有限元講義_《有限單元法》講義

1、有限單元法 講義 有限單元法講義143有限單元法講義第1章 概論計(jì)算力學(xué)是根據(jù)力學(xué)中的理論，利用現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)和各種數(shù)值方法，解決力學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題的一門(mén)新興學(xué)科。它橫貫力學(xué)的各個(gè)分支，不斷擴(kuò)大各個(gè)領(lǐng)域中力學(xué)的研究和應(yīng)用范圍，同時(shí)也逐漸發(fā)展自己的理論和方法。 有限單元法是計(jì)算力學(xué)的重要分支，是一種將連續(xù)體離散化，以求解各種力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法。在大學(xué)里學(xué)習(xí)過(guò)四大力學(xué)（理、材、結(jié)、彈）。眾所周知，結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對(duì)象是桿件結(jié)構(gòu)(如框架、桁架)；彈性力學(xué)的主要研究對(duì)象是板、殼、實(shí)體結(jié)構(gòu)(如平板、水壩)。在結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法中，是將計(jì)算對(duì)象轉(zhuǎn)換成若干已知的單跨超靜定梁(如圖1-1)。圖 1-1 位移法計(jì)算簡(jiǎn)

2、圖在有限單元法的剛度法中,是將計(jì)算對(duì)象劃分成有限個(gè)容易求解的單元(“elements”，又稱元素“components”或元件)。如圖1-2所示深梁,可劃分成若干個(gè)矩形單元、三角形單元,單元與單元之間用結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié),常以結(jié)點(diǎn)的位移分量作為基本未知量。根據(jù)結(jié)構(gòu)受力特性的不同，確定相應(yīng)的位移分量，如圖示深梁，則取每個(gè)結(jié)點(diǎn)的u,v位移為基本未知量。而圖示平板則每個(gè)結(jié)點(diǎn)取3個(gè)位移分量（）圖 1-2 有限元法的單元?jiǎng)澐衷诮Y(jié)構(gòu)力學(xué)位移法中,是利用已知的單跨超靜定梁的內(nèi)力計(jì)算公式的成果(固定求固端力,放松求單元的桿端力),由結(jié)點(diǎn)的平衡條件附加約束上的反力0,建立求解未知位移的平衡方程組）。在有限元?jiǎng)偠确ㄖ?先分

3、析各元素的自身特性，然后利用在結(jié)點(diǎn)相交的平衡條件、變形協(xié)調(diào)條件、物理?xiàng)l件,建立求解各結(jié)點(diǎn)位移(ui、vi)的聯(lián)立方程。 在工程領(lǐng)域,許多情況下都是利用有限個(gè)已知的元件得到一個(gè)合理的模型,以此求解原來(lái)的復(fù)雜的問(wèn)題,這種求解問(wèn)題的方法就叫作“離散”。 利用“離散(discrete)”方法求得的解答是 近似解 反之,若問(wèn)題只有利用無(wú)窮小(無(wú)限個(gè)元件)才能定義,便稱它為連續(xù)問(wèn)題， 利用“連續(xù)(continuous)”方法求得的解答是 精確解。 連續(xù)問(wèn)題一般都是通過(guò)數(shù)學(xué)方程式的運(yùn)算和求解獲得精確解。但在實(shí)際工程中，可用的數(shù)學(xué)方法通常使得能用連續(xù)化處理的問(wèn)題極為有限，或者使其過(guò)于簡(jiǎn)化。相反，由于計(jì)算機(jī)的出

4、現(xiàn)，使得求解離散問(wèn)題比較容易，利用離散法求解復(fù)雜問(wèn)題最有效的方法就是有限單元法。幾乎可以說(shuō)，一切彈性力學(xué)問(wèn)題都可以利用有限元法求解。1.1 有限單元法發(fā)展概況一、起源 有限單元法(the finite element method)一詞是r.w.clough 于1960年首次提出(r.w.clough, the finite element in plane stress an analysis,proc.2nd asce conf. on electronic computation, pittsburgh,pa., sept. 1960). 但有的學(xué)者認(rèn)為，有限元法的基本思想在1941年就

5、已產(chǎn)生(有限元法概論,鄒仲康等譯，湖南科技社，1988年版)。 1941年, horenikoff提出所謂 網(wǎng)格法將平面彈性體看成一批鏈桿和梁。 1943年 報(bào)告了 courant著作中 使用的一組三角形單元，提出了單元的概念。1943年出版的courant 1941年作的報(bào)告“variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用變分原理和分片插值方法來(lái)求扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的近似解。他在論文題目上把后來(lái)稱為有限元的這種解法歸結(jié)為“變分解法”。由于計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，這篇論文沒(méi)有引起應(yīng)有的注意。 其次

