同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)1、2、3、4、函數(shù)與極限函數(shù)函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；初等函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函 數(shù)、反雙曲函數(shù)；函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；f（X） X、 lim f（x）= f（Xo）函數(shù)f（X）在0連續(xù)V A XTXo第一類：左右極限均存在.可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)J第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在.無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定 理及其推論.（二）極限 定義 數(shù)列極限lim Xn = aunT函數(shù)極限lim f（X

2、）= Au 丁 0, 36 0, wX,當(dāng)0 JxXTXo間斷點(diǎn)1、1）2)v&0,3Nn,v nN, Xn- av 呂f(xj) = lim f(x)左極限：XTX0-lim f(X)= A 存在- XTX0極限存在準(zhǔn)則 夾逼準(zhǔn)則：1) y 蘭 Xn 蘭 Zn ( n 2 n。)lim yn 二 lim zn 二 a2) nn2)3、2、1）1)2)Th1第1頁(yè)共右極限:f（xf（x；）-Xo| 0，則第3頁(yè)共10頁(yè)高等數(shù)學(xué)(上)知識(shí)點(diǎn)2、a)b)c)f(X)單調(diào)增加；則若f (X)V 0，則f(X)單調(diào)減少.極值及其判定定理：.必要條件：f(X)在Xo可導(dǎo)，若Xo為f(x)的極值點(diǎn)，則fg

3、-0.第一充分條件：f(X)在Xo的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(Xo) = 0，則若當(dāng) X*0時(shí)，f(x)0，當(dāng)XAXo時(shí)，fO)0，則Xo為極大值點(diǎn)；若 當(dāng)Xf時(shí)，fX)0，當(dāng)XAXo時(shí)，r(x)A0，則Xo為極小值點(diǎn)； 若在Xo的兩側(cè)f(X)不變號(hào)，則Xo不是極值點(diǎn).第二充分條件：f(X)在Xo處二階可導(dǎo)，且f(Xo)=0， f(Xo0， 則若f “(Xo) 0，則Xo為極小值點(diǎn).Xo3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)I上的圖形是凸的.f(x)在a,b上連續(xù)，在(a，b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則 (a，b)，f (X)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的； (a,b), f (x) V 0,則f(X)在a,b上

4、的圖形是凸的.f()VX1,XI, f(4) 1dx匕(X - a)qb dxa (b - x)q(b-a)1 1 q2)六、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積b1、直角坐標(biāo):A = Jaf2(x) - f1(x)dx1 P 222、極坐標(biāo)：AH）（訕p=血（e）ap=厲（日）（二）體積1、旋轉(zhuǎn)體體積：x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體a）曲邊梯形 y= f （x）,x = a,x = b,x 軸，高等數(shù)學(xué)(上)知識(shí)點(diǎn)第9頁(yè)共10頁(yè)積：Vxb）曲邊梯形積：Vyb 2=J 兀f 2(x)dxay = f(X), X = a,x = b, X軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體b=J 2兀xf (x)dxa2、平行

5、截面面積已知的立體： V（三）弧長(zhǎng)(柱殼法)bf A(x)dxa1、直角坐標(biāo):2、參數(shù)方程:3、s極坐標(biāo)：=jb J1 + f O)】2dx=f J(t) 2 + k (t) 2dtJjpe)2 +)2d0七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) .2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二）變量可分離的方程g（y）dy = f （x）dx，兩邊積分（三）齊次型方程dx x，設(shè)乎=2或dy y，設(shè)（

6、四）一階線性微分方程字+P（X）廠 Q（x）dx=yx，則xV =/ g(y)dy = J f (x)dxy，則 dydy 丄 du =u + x dxdx ；dx 亠 dv=v + ydy用常數(shù)變易法或用公式:第8頁(yè)共10頁(yè)fP (x)dxfP (x)dx1y 二 e F Q(x)e dx + C(五)可降階的高階微分方程1、y譏 f(x)，八 f(x,y)2、3、yJ f(y,y)兩邊積分n次；(不顯含有y)，令y p,則y、p ；“ dp y 二(不顯含有x)，令y二P，則dy(六)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) *小2是齊次線性方程的解，則C1% + C2%也是；2、*小2是齊次線性方程的線性無

7、關(guān)的特解，則 C1y C2y2是方程的通解；*y = C1y C2y y為非齊次方程的通解，其中y1 , y2為對(duì)應(yīng)齊次方程的*線性無關(guān)的解，y非齊次方程的特解.常系數(shù)齊次線性微分方程+ C二階常系數(shù)齊次線性方程：y py qy =01、3、(七)特征根通解實(shí)根1 2亠1X2Xy = Ge+ C2eP廠2 二-Ty = (G + C2x)er1X1,2 i卩y = eX(C1 cosP x+ C2 sin P x)特征方程：2 + Pr + q -O，特征根：1,2(八)常系數(shù)非齊次線性微分方程 yJ py+ qy = f(x) f(x) = e*Pm(x)1、0,不是特征根kn,雇一個(gè)單根*k /x設(shè)特解y =XeQm(X)，其中2