高中數(shù)學(xué)選修2-2知識點

1、高中數(shù)學(xué)選修2-2知識點第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一導(dǎo)數(shù)概念的引入1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)y=f(x)在x=x處的瞬時變化率是0limf(x0+dx)-f(x0)dx0dx，我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y|00x=x0，dx0即f(x)=lim0f(x+dx)-f(x)00dxx-x.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線通過圖像,我們可以看出當(dāng)點p趨近于p時，直線pt與曲線相切。容易n知道，割線pp的斜率是k=f(xn)-f(x0)，當(dāng)點p趨近于p時，函數(shù)y=f(x)在x=x處的導(dǎo)nnn0n0數(shù)就是切線pt的斜率k，即k=limdx0f(x)-f(x)n0x-

2、xn0=f(x)03.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y,即f(x)=limdx0f(x+dx)-f(x)dx二.導(dǎo)數(shù)的計算1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:1若f(x)=c(c為常數(shù))，則f(x)=0；2若f(x)=xa,則f(x)=axa-1;3若f(x)=sinx,則f(x)=cosx4若f(x)=cosx,則f(x)=-sinx;5若f(x)=ax,則f(x)=axlna6若f(x)=ex,則f(x)=ex7若f(x)=logx,則f(x)=a8若f(x)=lnx,則f(x)=2）導(dǎo)數(shù)的運算法則1xlna1x3.f(x)

3、1.f(x)g(x)=f(x)g(x)2.f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)=g(x)g(x)23）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y=f(u)和u=g(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即y=f(g(x)為一個復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)g(x)三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x)是極大值;00(2)如果在x附近的左側(cè)f(x)0,那么f(x)是極小值;004.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

4、函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.四.生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)的知識,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題第二章推理與證明知識結(jié)構(gòu)推理與證明推理證明歸納推理合情推理類比推理演繹推理比較法直接證明綜合法分析法反證法間接證明數(shù)學(xué)歸納法1、歸納推理把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況

5、發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；檢驗猜想。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹

6、推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷用集合的觀點來理解：若集合m中的所有元素都具有性質(zhì)p,s是m的一個子集,那么s中所有元素也都具有性質(zhì)p.mas*（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k(kn,kn)時命題成立，推證當(dāng)n=k+1時命題也成立.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.5、直接證明與間接證明綜合法：利用已知條件和某些數(shù)

7、學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因?qū)Ч?分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；(4)（結(jié)論）肯定原命

8、題的結(jié)論成立.6、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟;（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n(nn*)時命題成立；000只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n開始的所有正整數(shù)n都成立.0用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、幾何中的計算問題等.第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一:復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù):形如a+bi(ar,br)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a和b分別叫它的實部和虛部.(2)分類:復(fù)數(shù)a+bi(ar,br)中,當(dāng)b=0,就是實數(shù);b0,叫做虛數(shù);當(dāng)a=0,b0時,叫做純虛數(shù).(3)復(fù)數(shù)相等:如果兩個復(fù)

9、數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復(fù)數(shù)相等.(4)共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).(5)復(fù)平面:建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。(6)(7)兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。2相關(guān)公式復(fù)數(shù)的除法：a+bic+di(c+di)(c-di)a+bi=c+dia=b,且c=da+bi=0a=b=0z=a+bi=a2+b2z=a-biz，z指兩復(fù)數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復(fù)數(shù)）.3復(fù)數(shù)運算i復(fù)數(shù)加減法：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)；復(fù)數(shù)的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i=ac+bd+bc-adic2+d2c2+d2c2+d2（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化）4.常見的運算規(guī)律(1)z=z;(2)z+z=2a,z-z=2bi;(3)zz=z2=z2=a2+b2;(4)z=z;(5)z=zzr(6)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1;=i,=-i,(7)(1i)2=i;(8)1+i1-i