jié)合律。 關(guān)鍵是乘法定義，哈密爾頓首先對(duì)單位元 i，j，k 的乘積放棄 了交換律， 給出如下規(guī)方便的向量分析以及德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉 斯曼（H.G.Grassman ）發(fā)現(xiàn)了更為一般化的 n 元有序數(shù)組， 使得四元數(shù)理論逐漸被淹沒(méi)而成為數(shù)學(xué)史上一件有趣的古董。 哈密爾頓提出的四元數(shù)是指形如 a+bi+cj+d 的數(shù)。 其中a，b， c，d 為實(shí)數(shù)，i，j，k 是確定的單位元。第一項(xiàng) a 稱為四元 數(shù)的數(shù)量部分，后面三項(xiàng)稱為向量部分。 |SHUXUESHI哈密頓四元數(shù)四元數(shù)意義組員展示 四元數(shù)是繼復(fù)數(shù)后的又一新的數(shù)系.復(fù) 數(shù)自16世紀(jì)出現(xiàn)之后,很長(zhǎng)一段時(shí)間人 們認(rèn)為它只是代數(shù)上虛構(gòu)的量,

3、而不是 真正意義上的數(shù).直到18世紀(jì) 末19世紀(jì)初的時(shí)候,數(shù)學(xué)家韋塞爾、阿 爾岡和高斯分別用復(fù)數(shù)來(lái)表示平面上 的點(diǎn)和向量后,復(fù)數(shù)才漸漸被人們承認(rèn). 在對(duì)復(fù)數(shù)的性質(zhì)有了一定認(rèn)識(shí)后,人們 很自然會(huì)有這樣的想法,會(huì)不會(huì)有表示 空間中的點(diǎn)或向量的復(fù)數(shù)類似物呢 Transformation |SHUXUESHI哈密頓四元數(shù) 四元數(shù)意義組員展示 迎接這一挑戰(zhàn)的是數(shù)學(xué)家哈密頓 .哈密頓首先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行了思考 , 他認(rèn)為復(fù)數(shù)a+ bi不是一個(gè)真正的和 ,bi是不能加到a上去的,復(fù)數(shù) a+bi不過(guò)是一個(gè)二元數(shù)組 (a,b).隨后,他又給出了二元數(shù)組的加法 和乘法運(yùn)算.哈密頓對(duì)復(fù)數(shù)只是略加研究 ,他的重點(diǎn)是要給出表

4、示 空間向量的三元數(shù)組.模仿復(fù)數(shù)的寫(xiě)法,他把三元數(shù)組寫(xiě)成a+bi+cj 這種形式.接下來(lái),就要給新數(shù)組定義運(yùn)算.其中,加法和減法運(yùn)算很 簡(jiǎn)單,然而在定義乘法運(yùn)算時(shí)出了麻煩.依照復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,令i2= j2=-1,可是該如何規(guī)定i和j的積呢?哈密頓要求三元數(shù)組滿足/模法 則0.即若(a1+ a2i+ a3j)(b1+b2i+b3j)= c1+ c2i+c3j, 則 a 1 2 + a2 2 + a 3 2) ( b 12 + b 2 2+ b 3 2) =c 1 2 + c 2 2 +c 3 2 Services |SHUXUESHI哈密頓四元數(shù)四元數(shù)意義組員展示 四元數(shù)本身無(wú)廣泛應(yīng)用, 但它

5、對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著 不可估量的指導(dǎo)意義, 從此數(shù)學(xué)家們可以更加自由 地構(gòu)造一個(gè)有意義的、有用的數(shù)系, 可以通過(guò)減弱、 放棄或替換代數(shù)中的不同定律和公理( 如交換律、 結(jié)合律) , 為眾多的代數(shù)系的研究開(kāi)辟了道路.由于 數(shù)學(xué)家們獲得了思想的解放, 所以在哈密頓之后, 各種新的超復(fù)數(shù)不斷地涌現(xiàn),如: 格拉斯曼的超復(fù) 數(shù)已經(jīng)推廣到n維空間, 麥克斯韋創(chuàng)造了大量的向 量分析, 凱萊和西爾維斯特發(fā)展了更一般的代數(shù)形 式變換理論等. 直到魏爾斯給出了復(fù)數(shù)是最大的數(shù) 系的證明, 這股探索新數(shù)的熱潮才慢慢地退卻. |SHUXUESHI哈密頓四元數(shù)四元數(shù)意義組員展示 哈密爾頓在數(shù)學(xué)史上首次提出了非交換代數(shù)的概念，這一工作對(duì)于 代數(shù)學(xué)的影響完全類似于非歐幾何的出現(xiàn)對(duì)于幾何學(xué)的巨大沖擊。在這 一思想的影響下，向量代數(shù)和向量分析的理論出現(xiàn)了，各種非交換代數(shù) （如矩陣代數(shù)），非結(jié)合代數(shù)（如若當(dāng)代數(shù)、李代數(shù)）的理論相繼出現(xiàn) 了。按照保留各種不同代數(shù)性質(zhì)而得到的不同代數(shù)結(jié)構(gòu)紛紛被揭示出來(lái)。 到現(xiàn)在為止，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過(guò) 200 多種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也許這樣 說(shuō)是正確的。 這些工作的絕大部分屬于二十世紀(jì)，并且，使一般化和抽 象化的思想在今天的數(shù)