6、，工程技術(shù)界第一篇有限元論文是1956年turner，clough，martin和toop的論文“stiffness and deflection analysis of complex structures”。他們把剛架的矩陣位移法推廣用于彈性力學(xué)平面問(wèn)題作近似分析，在題目上把這種解法歸結(jié)為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度法（或直接剛度法），隨后clough定名為有限元法。 而o.c.zienkiewize在他的“the finite element method”一書(shū)中（參考書(shū)5），一開(kāi)頭便稱： the limitation of the human mind are such that it can no

7、t grasp the behaviour of its complex surroundings and creations in one operation. thus the process of subdividing all systems into their individual components or elements, whose behaviour is readily understood, and then rebuilding the original system from such components to study its behaviour is a

8、natural way in which the engineer, the scientist, or even the economist proceeds. 這段文字的大意是:人類大腦是有限的，以致不能一次就弄清周圍許多（自然存在的和創(chuàng)造出的）復(fù)雜事物的特性。因此，我們先把整個(gè)系統(tǒng)分成特性容易了解的單個(gè)元件或單元，然后由這些元件重建原來(lái)的系統(tǒng)以研究其特性，這是工程師、科學(xué)家甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)家都采用的一種自然的方法”。許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)近似方法以及工程師們用的直接近似法都屬于這一范疇。因此，從這一意義上說(shuō)確定有限單元法的準(zhǔn)確起源時(shí)間是困難的。盡管如此, 有限單元法從應(yīng)用意義上講，它的發(fā)展始于20世紀(jì)

9、60年代。二、 三個(gè)黃金時(shí)代 一般認(rèn)為有限元法的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)黃金時(shí)代 第一個(gè)黃金時(shí)代： 1960年起。最重要的工作來(lái)自結(jié)構(gòu)工程師，第一次解決了諸如汽車、飛機(jī)、水壩等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析。盡管當(dāng)時(shí)有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)尚未完全建立（盡管與今天相比,當(dāng)時(shí)的成就十分有限），但該方法獲得了巨大成功。論文統(tǒng)計(jì)：1961年10篇、1965(67)、68(303)(詳參考書(shū)5序)。 第二個(gè)黃金時(shí)代：始于1965年前后,屬于數(shù)值分析家(which has now adopted the method and made a great contribution to understanding of finite

10、element method). 1963年開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)值分析家的論文，他們終于認(rèn)識(shí)了有限元法的基本原理，事實(shí)上是逼近論、偏微分方程及變分形式和泛函分析的巧妙結(jié)合。 并得出結(jié)論：直接剛度法（即有限元法）的基礎(chǔ)是變分原理，它是基于變分原理的一種新型里茲法（采用分區(qū)插值方案的新型里茲法）。這樣就使數(shù)學(xué)界與工程界得到溝通，獲得共識(shí)。從而使有限元法被公認(rèn)為既有嚴(yán)密理論基礎(chǔ)、又有普遍應(yīng)用價(jià)值的一種數(shù)值方法。在有限元的這一發(fā)展時(shí)期，還有必要說(shuō)明兩件事：一個(gè)是有限單元法與變分原理之間的關(guān)系，另一個(gè)是我國(guó)學(xué)者對(duì)有限單元法的貢獻(xiàn)。第一個(gè)問(wèn)題從有限元法的創(chuàng)立過(guò)程看兩者的關(guān)系： 能量變分原理是有限元法的理論基礎(chǔ)，這是

11、學(xué)術(shù)界的共識(shí)。但這個(gè)共識(shí)的形成，當(dāng)初還有過(guò)一段歷史過(guò)程。 首先，應(yīng)用數(shù)學(xué)界第一篇有限元論文是前面提到的1943年出版的courant 1941年作的報(bào)告“variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用變分原理和分片插值方法來(lái)求扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的近似解。他在論文題目上把后來(lái)稱為有限元的這種解法歸結(jié)為“變分解法”。由于計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，這篇論文沒(méi)有引起應(yīng)有的注意。 其次，工程技術(shù)界第一篇有限元論文是1956年turner，clough，martin和toop的論文“stiffness and

12、deflection analysis of complex structures”。他們把剛架的矩陣位移法推廣用于彈性力學(xué)平面問(wèn)題作近似分析，在題目上把這種解法歸結(jié)為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度法（或直接剛度法），隨后（1960年）clough定名為有限元法。這些作者與當(dāng)時(shí)的工程師一樣，可能不太注意courant那篇被冷落的論文，不太注意他們的直接剛度法與courant的變分解法有何聯(lián)系。 最后，1963年開(kāi)始出現(xiàn)論文，包括melosh的論文“basis for derivation for the direct stiffness method”，并得出如下結(jié)論：直接剛度法（即有限元法）的基礎(chǔ)是變分原理

