高斯小學(xué)奧數(shù)四年級上冊含答案第12講_乘法原理進(jìn)階

1、第十二講乘法原理進(jìn)階在之前我們學(xué)習(xí)了“加法原理與乘法原理”一講，即分類相加與分步相乘的思想如果完成一件事分為幾個步驟，在每一個步驟中又有不同的方法，那么把每步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)這就是乘法原理要想把過程分成幾個步驟從而應(yīng)用乘法原理，必須保證各步驟之間滿足下面兩個要求：1.每步都只是整件事情的一個部分，必須全部完成才算做完這件事；2.步驟之間要有先后順序，先確定好一步，再做下一步，直到最后那么是不是只要分步驟完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？如下圖，把a、b、c三部分用三種不同的顏色染色，要求相鄰兩部分不能同色，那么一共有多少種不同的染法呢？abc其實，整個染色過程是需要分為三步的，

2、即分別給其中一塊染色：當(dāng)染色順序為abc時，那么a有3種染法，b不能和a一樣，有2種染法，同樣c有2種，那么一共就有“322”種染法；（cba同理）當(dāng)染色順序為bac時，那么b有3種染法，a不能和b一樣，有2種染法，同樣c有2種，那么一共就有“322”種染法；（bca同理）當(dāng)染色順序為acb時，那么a有3種染法，第二步c沒有限制，也有3種染法，但是最后的b就出問題了，我們沒法確定它有2種還是1種染法如果c和a同色，則b有2種染法；如果c和a不同色，則b只有1種染法此時，根據(jù)分步相乘的思想計算整個過程的染色方法“33?”就不再適用了（cab同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以應(yīng)用乘法

3、原理，要想應(yīng)用乘法原理，還必須滿足第三個要求：3.做完一步時，這一步的結(jié)果很可能會影響后面步驟的結(jié)果，但一定不能影響后面步驟的方法數(shù)如果這一步的不同結(jié)果會導(dǎo)致后面某一步的方法數(shù)發(fā)生變化，就不能直接用乘法原理計算簡稱“前不影響后原則”染色問題，是應(yīng)用乘法原理最常見的一類題型，其實，從上面對a、b、c三部分的染色分析我們應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，染色的時候，要盡量避免“隔”著染，一定不要“跳”著染，而且，第一步要盡量去染“接觸最多”的那一部分，這樣，才能夠使得后面的染色過程盡量避開“前影響后”例題1如圖，把a、b、c、d、e這五部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色請問：這幅圖共有多少種不同

4、的染色方法？分析分五步染色，先染哪一塊呢？能否按照a、b、c、d、e的順序染呢？bcaed練習(xí)1如圖，把a、b、c、d這四部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色請問：這幅圖共有多少種不同的染色方法？abcd例題2某市實行垃圾分類處理每個地方放置五個垃圾桶，從左向右依次標(biāo)明：電池、塑料、廢紙、易拉罐、其它現(xiàn)在準(zhǔn)備把五個垃圾桶染成紅、綠、藍(lán)這3種顏色之一（1）要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同，一共有多少種染色方法？（2）要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成紅色，一共有多少種染色方法？分析如果我們先染廢紙垃圾桶：當(dāng)它染紅色時，回收易拉罐的垃圾桶可以染綠、藍(lán)兩種顏色；而當(dāng)

5、它染綠色（藍(lán)色）時，回收廢紙的垃圾桶只能染藍(lán)色（綠色）因此先染廢紙垃圾桶時，會影響易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，就不能直接用乘法原理計算了那么我們應(yīng)該先給哪個垃圾桶染色呢？練習(xí)2麥兜很挑食，只吃帶有魚丸或粗面的搭配一天它和3位同學(xué)來餐廳吃東西，一開口就要魚丸粗面，結(jié)果老板說沒有這個時候，由于時間太晚，餐廳快打烊了，只能做牛肚河粉，魚丸油面，豬肉米線和牛肉拉面各一份，請問它們四只豬各點一份，有幾種點法？在例題2中，有一個垃圾桶是有特殊要求的易拉罐垃圾桶不能染成紅色，我們通過嘗試可知：如果一開始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就會影響到易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，即不能滿足“前不影響后”原則，

