淺談導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的作用畢業(yè)論文

1、淺談導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的作用摘要：導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題上提供了有力的工具，對導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題中的作用進(jìn)行闡述：可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值、函數(shù)的凹凸性、函數(shù)的漸近線和描繪函數(shù)的圖像并研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、凹凸性和漸近線，并附上例題說明關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 極值與最值 凹凸性 0引言 歷史上數(shù)學(xué)思想的突破點是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重大轉(zhuǎn)史的發(fā)展歷程，因此在教學(xué)中，學(xué)生自然會提出的一系列問題：“導(dǎo)數(shù)”概念是怎樣得出的？“趨近于”怎樣理解?要弄清這些問題，只有翻開數(shù)學(xué)史，從哲學(xué)的角度認(rèn)識導(dǎo)數(shù)，這樣不僅能幫助我們搞清楚導(dǎo)數(shù)的概念，有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀念. 1 主要內(nèi)容(1）函數(shù)的單調(diào)性 高

2、中階段，我們對函數(shù)單調(diào)性的定義如下：定義：已知函數(shù)，定義域為，如果,那么且那么(1) 當(dāng)，就稱函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)；(2) 當(dāng)，就稱函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)（1.1）單調(diào)性的判別方法定理1 如果函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，那么（1） 若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2） 若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.定理2 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)（1） 在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格遞減，那么，有；在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于零推論 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若（），則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）注意：本推論只是嚴(yán)格單調(diào)的充分條件。如在r上是嚴(yán)格單調(diào)的，但并不是在r上不恒大于零的，有因此允許個別離散型的點

3、時的滿足方程的點為函數(shù)的穩(wěn)定點（又稱駐點）（1.2） 單調(diào)區(qū)間的劃分（1）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點可能是：駐點或者不可導(dǎo)點（2）求單調(diào)區(qū)間的步驟：先求出函數(shù)的定義域；再求出可能的分界點：駐點或不可導(dǎo)點；用上面的分界點將定義域分成若干小區(qū)間；最后判斷在每個小區(qū)間上的符號來判斷單調(diào)區(qū)間（1.3）例題例1 判定函數(shù)的單調(diào)性分析：先判斷函數(shù)的定義域，再判定一階導(dǎo)為0 的點或?qū)?shù)不存在的點將定義域劃為幾個區(qū)間，然后分別確定在這些區(qū)間上的單調(diào)性解法一：（用定義求）由題可知函數(shù)的定義域為，令 且 有 又1，且，有，.由 結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在同一坐標(biāo)下的圖像得知，當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減 解

4、法二： 函數(shù)的定義域為，在定義域上連續(xù)，可導(dǎo)，且令，即因為在0，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增相比較而言，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性就能更加的簡便和通用.（2） 函數(shù)的極值、最值（2.1） 極值的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義若，且存在的某領(lǐng)域，有則稱為的極大值點（極小值點）為的極大值（極小值）極大值點和極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 若函數(shù)的最大（?。┲迭c在區(qū)間內(nèi)，則必定為的極大（小）值點又若在可導(dǎo)，在還是一個穩(wěn)定點所以我們只需比較在所有穩(wěn)定點、不可導(dǎo)點和區(qū)間斷電上的函數(shù)值，就能從中找到在上的最大值與最小值最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值（2.2） 極值存在的條件費馬定理 若函數(shù)在可導(dǎo)，且為的

5、極值點，則=0定理3 （極值的第一充分條件） 設(shè)在點連續(xù)，在某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（i） 若當(dāng)則在點取得極小值（ii) ,則在點取極大值定理4（極值的第二充分條件） 設(shè)在點的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且（i) 若0，則在取極大值（ii）若0，則在取得極小值定理5 （極值的第三充分條件） 設(shè)在點的某領(lǐng)域內(nèi)存在知道階導(dǎo)函數(shù)，在 處階可導(dǎo)，且 ，則：（i) 當(dāng)為偶數(shù)時，在取極值，且0時取極小值（ii） 當(dāng)為奇數(shù)時，在處不取極值（2.3） 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值求法閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值求法：將閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法推廣為開區(qū)間、半開區(qū)間(包括無窮區(qū)間)即任意區(qū)間的連續(xù)函數(shù)最值的判定和求法。其方法就

6、是把函數(shù)的駐點、不可導(dǎo)的點、閉端點的函數(shù)值中的最大(最小)值與開端點的單側(cè)極限值比較,達(dá)到最大(最小),就是函數(shù)的最大(最小)值;否則函數(shù)就沒有最大(最小)值（2.4）例題例2 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值解 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，故存在最大最小值由于 ， ， ；因此 ， ， ；求出導(dǎo)數(shù)的不穩(wěn)定點以及端點的函數(shù)值所以函數(shù)在處取得最小值，在處取得最大值132（3）函數(shù)的凹凸性（3.1） 概念：定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，且連續(xù)。如果對于區(qū)間內(nèi)任意兩點，總有 ，那么，稱函數(shù)在區(qū)間上的圖像是（向上）凸的（或凸弧）注 若是曲線的一個拐點，在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如在的情形定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義