13、，它是基于變分原理的一種新型里茲法（采用分區(qū)插值方案的新型里茲法）。這樣就使數(shù)學(xué)界與工程界得到溝通，獲得共識(shí)。從而使有限元法被公認(rèn)為既有嚴(yán)密理論基礎(chǔ)、又有普遍應(yīng)用價(jià)值的一種數(shù)值方法。 從1943年和1956年兩種構(gòu)思的獨(dú)立提出，到1963年的交匯融合，這正是有限元?jiǎng)?chuàng)立的真實(shí)和曲折過(guò)程。通過(guò)這種曲折，正好看出兩者關(guān)系的密切難分。 從單元的分類方法來(lái)看兩者的關(guān)系：由有限單元法的基本理論，我們已經(jīng)得知，不同性質(zhì)的單元對(duì)應(yīng)于不同的變分原理。下面列出幾種單元及其對(duì)應(yīng)的變分原理： （1）協(xié)調(diào)位移元（采用的位移插值函數(shù)在單元間精確協(xié)調(diào)）最小勢(shì)能原理。 （2）非協(xié)調(diào)位移元（采用的位移插值函數(shù)在單元間不精確協(xié)調(diào)

14、）分區(qū)勢(shì)能原理。 （3）廣義協(xié)調(diào)位移元（采用的位移插值函數(shù)在單元間廣義協(xié)調(diào)）分區(qū)勢(shì)能原理的退化形式。 （4）應(yīng)力雜交元（采用應(yīng)力試函數(shù)，滿足平衡微分方程）最小余能原理。 （5）混合元（采用混合試函數(shù)，含位移、應(yīng)力和應(yīng)變）廣義變分原理。（6）分區(qū)混合元（部分單元采用位移試函數(shù)，其余單元采用應(yīng)力試函數(shù)）分區(qū)混合能量原理。第二個(gè)問(wèn)題（我國(guó)學(xué)者對(duì)有限單元法的貢獻(xiàn)）我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康等人從1960年前后開(kāi)始，也創(chuàng)造了系統(tǒng)化的有限元算法（65年文“基于變分原理的差分格式”）編寫(xiě)了程序，解決了當(dāng)時(shí)國(guó)防和經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的一些重大課題,并奠定了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。因此可以說(shuō)，有限元法是在歐、美和中國(guó)被獨(dú)立發(fā)展的。 有限元及變

15、分原理的研究領(lǐng)域是我國(guó)學(xué)者的研究強(qiáng)項(xiàng)。胡海昌于1954年提出的彈性力學(xué)廣義變分原理為有限元法的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。馮康提出的基于變分原理的差分格式實(shí)質(zhì)上就是今天的有限元法。龍馭球提出的分區(qū)和分項(xiàng)能量原理(1980)，分區(qū)混合有限元 (1982)，樣條有限元(1984)，廣義協(xié)調(diào)元(1987)和四邊形面積坐標(biāo)理論(1997)等，使有限元方法的分析能力和應(yīng)用領(lǐng)域得到很大提升。在專著方面，錢(qián)偉長(zhǎng)于1980年出版的專著（變分法與有限元. 北京: 科學(xué)出版社, 1980 ）和胡海昌于1981年出版的專著（彈性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用. 北京: 科學(xué)出版社, 1981）是變分原理與有限元法的兩本經(jīng)典之作。朱

16、伯芳于1979年初版和1998年再版的專著（有限單元法原理與應(yīng)用. 北京: 中國(guó)水利水電出版社, 第1版1979, 第2版1998）是兼?zhèn)淇茖W(xué)性和實(shí)用性的巨著。在學(xué)術(shù)界影響廣泛的國(guó)內(nèi)著作還有：龍馭球. 有限元法概論. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991龍馭球. 新型有限元引論. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1992（2004年出版“新型有限元論”，參考書(shū)11）龍馭球. 變分原理有限元?dú)んw分析. 沈陽(yáng): 遼寧科學(xué)技術(shù)出版社, 1987王勖成, 邵敏. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法. 北京: 清華大學(xué)出版社, 第1版1988, 第2版1997龍志飛, 岑松. 廣義協(xié)調(diào)

