坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點選題

1、第一節(jié)坐標(biāo)系1. 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換心，ly =y的作用下，點P（X, y）對應(yīng)到點P（X, 八,稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 伸縮變換.2. 極坐標(biāo)系與點的極坐標(biāo)極坐標(biāo)系：如圖1所示，在平面內(nèi)取一個定點0（極點），自極點0引一條 射線0x（極軸）；再選定一個長度單位，一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.（2）極坐標(biāo)：平面上任一點M的位置可以由線段0M的長度P和從Ox到0M 的角度0來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對（P, 0稱為點M的極坐標(biāo).其中P稱為點M的極徑，0稱為點M的極角.3.

2、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點M直角坐標(biāo)（x, y）極坐標(biāo)（p 0互化公式j(luò)x= pcos 0,ly= pin 02 2,2 p = x + yv tan 0= (x 0)4. 圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓p= r( 0斶p= 2rsin_ 6(0 0 n)0工5.直線的極坐標(biāo)方程直線I過極點，且極軸到此直線的角為 a則直線I的極坐標(biāo)方程是6= ap R).直線I過點M(a,O)且垂直于極軸，則直線I的極坐標(biāo)方程為pos 6=a(-n(3)直線過M b,2n且平行于極軸，則直線I的極坐標(biāo)方程為 pin_ 6= b(0 6b0）fx= acos （b,.未（b為參數(shù)）|y=

3、 bsin bt才有幾(P月)，9時，應(yīng)溫馨提示：在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時, 何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x, y)到Mo(xo, yo)的距離.重點1坐標(biāo)系與參數(shù)方程1. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件是：(1) 極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；(2) 極軸與直角坐標(biāo)系的 X軸正半軸重合;”2lx = P cos 日則互化公式是J或4yv = PsinQtan日 J“Lx(3) 兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位.設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(X, y)，它的極坐標(biāo)為 =x2 + y2;若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角注意判斷點P所在的象限(即角0的終邊的位置)，以便正確地求出

4、角，在轉(zhuǎn)化過程中注 意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹(jǐn)防漏解.2. 消去參數(shù)是參數(shù)方程化為普通方程的根本途徑，常用方法有代入消元法(包括集團(tuán)代人法)、加減消元法、參數(shù)轉(zhuǎn)化法和三角代換法等，轉(zhuǎn)化的過程中要注意參數(shù)方程中x,y含有.的限制條件，在普通方程中應(yīng)加上這種限制條件才能保持其等價性.3. 參數(shù)方程的用途主要有以下幾 .個方面：(1) 求動點(X, y)的軌跡，如果X, y的關(guān)系不好找，我們引入?yún)⒆兞縯后，很容易找到x與t和y與t的等量關(guān)系式，消去參變量后即得動點軌跡方程.此時參數(shù)方程在求動點軌跡方程中起橋梁作用.(2) 可以用曲線的參數(shù)方程表示曲線上 .一點的坐標(biāo)，這樣把二元問

5、題化為一元問題來解決， 這也是圓錐曲線的參數(shù)方程的主要功能.(3) 有些曲線參數(shù)方程的參變量 t有幾何意義.若能利用參變量的幾何意義解題，常會取 得意想不到的效果.如利用 直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中t的幾何意義解題，會使難題化易、繁題化 簡.高考?？冀嵌冉嵌?若曲線的極坐標(biāo)方程為 P =2sin + 4cos日，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建 立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角-坐標(biāo)方程為.1、解析：關(guān)鍵是記住兩點：1、x = Pcos。，y = Psin日，2、P2 = x2 + y2即可.由已知P =2sin 甘 +4cos 0 = P2 = 2 Psin 甘 +4Pcos0 = x2 + y2 =

6、2y + 4x, 二 x2 + y2 -4x -2y =0 為所求.角度2在極坐標(biāo)系中，點（2,）到圓3P =2cos e的圓.心的距離為（A. 2B.D.73解析：極坐標(biāo)P = 2cos 02 2（X-1） +y（2-）化為直角坐標(biāo)為32可化為P =2Pcos&=1 ,所以圓心坐（2cos-,2sin巴），即（1,J）.圓的極坐標(biāo)方程332 2,化為直角坐標(biāo)方程為x+y=2x ,即標(biāo)為（1,0 ）,則由兩點間距離公式d =J（1 -1）2 +（73-0）2 =73.故選 D.角度3 已知兩曲線參數(shù)方程分別為y = sin 日I5+2十X = t（0W 0 V 兀）和*4y =t（t亡R），它