6、而如果首先染易拉罐垃圾桶，則不會出現(xiàn)該問題，所以一般而言，如果題目中有些對象是有特殊要求的，那么我們分步分析計算的時候，首先要考慮這些特殊的對象例題3卡莉婭、墨莫、小高和大頭4名同學(xué)競選班委有班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員三個職位，每個人只能擔(dān)任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔(dān)任（1）有多少種可能的選舉結(jié)果？（2）如果班長必須由卡莉婭來擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？（3）如果生活委員只能在墨莫和大頭之中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？（4）如果學(xué)習(xí)委員不能由小高擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？分析可以按照職位一一確定，第（2）問中，班長只能由卡莉婭來擔(dān)任，那么先確定哪一個職位的人選呢？其他小問呢？練習(xí)

7、3甲、乙、丙、丁、戊5個人競選班委有班長、副班長、紀(jì)律委員、衛(wèi)生委員四個職位，每個人只能擔(dān)任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔(dān)任：請問：（1）一共有多少種可能的選舉結(jié)果？（2）如果副班長只能在甲、丁和戊中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？（3）如果衛(wèi)生委員不能由乙、丙擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？例題4甲、乙、丙、丁四個人要住進(jìn)a、b、c、d四間房間，每個房間住一個人其中甲不住a房間，丙只住d房間請問：這四個人住進(jìn)四個房間有多少種住法？分析本題中甲和丙有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮甲還是丙呢？練習(xí)4甲、乙、丙、丁四個人要住進(jìn)a、b、c、d四間房間，每個房間住一個人其中甲只住a或b房間，丙只住a、b或c

8、房間請問：這四個人住進(jìn)四個房間有多少種住法？例題5甲、乙、丙、丁、戊五人要駕駛a、b、c、d、e這五輛不同型號的汽車，請計算在下列情況下，分別共有多少種不同的安排方案：（1）只有甲能開汽車a，乙不會開汽車b；（2）會開a的只有甲和乙，會開e的只有甲、乙、丙分析第（1）問中，甲和丙兩人有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮哪一個人呢？第（2）問中，a和e兩車有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮哪輛車呢?接下來我們分析一下“放相同棋子”的問題如右圖，將2枚相同的棋子放入22的方格內(nèi)，每個格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共會有幾種方法呢？其實，要把兩枚相同的棋子放進(jìn)格子內(nèi)，只需要選出兩個格子即可，然后

9、每個格子里放一枚棋子一共有兩行，所以必定會是每行一枚，所以我們完全可以分行選格子，第一行有兩種選法，第一行選好后，第二行就只有一種選法了，所以一共有21=2種例題6右圖是一個階梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，這樣的放法共有多少種？分析容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我們可以把放五枚棋子的過程分成五步：一行一行或一列一列的放課堂內(nèi)外四色定理四色定理與費馬大定理、哥德巴赫猜想并稱為近代數(shù)學(xué)三大難題四色定理的內(nèi)容是：對于任何一張地圖，只用四種顏色，就可以把有相鄰邊界的國家染上不同的顏色四色問題的提出來自英國1852年，在大學(xué)讀書的格斯里向他

