直線和圓的位置關(guān)系題型很全專業(yè)知識講座

1、文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 O x y 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺 的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西 70km處，受影響 的范圍是半徑長為 30km的圓形區(qū)域已知港口位于臺 風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么 它是否會受到臺風(fēng)的影響？ 為解決這個問題，我們以 臺風(fēng)中心為原點 O，東西方向 為 x 軸，建立如圖所示的 直角 坐標(biāo)系，其中取 10km 為單位 長度 輪船 一.實例引入 港口 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)

2、之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 O x y 輪船 一.實例引入 港口 輪船航線所在直線 l 的方程為： 02874?yx 問題歸結(jié)為圓心為O的 圓與直線l有無公共點 這樣，受臺風(fēng)影響的圓區(qū)域所對應(yīng)的圓心為 O的 圓的方程為: 9 22 ? ? y x 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？ 平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系： （1）直線與圓相交，有兩個公共點； （1） （2）直線與圓相切，

3、只有一個公共點； （2） （3）直線與圓相離，沒有公共點 （3） 二二.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？現(xiàn)在， 如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？ （1） （2） （3） 二.直線與圓的位置關(guān)系 先看幾個例子，看看你能否從例子中總結(jié)出來 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法： 方法一：代數(shù)法，判斷直線l與圓C的

4、方程組成的 方程組是否有解 如果有解，直線l與圓C有公共 點有兩組實數(shù)解時，直線 l與圓C相交；有一組實數(shù) 解時，直線l與圓C相切；無實數(shù)解時，直線 l與圓C相 離 方法二：幾何法，判斷圓C的圓心到直線l的距離 d與圓的半徑r的關(guān)系如果d r ，直線l與圓C相 離 二.直線與圓的位置關(guān)系 那么，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位 置關(guān)系？ 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 方法一：直線：Ax+By+C=0; 圓：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 消元 一元二次方程 方法二：直線：Ax+By+C=0; 圓:

5、 (x-a) 2 + (y-b)2 =r2 d= 小結(jié)：1.判斷直線與圓位置關(guān)系的方法 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 1、幾何方法解題步驟： 利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離 作判斷: 當(dāng)dr時，直線與圓相離； 當(dāng)d=r時，直線與圓相切; 當(dāng)dr時，直線與圓相交 把直線方程化為一般式, 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn) 式，求出圓心和半徑 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 直線與圓的位置關(guān)系 把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組 求出其

6、的值 比較與0的大小: 當(dāng)0時,直線與圓相交。 2、代數(shù)方法主要步驟： 利用帶入消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 代數(shù)法：代數(shù)法： 3x +y6=0 x2 + y2 2y 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-412=10 所以方程組有兩解， 直線L與圓C相交 22 5 5 10 31 |301 6| ? ? ? 幾何法：幾何法： 圓心C（0，1）到直線L的距離 d= = r 所以直線L與圓C相交 比較：幾何法比代數(shù)法運算量少，簡便。 d r 弦長弦長= 2

7、2 10 2 ( 5)()10 2 ? 題型一、如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0， 判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點坐標(biāo)及弦長。 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 圓的弦長的求法 1幾何法：用弦心距，半徑及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊 設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則 2r 2d2. 2代數(shù)法（也叫公式法）：設(shè)直線與圓相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 解方程組 消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而 求求 得x1x2，x1x2，則弦長為|A

8、B| （此公式也叫做設(shè)而不求利用韋達(dá)定理求弦長公式 ） 題型二題型二.若直線與圓相交，求弦長問題：若直線與圓相交，求弦長問題： 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 解法一：（求出交點利用兩點間距離公式） x y O A B 4 22 ? ? y x 22 2 12 12 1 4 2230 1717 , 22 1717 , 22 17 1717 17 (,),(,) 2222 |14 yx y xy xx xx yy AB AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由消去 得 例1、已知

9、直線 y=x+1 與圓 相交于相交于A,B兩點， 求弦長|AB|的值 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 4 22 ? ? y x 解法二：（弦長公式）解法二：（弦長公式） x y O A B 22 2 1212 22 1212 22 1 4 2230 3 1, 2 |(1 )()4 3 (1 1 )(1)4()14 2 yx y xy xx xxx x ABkxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由消去 得 1已知直線 y=x+1 與圓 相交于A,B兩點，求 弦長|AB|的值 文檔來源于網(wǎng)

10、絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 4 22 ? ? y x 解三：解弦心距,半弦及半徑構(gòu)成的直角三角形） 2 22 12 2 1( 1) |214 d ABrd ? ? ? ? 設(shè)圓心O（0，0）到直線的距離為 d，則 x y O A B d r 2已知直線 y=x+1 與圓 相交于A,B兩點，求 弦長|AB|的值 練習(xí)：求直線3x+4y+2=0被圓 截得的弦長。 032 22 ?xyx 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 例例2、已知過點、

11、已知過點M（-3，-3）的直線）的直線l被圓被圓 x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為 ，求直線l的 方程。 54 . y O M . 利用幾何性質(zhì)，求弦心距利用幾何性質(zhì)，求弦心距,然后用點到直線的距離求斜然后用點到直線的距離求斜 率。率。 X+2y+9=0,或2x-y+3=0 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 題型三、求圓的切線方程的常用方法 ?復(fù)習(xí)點與圓的位置關(guān)系，判斷切線 的條數(shù) 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 ?

