2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3.4余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例-高度角度問題同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價十四余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問題(15分鐘30分)1.在地面上點(diǎn)D處,測量某建筑物的高度,測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°,已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m,則建筑物的高度為()A.20mB.30mC.40m D.60m【解析】選C.如圖,設(shè)O為頂端在地面上的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,B=20,BD=40,OD=20QUOTE,在Rt△AOD中,OA=OD·tan60°=60,所以AB=OA-OB=40(m).2.當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時,一根長為2m的竹竿如圖所示放置,要使它的影子最長,則竹竿與地面所成的角是()A.150° B.30° C.45° D.60°【解析】選B.設(shè)竹竿與地面所成的角為α,影子長為xm.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以x=QUOTEsin(120°-α).因?yàn)?0°<120°-α<120°,所以當(dāng)120°-α=90°,即α=30°時,x有最大值.即竹竿與地面所成的角是30°時,影子最長.3.為了測量某塔的高度,某人在一條水平馬路C,D兩點(diǎn)處進(jìn)行測量.在C點(diǎn)測得塔底B在南偏西80°,塔頂A仰角為45°,此人沿著南偏東40°方向前進(jìn)10米到D點(diǎn),測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,則塔的高度為()A.5米 B.10米C.15米 D.20米【解析】選B.如圖,由題意得,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥BD.設(shè)塔高AB=x米,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x米,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=QUOTE=QUOTEx米,在△BCD中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos120°,所以(QUOTEx)2=x2+100+10x,解得x=10或x=-5(舍去).4.如圖所示,飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為海拔18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km,參考數(shù)據(jù):QUOTE≈1.732)()A.11.4km C.6.5km D.5.6km【解析】選B.因?yàn)锳B=1000×QUOTE=QUOTE,C=75°-30°=45°,所以BC=QUOTE·sin30°=QUOTE.所以航線離山頂h=QUOTE×sin75°=QUOTE×sin(45°+30°)≈11.4.所以山高為18-11.4=6.6(km).5.如圖,某人在地面上C處視察一架迎面飛來的飛機(jī)在A處的仰角為30°,過一分鐘后飛機(jī)飛到B處再測得仰角為45°,假如該飛機(jī)以每小時450km的速度沿水平方向飛行,則飛機(jī)的高度為km.

【解析】過C作CD⊥AB于D,∠DCA=60°,∠DCB=45°,設(shè)飛機(jī)的高度為hkm,則BD=hkm,AD=QUOTEhkm.又AB=450×QUOTE=7.5(km),由AD-BD=AB,得QUOTEh-h=7.5.所以h=QUOTE=QUOTE(km).答案:QUOTE6.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)覺在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇(如圖所示).若要在最短的時間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.【解析】如圖,設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依據(jù)正弦定理得QUOTE=QUOTE,解得sinα=QUOTE=QUOTE.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.如圖所示,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選B.依題意可得AD=20QUOTEAC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推論得,cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.2.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,則建筑物的高度為()A.15QUOTEm B.20QUOTEmC.25QUOTEm D.30QUOTEm【解析】選D.設(shè)建筑物的高度為h,由題圖知,PA=2h,PB=QUOTEh,PC=QUOTEh,所以在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理的推論,得cos∠PBA=QUOTE,①cos∠PBC=QUOTE.②因?yàn)椤螾BA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=30QUOTE或h=-30QUOTE(舍去),即建筑物的高度為30QUOTE3.如圖所示,在坡度肯定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD=50m,山坡對于地平面的坡度為θ,則cosθ等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE-1【解析】選C.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=100QUOTE.在△ADC中,QUOTE=QUOTE,所以cosθ=sin(θ+90°)=QUOTE=QUOTE-1.【誤區(qū)警示】解題時留意分清不同的三角形,求值時在不同的三角形中求解.4.在某個位置測得某山峰仰角為θ,對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ,接著在地面上前進(jìn)200QUOTEm以后測得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為()A.200m B.300mC.400m D.100QUOTEm【解析】選B.由題意得如圖,則△BED,△BDC均為等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=200QUOTEm.方法一:在△BCD中,由余弦定理的推論可得cos2θ=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)?°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).方法二:由于△BCD是等腰三角形,QUOTEBD=DCcos2θ,即300=200QUOTEcos2θ,所以cos2θ=QUOTE,又0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖,在湖面上高為10m處測得天空中一朵云的仰角為30°,測得湖中之影的俯角為45°,則云距湖面的高度為m(答案保留根號).

【解析】在△ACE中,tan30°=QUOTE=QUOTE.所以AE=QUOTE(m).在△AED中,tan45°=QUOTE=QUOTE,所以AE=QUOTE(m),所以QUOTE=QUOTE,所以CM=QUOTE=10(2+QUOTE)(m).答案:10(2+QUOTE)【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A點(diǎn)和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°.從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.【解析】可得AC=100QUOTE.在△MAC中∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE?AM=100QUOTE.在△AMN中,QUOTE=sin60°,所以MN=100QUOTE×QUOTE=150(m).答案:1506.在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|,大小為km/h.

【解析】由題意得如圖,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20QUOTE(負(fù)值舍去),∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔的最大仰角為30°,求塔高.【解析】如圖所示,AB為塔高,某人從C處沿CD方向前進(jìn),過B作BE⊥CD于E,連接AE,則∠AEB=30°.在△BDC中,CD=40,∠BCD=90°-60°=30°,∠DBC=180°-45°=135°.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=20QUOTE(米).∠BDE=180°-135°-30°=15°,所以BE=BDsin15°=20QUOTE×QUOTE=10(QUOTE-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BEtan30°=QUOTE(3-QUOTE)(米).故所求的塔高為QUOTE(3-QUOTE)米.8.如圖所示,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.【解析】連接BD,如圖,則四邊形ABCD的面積為S=S△ABD+S△CDB=QUOTEAB·AD·sinA+QUOTEBC·CD·sinC.因?yàn)锳+C=180°,所以sinA=sinC,所以S=QUOTE(AB·AD+BC·CD)sinA=QUOTE(8+24)sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC.所以20-16cosA=52-48cosC.因?yàn)閏osC=-cosA,所以64cosA=-32,所以cosA=-QUOTE,又0°<A<180°,所以A=120°,所以S=16sin120°=8QUOTE.在紀(jì)念抗戰(zhàn)成功七十周年閱兵式上實(shí)行升旗儀式,如圖,在坡角為15°的觀禮臺上,某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上,在該列的第一排和最終一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°,且第一排和最終一排的距離為10QUOTE【解析】如圖,設(shè)旗桿高為hm,最終一排為點(diǎn)A,第一排為點(diǎn)B,旗桿頂端為點(diǎn)C,則BC=QUOTE=QUOTEh.在△ABC中,AB=10QUOTE,∠CAB=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°,由正弦定理,得QUOTE=Q