7、們的交點坐標(biāo)為解：卜二亦COST y = sin 日2X表示橢圓+52y =1 （y 0）,5 + 2X = t4 表示拋物線 y =t4=一 X5X22Q= x + 4x 5 = 0 =A X = 1 或 x = -5 （舍去），j- + y 聯(lián)立得 5I 24Ly 5X又因為y0，所以它們的交點坐標(biāo)為（1,還）角度4直角坐標(biāo)系xOy中，以原點X =3 + cos 日A, B分別在曲線Ci ： 4Cy = 4 + si noO為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點5（日為參數(shù)）和曲線C2 : P =1上，則|AB|的最小值為.把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程.2 2 2.-+ y =

8、1，兩圓外離,點評：利用化 歸思想和數(shù)形結(jié)合.法，解析：曲線Ci的方程是（X 3）2+（y 4）2 =1，曲線C2的方程是x 所以|AB |的最小值為 蟲2 + 42 -1-1=3 .角度5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x = cos ly =sin 申（W為參數(shù)），曲線C2X a cos的參數(shù)方程為iylbsin半（八為參數(shù)），在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l: 9 與C1 , C2各有一個交點.當(dāng)a = 0時，這兩個交點間的距離為2,誇時，這兩個交點重合.(I)分別說明C1,C2是什么曲線，并求出 a與b的值;(n)設(shè)當(dāng)a =-時，I與C1,C2的交點分

9、別為 人月，當(dāng)a =-時，I與C1,C2的交點為44A2,B2，求四邊形AA2B2B1的面積.2 解析：(I) GG 的普通方程分別為 x2+y2=1和篤+丄 a2 =1，故G是圓，C2是橢圓. b當(dāng)a =0時，射線I與G,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0)，因為這兩點間的距離為2,所以a =3.兀當(dāng)。巧時，射線l與C1,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0, b)，因為這兩點重合,所以b =1.2 00x0(n) C1,C2的普通方程分別為 x+y =1和+ y9=1.當(dāng)a =-時，射線I與G交點A1的橫坐標(biāo)為x =423怖x =.10，與C2交點B1的橫坐標(biāo)為,兀當(dāng)a =時

10、，射線I與C1,C2的兩個交點A2,B2分別與A1,B1關(guān)于x軸對稱，因此,4四邊形A1A2B2B1為梯形.故四邊形A1A2B2B1的面積為(2x +2x)(x -X)易失分點1參數(shù)的幾何意義不明典例已知直線I的參數(shù)方程為xJt2運 + 73+ y =十t2 2(t為參數(shù))，若以平面直角坐標(biāo)系 xOy中的0點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為(1)P =2cos(0 -為.4求直線I的傾斜角;若直線I與曲線C交于A, B兩點，求I AB I .易失分提示：對直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不明確導(dǎo)致錯誤.X = tcost解析：（1）直線的參數(shù)方程可以化

11、為3L，根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線IJ2丄+兀y =+tsi n23經(jīng)過點（0,亞），傾斜角為叟.-3（2） I的直角坐標(biāo)方程為y =/3x，即 2屈-2y + 72 =02曲線 C P = 2cos(0-）的直角坐標(biāo)方程為（X -2）2 + （y - ）1，422所以圓心（逅恵）到直線I的距離d嚴(yán)選蘭畑更2 2J12 + 44所以 |AB| = 2x(乎)2易失分點2極坐標(biāo)表達(dá)不準(zhǔn)典例 已知曲線G,C2的極坐標(biāo)方程分別為 P cos9=3, P = 4 COS0 ,P0,則曲線C,與C?交點的極坐標(biāo)為 易失分提P cos8 =3P = 4cos 日示：本題考查曲線交點的求法，易錯解為：由方