12、題型三、求圓的切線方程的常用方法 (1)若點P(x 0,y0)在圓C外,過點P的切線有兩條.這時 可設(shè)切線方程為 y-y 0=k(x-x0),利用圓心C到切線的 距離等于半徑求k.若k僅有一值,則另一切線斜率 不存在,應(yīng)填上.也可用判別式=0求k的值. (2)若點P(x 0,y0)在圓C上,過點P的切線只有一條.利用 圓的切線的性質(zhì),求出切線的斜率.k切= 代 入點斜式方程可得. 也可以利用結(jié)論:若點P(x 0,y0)在圓x2+y 2=r2上,則過 該點的切線方程是x0 x+y0y=r 2.若點P(x 0,y0)在圓 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,則過該點的切線方程是 (x0- a)

13、(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2. 1 , CP k ? 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 ? （2）已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的 切線方程. 解:如右圖所示,設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1. ? 因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是 1 1 .k k ? ? 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 例例1：求過一點：求過一點P(-3,-2)的圓的圓x2 + y2 +2x 的切線

14、方程。的切線方程。 解：設(shè)所求直線為（）解：設(shè)所求直線為（） 代入圓方程使代入圓方程使； 即所求直線為即所求直線為 提問：上述解題過程是否存在問題提問：上述解題過程是否存在問題 ？ X=-3是圓的另一條切線 3 4 注意：注意：1.在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)首先判斷這點與圓的位置關(guān)系， 若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條； 若點在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點在圓外，切線應(yīng)有兩條； 若點在圓內(nèi)，無切線若點在圓內(nèi)，無切線 2.設(shè)直線的方程時，切記千萬要對直線的斜率存在與否進(jìn)行討論。設(shè)直線的方程時，切記千萬要對直線的斜率存在與否進(jìn)行討論。 若存在，則經(jīng)常設(shè)直線的方程為點斜式；若不存在，則特殊情

15、況特殊對待。若存在，則經(jīng)常設(shè)直線的方程為點斜式；若不存在，則特殊情況特殊對待。 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 小結(jié)：求圓的切線方程一般有兩種方法： (1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)與圓的方程組成 方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式 0進(jìn)而求得k. (2)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)利用點到直線的 距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而 求出k. 以上兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選 練習(xí)1.求過M（4，2）且與圓 相切的直線方程. 22 860 x

16、yxy? 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 : )(047) 1( ) 12( :,25)2() 1( :. 1 22 Rmmym xmlyxC ? ?直線已知圓練習(xí) ;) 1 (相交與圓證明直線Cl .,)2(的方程直線截得的弦長最小時被圓求直線lCl 題型四、最長弦、最短弦問題題型四、最長弦、最短弦問題 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 22 243010 2. xyxyxy+-=+ =例1、圓上到直線的 距離為的點共有幾個

17、 題型五、判斷點的個數(shù)問題題型五、判斷點的個數(shù)問題 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 練習(xí)1:已知圓 , 直線 l: y=x+b, 求b的取值范圍,使 (1)圓上沒有一個點到直線l的距離等于1 (2)圓上恰有一個點到直線l的距離等于1 (3)圓上恰有兩個點到直線l的距離等于1 (4)圓上恰有三個點到直線l的距離等于1 (5)圓上恰有四個點到直線l的距離等于1 22 4xy? 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 題型六、數(shù)形結(jié)合問題

18、 ? 7.若直線y=x+k與曲線 恰有一個公共點, 則k的取值范圍是_. 2 1xy? 2( 1,1kk? ? ?或 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 題型七、垂直問題 已知圓06 22 ?myxyx與直線032? yx相交于 P、Q兩點，O為原點，且OQOP?，求實數(shù)m的值 ， 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 分析：分析：設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)為),( 11 yx、),( 22 yx，則由1? OQOP kk， 可得0 2121 ?yyxx，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解 或因為通過原點的直線的斜率為 x y ，由直線l與圓的方程構(gòu)造以 x y 為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出 OQOP kk?的值，從而使問題得以解決 文檔來源于網(wǎng)絡(luò)，文檔所提供的信息僅供參考之用，不能作為科學(xué)依據(jù)，請勿模 仿。文檔如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系本人或網(wǎng)站刪除。 解：解：設(shè)點P、Q的坐標(biāo)為),( 11 yx、),( 22 yx一方面，由OQO