10、的老師著名數(shù)學(xué)家摩根提出了這個問題，摩根沒有能找到解決這個問題的途徑“四色問題”提出以后，最初并沒有引起廣泛的重視，許多數(shù)學(xué)家低估了它的難度就連素以謙虛著稱的德國數(shù)論專家閔可夫斯基在大學(xué)上拓?fù)湔n時也說：四色問題之所以一直沒有獲得解決，那僅僅是由于沒有一流的數(shù)學(xué)家來解決它說罷，他拿起粉筆，竟要當(dāng)堂給學(xué)生推導(dǎo)出來，結(jié)果沒有成功下一節(jié)課他又去試，還是沒有成功過了幾個星期，仍無進(jìn)展有一天，他剛跨進(jìn)教室，適逢天上雷聲大作，震耳欲聾他馬上對學(xué)生說：“上天在責(zé)備我自大，我也無法解決四色問題”這樣，四色問題就成了世界最著名的問題之一l00多年中，“四色問題”使數(shù)學(xué)家們深為困擾沒有人能證明它，也沒有人推翻它電子

11、計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了四色猜想的證明進(jìn)程就在1976年6月，哈肯與阿佩爾在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億次判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動了世界作業(yè)1.五個座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人選一個座位坐下，其中每個座位只能坐一個人，且萱萱不坐在中間的位置這五個人有多少種坐法？2.如圖，把a、b、c這三部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色請問，這幅圖共有多少種不同的染色方法？abc3.把a、b、c、d、e這五部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色這幅圖共

12、有多少種不同的染色方法？abcde4.甲、乙、丙、丁四個人排成一隊，甲不當(dāng)排頭，乙不當(dāng)排頭也不當(dāng)排尾，共有多少種不同的排法？5.在24的方格中放入兩枚相同的棋子，要求兩枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少種放法？第十二講乘法原理進(jìn)階1.例題1答案：96bcad3222詳解：分步，分別給e、染色，分別有4、種染法，所以一共有43222=96種染色方法2.例題2答案：48；32（詳解：1）從左往右依次染色，分別有3、2、2、2、2種染法，共有32222=48種染色方法；（2）分步，先染易拉罐垃圾桶，再分別給廢紙、塑料、電池、其他這四個垃圾桶染色，五個垃圾桶分別有2、2、2、2、2種染法，所以一

13、共有22222=32種染色方法3.例題3答案：24；6；12；18（32詳解：1）分別確定班長、學(xué)委、生活委員的人選，分別有4、種選法，所以共有432=24種；（2）分別確定班長、學(xué)委、生活委員的人選，分別有1、3、2種選法，所以共有132=6種；（3）分別確定生活委員、學(xué)委、班長的人選，分別有2、3、2種選法，所以共有232=12種；（4）分別確定學(xué)委、班長、生活委員的人選，分別有3、3、2種選法，所以共有332=18種4.例題4答案：4詳解：分步，分別安排丙、甲、乙、丁，分別有1、2、2、1種選法，所以一共有1221=4種選法5.例題5答案：18；24詳解：（1）先考慮甲，后考慮乙，再考慮

14、其他三個人，分別有1、3、3、2、1種可能，共有13321=18種；（2）先考慮a，后考慮e，再考慮其他三輛車，分別有2、2、3、2、1種可能，所以共有22321=24種6.例題6答案：16詳解：一共要選5個格子放棋子，一行一行選，每行1個，而且不能在同一列，從上往下，5行分別有2、2、2、2、1種選法，所以一共有22221=16種選法7.練習(xí)1答案：48詳解：分步，分別給b、c、a、d染色，分別有4、3、2、2種染法，所以一共有4322=48種染色方法8.練習(xí)2答案：6詳解：先讓麥兜點，只有魚丸油面1種可選，然后讓其他3位同學(xué)依次點，分別有3、2、1種選法，共分四步，乘法原理，所以共有1321=6中不同的選法9.練習(xí)3答案：120；72；72（簡答：1）5432=120種；（2）先確定副班長，再依次確定其他，共有3432=72種；（3）先確定衛(wèi)生委員，再依次確定其他，共有3432=72種10.練習(xí)4答案：8簡答：分步，分別安排甲、丙、乙、丁，分別有2、2、2、1種選法，所以一共有2221=8種選法11.作業(yè)1答案：96簡答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