12、程組P =231 cos日衛(wèi)I 2=P =23 = 2a 亡0,), 2/2 蘭 AB P = 72cos 5/2sin0P2 =72Pcos日72Psin&得 圓的直角坐標(biāo)方程為 X2+y2 J2x +J2y = O即(X亞)2+(y+V2)2 =1 ,2 2所以圓心C的直角坐標(biāo)為(22)(n)由直線I上的點向圓C引切線,切線長為x =21COS(日為參數(shù))y = 一叮3 +2 sin 0（I）設(shè)P為線段MN的中點，求直線 0P的平面直角坐標(biāo)方程;（n）判斷直線I與圓C的位置關(guān)系。解析：（I）由題意知，M , N的直角坐標(biāo)為M （2,0） , M （0, 巫），因為P是線段MN中3J3點，貝

13、y p（1,、一）3因此OP直角坐標(biāo)方程為y=3x3(n)因為直線I上兩點M(2,0) , MP,2)3 I 的方程為：=1 即 x+J3y 2=0，又圓心（2,J3），半徑 r =2. 2跡3所以d = 12_3_= 3 2 ：= r,故直線I和圓C相交.2 25.（本小題滿分10 分）2 2 2 2在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1 : x +y =4，圓C2：(x2) +y=4（1）在以0為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1,C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓Ci,C2的交點坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）（2）求圓G與圓C2的公共弦的參數(shù)方程p-2解析：圓G的極坐標(biāo)方程為 P-2 ,圓C2的極坐

14、標(biāo)方程為 P -4COS日，解AP-4COS日P-23-=,3兀5分 注：極坐標(biāo)系下點的表故圓G與圓C2交點的坐標(biāo)為（2,）,（2,）33示不唯一（2）（解法一）由Jx-Pcos日，得圓Ci與圓C2交點的直角坐標(biāo)為（1,J3）,（1,-J3）y=Psine故圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程為J3 （t為參數(shù)） ly = t10分X = 1(或參數(shù)方程寫成彳一 ，-73 y J3)ly = yx= P cos 日1(解法二)將x=1代入，得Pcos日=1，從而P=Psin8cos8 L.I X = 1兀兀于是圓G與圓C2的公共弦的參數(shù)方程為 10分y=ta n833補(bǔ)充練習(xí):1.在極坐標(biāo)系中，求

15、點(2, n到直線pin(06= 1的距離解點(2, n化為直角坐標(biāo)為(3,1), 3分直線pin(0-n= 1化為plsin 0- cos 00= 1,得烏-2x=1,即直線的方程為X(3y+ 2= 0, 6分J2+(-V3)2故點(/3, 1)到直線X/3y+ 2= 0的距離d= W 后節(jié)21= 1.10分2. 在極坐標(biāo)系下，已知圓 0:尸cos 0+ sin 0和直線I: ein(0(1)求圓0和直線I的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)0 (0, n時，求直線I與圓0公共點的一個極坐標(biāo).解 圓 0: p= cos0+sin0,即 P =pos0+pin0,2 分圓0的直角坐標(biāo)方程為X2 + y=x

16、+y,即 X2 + y2 X-y= 0, 4分直線 I: pin(0 4=乎，即卩 psin 0- pos 0= 1,則直線I的直角坐標(biāo)方程為y x= 1,即X y+ 1 = 0.6分x2+ y2 X y= 0,jx= 0,(2)由i得i8分lxy+1 = 0,ly= 1,故直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為(1, 2)-10分3. (2017邯鄲調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知直線I的極坐標(biāo)方程為 pin 1,圓C的圓心的極坐標(biāo)是c, n，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)求直線I被圓C所截得的弦長.解(1)設(shè)O為極點，OD為圓C的直徑，A( p 0)為圓C上的一個動點,nn貝UZAOD

17、= 4 0或從OD = 0-4，2 分OA= ODcosj 0 OA= ODcos圓C的極坐標(biāo)方程為p= 2cos(04J4分由psin1,得psin 0+ cos 0= 1, 6 分直線I的直角坐標(biāo)方程為X+ y = 0,又圓心C的直角坐標(biāo)為警，,滿足直線l的方程,直線I過圓C的圓心，8分故直線被圓所截得的弦長為直徑2.10分4. (2017南京調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C(3,目，半徑 U 3.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)若點Q在圓C上運動，點P在OQ的延長線上，且OQ = 2QP,求動點P 的軌跡方程.解(1)設(shè)M(p, 是圓C上任意一點.n中,/com = I 0 31，由