7、，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有 則稱為上的凸函數(shù)。反之，如果總有則稱為上的凹函數(shù)定義 連續(xù)的曲線上凸弧段與凹弧段的分界點稱為該曲線的拐點(3.2) 函數(shù)凹凸性判定定理定理6 設(shè)函數(shù)在區(qū)間i內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間i內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少），那么函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凹的（或凸的）定理7 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，那么（1） 若在內(nèi)，0，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凹的；（2） 若在內(nèi)，0，則函數(shù)在區(qū)間上的圖像是凸的(3.3)解題步驟若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，討論函數(shù)的凹凸性可按以下步驟進(jìn)行：（1） 求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)；（2） 令=0，求解其解將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間；（3） 判斷在每個小區(qū)間內(nèi)的符號，

8、設(shè)，可按照下表來判斷函數(shù)的凹凸性： (曲線上的點 +（嚴(yán)凸） 0 （嚴(yán)凹） 拐點 （嚴(yán)凹） 0 +（嚴(yán)凸） 拐點 +（嚴(yán)凸） 0 +（嚴(yán)凸） 非拐點 （嚴(yán)凹） 0 （嚴(yán)凹） 非拐點(3.4)例題例3 求曲線的拐點及凹、凸的區(qū)間解 （1） 函數(shù)的定義域為r（2） 解方程，得，；（3）及將函數(shù)的定義域r分成3個部分區(qū)間：，及下面列表考察的符號：的范圍 0 待添加的隱藏文字內(nèi)容3 的符號 0 0 嚴(yán)凹 拐點 嚴(yán)凸 拐點 嚴(yán)凹因此，該曲線在，上是凹的，在上是凸的，點都是該曲線的拐點(4) 求函數(shù)的漸進(jìn)性定義 在平面內(nèi)，當(dāng)曲線c上的動點m沿著曲線c向無限遠(yuǎn)處移動時，當(dāng)動點m到一直線的距離無線接近0時，我

9、們就稱直線為曲線c的一條漸近線注：漸近線的條數(shù)不唯一，一條曲線可以有多條漸近線曲線有三種漸近線：斜漸近線、水平漸近線、垂直漸近線(4.1) 斜漸近線 如果直線是曲線的一條漸近線是，在這里也可以改為(4.2) 水平漸近線 若直線為曲線的一條水平漸近線是當(dāng)斜漸近線中的時，為水平漸近線(4.3) 垂直漸近線 若直線為曲線的一條垂直漸近線是（或） 注：這樣的一般是由觀察法得到，一般為分母為零或?qū)?shù)的真數(shù)為零處 (4.4)例題 例4 求函數(shù)的漸進(jìn)性 解 已知，則是曲線的垂直漸進(jìn)性 又有 故 直線是曲線的斜漸近線(5) 描繪函數(shù)圖象(5.1) 步驟在描繪函數(shù)圖象的時候，如果事先能夠知道圖形上的醫(yī)學(xué)關(guān)鍵點（

10、如“峰”、“谷”及拐點等）的位置，又能掌握圖形在各個部分區(qū)間上的主要形態(tài)（如單調(diào)性、周期性、凹凸性等），那么只需要描出少數(shù)幾個點就可以比較準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖像利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，可以確定函數(shù)的圖形在哪個區(qū)間上上升/下降，在哪里有“峰”“谷”點；利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，可以確定函數(shù)的圖形在哪個區(qū)間上位凹/凸，在哪里有拐點因此利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖形的一般步驟如下： 確定函數(shù)的定義域，了解函數(shù)是否具有某些簡單的特性（如奇偶性、周期性等），求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的全部的零點及不存在的點，并求出函數(shù)的間斷點用這些點將函數(shù)定義域分成若干部分區(qū)間 確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階

11、導(dǎo)數(shù)在這些部分區(qū)間內(nèi)的符號，由此確定圖形的單調(diào)性、凹凸性、極值點和拐點（通常制作成表格形式） 確定函數(shù)圖形是否有漸近線及其他變化趨勢 算出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的零點及不存在的點所對應(yīng)的函數(shù)值，定出函數(shù)圖形上相應(yīng)的點為了把圖形描繪的準(zhǔn)確一些，有時候需要補(bǔ)充求出圖形的一些點（特別可以考慮的是圖形與坐標(biāo)軸的交點）最后，結(jié)合第三四步中得到的結(jié)果，連接這些點畫出函數(shù)的圖形(5.2) 例題例5 作出函數(shù)的圖形解（1）所給函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上是連續(xù)的而（2）令,得穩(wěn)定點；,得此外，函數(shù)在r上無間斷點，并且也無使和不存在的點。因此，可將定義域劃分為4個區(qū)間：，（3） 討論函數(shù)圖形在各個部分區(qū)間內(nèi)的形態(tài)等，并將所得結(jié)論列為下表：123000的圖形凸極大值凸拐點凹極小值凹這里，箭頭表示圖像的單調(diào)性（4） 當(dāng)；當(dāng)，所以，函數(shù)的圖像無水平漸近線。又因為函數(shù)不存在無窮間斷點，所以函數(shù)的圖形無垂直漸近線（5）算出從而得到函數(shù)圖形上的三個點：點是極大值點，點是拐點，點是極小值點算出因此，又得到三個點：將上面6個點描繪在坐標(biāo)平面上，然后，根據(jù)（3）中的結(jié)果，就可以作出函數(shù)的圖形如下： （1，7/3）（4，7/3）1（2，5/3）（3，1） -1 0 1 234 （-1，-13/3） 參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（上冊）m.高等教育出版社2001年6月2胡端平熊德之.高等數(shù)