向量公式匯總0001

1、量公式匯總平面向量1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC。a+b=（x+x， y+y）。a+0=0+a=a。 向量加法的運(yùn)算律： 交換律： a+b=b+a； 結(jié)合律： （a+b）+c=a+（b+c。）2、向量的減法如果 a、b 是互為相反的向量，那么AB-AC=CB.即共同起點(diǎn)，指向被減 a=（x,y） b=（x,y） 則 a-b=（x-x,y-y）.a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為 03、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個向量，當(dāng)A0時，入與a同方向；當(dāng)&0時，入與a反方向；當(dāng)入=0寸，入a=0方向任意。當(dāng)a=0時，對于任意實(shí)數(shù) 人都有記作入a

2、且I入I= I姑？I a I。入a=0注：按定義知，如果 入a=，那么 入=0或 a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a的系數(shù)， 線段伸長或壓縮。當(dāng)I入I 1時，表示向量 上伸長為原來的I入I倍；當(dāng)I入I V 1時，表示向量上縮短為原來的I入I倍。乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量a的有向a的有向線段在原方向（A0）或反方向（X0）a的有向線段在原方向（A0）或反方向（0）數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：（入a）?b=入（a?b）=（a?入b）向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：（入+ 11 ）a=入a+ 11 a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.數(shù)乘向量的消去律： 如果

3、實(shí)數(shù)入工且入a=4那么a=b。 如果a且入a=ia 那么入=14、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=bM角AOB稱作向量a和向量b 的夾角，記作a,b并規(guī)定OWa,bn定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，貝U a?b=|a|?|b|?cos a, b；若 a、b 共線，貝U a?b=+- l all b I。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x+y?y。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a?b=b?a （交換律）；（入a）?b=入（a關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）；（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a| 的平方

4、。a 丄 b =a?b=0o|a?b| |a|?|b| o向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律， 即：（a?b）?c工a?（b?（例如：（a?b）2工a2?b22、 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c （a藝0推不出b=Co3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-bo 5、向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作 axb若a、 b不共線，則aXb的模是：l aXb =|a|?|b|?sin a， b； aXb的方向是：垂直 于a和b，且a、b和aXb按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共

5、線，則aX b=0 向量的向量積性質(zhì)：l aXb是以a和b為邊的平行四邊形面積。aXa=o0a II b二aX b=0向量的向量積運(yùn)算律aXb=-bX；a（入 a X b= XaX b =aX （入；（a+b）Xc=aXc+bXc.注：向量沒有除法，向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式1、11 al-當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)2、llal-I b l l 1 a+b l I a l + l b l ； a、b 反向時，左邊取等號； a、b同向時，右邊取等號。b a-b a + b o 當(dāng)且僅當(dāng)3、b同向時，左邊取等號; 當(dāng)且僅當(dāng)3、b反向時，右邊取等號。6. 定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量

6、 P1P=入佝量PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是I上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個 實(shí)數(shù)入使 向量P1Pn?量PP2,入叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y）,則有OP=（0P1 OP2）（1+；）（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。X定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若OCX OA +卩O且，入+卩=則,人、B、C三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在 ABC中，若GA +GB +GC=O, G為 ABC的重心編輯本段向量共線的

7、重要條件若bMQ則a空間向量令 a =(31,32,33), b (b,b2,b3)，則3 b (31b1 ,32 b2 ,33 b3)a ( 31,32 ,33)( R)3 b 3ibi3 2匕23 3b3共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合-3132333 “ b 31 b1,32 b2,33 b3（ R） b1 b2 b3如杲三個向量3,b,c不共面：那么對空間任一向量P，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組X、y、乙 使 P X3 yb zc.X、推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組y、z 使 OP xOA yOB z

8、OC (這里隱含 x+y+z 工.1)向量垂直3 b 31 b1 32b2 33b3 0?？臻g兩個向量的夾角公式aidazb?a3b3cos a,b. ”|a| |b | Jaj af af Jb： b； b3(a= (ai, a2 , a3) , b = (bi, b2 ,b3 ) ) 空間兩點(diǎn)的距離公式：0 2 2 2 d J(X2 Xi)(y2 yi)(Z2 zi).利用法向量求點(diǎn)到面的距離如圖，設(shè)n是平面 的法向量，AB是平面 的一條射線，其中A ，則點(diǎn)B到平面| AB n|的距離為 一.|n|.異面直線間的距離UUU UUrd |CD n |（11,12是兩異面直線，其公垂向量為n , C、D分別是11,12上任一點(diǎn)，d為 |n|ll,l2間的距離）.B到平面 的距離UUL UL| AB n | rd AB n|（ n為平面 的法向量，AB是經(jīng)過面 的一條斜線， A