18、余弦定理得I 31|CM|2=OM|2 + |OC|2 2OM| |OC|cos(寸,化簡得p= 6cos ( 3j-4分設(shè)點Q( p ,d), P(p,見由 OQ= 2QP,得 OQ= 3op,01=0, 8 分代入圓C的方程，得3尸6cos(0-訂,即 p= 9cos(0 310 分x= tcos a,5. (2015全國卷n )在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù),ly= tsin at工0),其中OWan在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2：尸 2sin 0 C3： p= 2迪cos 0(1)求 C2與C3交點的直角坐標(biāo)；若C1與C2相交于點A, Ci與C3相交

19、于點B,求|AB|的最大值.2 2解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為X+ y 2y= 0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2 2j3x= 0, 2 分22 cCx + y 2y= 0, 聯(lián)立1 22廠lx + y W3x=0,|x= 0, 解得i歸0:亞x= 2 , 或:ly= 3.所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和分曲線Ci的極坐標(biāo)方程為0= a P駅,pM 0),其中0W a n.因此A的極坐標(biāo)為(2sin a a, B的極坐標(biāo)為(2羽cos a, 0).8分所以 AB| = |2sin a- 2保os 0 = 4卜n(a-訓(xùn)當(dāng)0= 時，AB|取得最大值,最大值為4.10分6.

20、 從極點O作直線與另一直線I : pos A 4相交于點M，在0M上取一點P,使 0M 0P= 12.(1)求點P的軌跡方程；設(shè)R為I上的任意一點，求|RP|的最小值.解設(shè)動點P的極坐標(biāo)為(P, 9, M的極坐標(biāo)為(p, ，貝U P尸12.-pcos 9= 4,3COS 0,即為所求的軌跡方程.4分將p= 3cos 0化為直角坐標(biāo)方程,ZB 22 c得 x + y = 3x ,即 2)+ y2 = I?.8 分知點p的軌跡是以(2 , 0圓心,半徑為2的圓.直線I的直角坐標(biāo)方程是x=4.結(jié)合圖形易得|RP|的最小值為1.10分x= 1 + 3cos t ,7 .在平面直角坐標(biāo)系心中，圓C的參數(shù)

21、方程為1=- 2+ 3sin t (t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點, 以x軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線l的方程為pi n( 0- )= m(m R).(1)求圓C的普通方程及直線I的直角坐標(biāo)方程;設(shè)圓心C到直線I的距離等于2,求m的值.解消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(X1)2 + (y+ 2) 9.2分由邁 pin(0 4J= m,得 pin 0- pcos 0- m= 0,所以直線I的直角坐標(biāo)方程為X y+ m= 0.4分(2)依題意，圓心C到直線I的距離等于2, 8分|1 ( 2 + m|即= 2解得m= 3i2迄.10分&極坐標(biāo)系與直角坐

22、標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點 0為極點，以X軸正半軸為極軸.已知直線l的參數(shù)方程為:， (t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為 pin2 0= 8cos 0.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A, B兩點，求弦長AB|.2 2 2解由 pin 0= 8cos 0,得 P sin 0= 8 pcos 0故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2= 8X.4分 x= 2+t,(2)將直線I的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式4 幣6分I血y= 2 t.代入 y2 = 8x,并整理得 3t2 16t 64= 0, t1 +12 = y, t1t2=分所以 AB| = |t1 t2|=p(t1 + tzf 4

23、t1t2=y.10 分2 29. (2016全國卷n )在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+6)+ y= 25.(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程;x= tcos a（2）直線I的參數(shù)方程是I .（t為參數(shù)），I與C交于A，B兩點，|AB|ly= tsin a=710，求I的斜率.2解(1)由x= pcos 0, y= pin 0可得圓C的極坐標(biāo)方程為p + 12 pcos 0+ 11（2）在（1）中建立的極坐標(biāo)系中，直線I的極坐標(biāo)方程為 =a P?。?設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為P， P，將I的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得 P + 12 pcos 計 11 = 0，于是 P + p= 12cos a P p2= 11.8分AB|= I p p|= y( p+ P Y-4 p p=yj 144COS a 44.由 AB| = 10得 cos a= 3，tan a= F5.f15f15所以I的斜率為二!5或一目5。分2j10. （20