17、元理論與四邊形面積坐標(biāo)方法. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社, 2000龍志飛, 岑松. 有限元法新論: 原理. 程序.進(jìn)展. 北京: 中國(guó)水利水電出版社, 2001國(guó)外著作則以 zienkiewicz oc, taylor rl.“ the finite element method”oxford: butterworth-heinemann, （2000，fifth edition）的影響最為廣泛。 第三個(gè)黃金時(shí)代： 有限單元法的廣泛應(yīng)用。自1970年代開(kāi)始,有限元法被迅速應(yīng)用到各領(lǐng)域。三、有限單元法的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)下面通過(guò)介紹有限元的主要研究領(lǐng)域和在有限元理論與應(yīng)用研究方面的一些熱點(diǎn)問(wèn)題，談?wù)動(dòng)邢迒?/p>

18、元法的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)。1 變分原理與數(shù)值方法 針對(duì)有限元發(fā)展需要而提出的變分原理的新形式，例如分區(qū)勢(shì)能、余能、混合能量變分原理，分區(qū)變分原理的退化形式及其應(yīng)用，含參數(shù)變分原理及其應(yīng)用，壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)變分原理，基于應(yīng)變梯度理論的細(xì)觀力學(xué)變分原理。2 新型單元構(gòu)造方法 對(duì)單元構(gòu)造的現(xiàn)有模式作進(jìn)一步開(kāi)拓，如雜交元、混合元、擬協(xié)調(diào)元、應(yīng)變?cè)?、樣條元、無(wú)限元、 高精度單元（帶轉(zhuǎn)角元）、大單元、超（巨型）單元 ,子結(jié)構(gòu)、土壤結(jié)構(gòu)流體的相互作用等。發(fā)展新的構(gòu)造模式，如基于廣義協(xié)調(diào)理論的廣義協(xié)調(diào)元、基于分區(qū)混合變分原理的分區(qū)混合元，理性有限元，基于四邊形面積坐標(biāo)的四邊形元，基于解析試函數(shù)的有限元等。 參考文

19、獻(xiàn):龍馭球，新型有限元引論清華社92版。針對(duì)板殼元要求具有連續(xù)這一難題，在協(xié)調(diào)元與非協(xié)調(diào)元之間開(kāi)辟一條新路。 卞學(xué)璜，用于解決板殼單元的協(xié)調(diào)問(wèn)題和提高協(xié)調(diào)元精度。3疑難現(xiàn)象及破解對(duì)策 有限元學(xué)科發(fā)展中，還遺留一些疑難現(xiàn)象和問(wèn)題，有的長(zhǎng)期未得到破解。這些尚待破解的疑難問(wèn)題自然就成為關(guān)注的焦點(diǎn)。例如 多種閉鎖現(xiàn)象（剪切閉鎖、薄膜閉鎖、不可壓縮閉鎖）； 網(wǎng)格畸變敏感現(xiàn)象； 有的非協(xié)調(diào)元不收斂現(xiàn)象； 虛假零能模式現(xiàn)象； 解的晃動(dòng)現(xiàn)象； 精度損失現(xiàn)象（位移元的應(yīng)力，層合板的層間應(yīng)力）； 應(yīng)力奇點(diǎn)現(xiàn)象； 數(shù)值計(jì)算病態(tài)現(xiàn)象；這些現(xiàn)象像謎一樣，既令人困惑，又使人興奮。4復(fù)雜深層問(wèn)題 材料非線性和幾何非線性有限

20、元分析； 殼體結(jié)構(gòu)屈曲穩(wěn)定性分析； 塑性成型有限元分析； 撞擊破壞過(guò)程數(shù)值模擬；基于應(yīng)變梯度理論的有限元法。解的精度的研究：數(shù)值方法的誤差估計(jì)、收斂性、可靠性、自適應(yīng)性和優(yōu)化。自適應(yīng)有限元方法(參考書(shū):固體力學(xué)發(fā)展趨勢(shì))有限元的數(shù)學(xué)理論原理表明，若單元構(gòu)造適當(dāng)，當(dāng)網(wǎng)格無(wú)限加密時(shí)其解應(yīng)收斂到精確解，但對(duì)于一個(gè)特定網(wǎng)格（含單元）在缺乏精確解的情況下很難估計(jì)其精度，此問(wèn)題近十來(lái)年所進(jìn)行的研究已取得重要進(jìn)展。其方法思路是:在求得給定網(wǎng)格下的有限元位移解和應(yīng)力解后，采用應(yīng)力恢復(fù)法得到結(jié)點(diǎn)應(yīng)力的改進(jìn)值，然后利用形函數(shù)求改進(jìn)估計(jì)，或稱為最佳猜測(cè)應(yīng)力。當(dāng)按此求得的誤差大于允許值時(shí)，可根據(jù)誤差預(yù)測(cè)出結(jié)構(gòu)各區(qū)域中

21、單元的合理尺寸（網(wǎng)格尺寸）。據(jù)此，重新劃分網(wǎng)格（由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成），可反復(fù)多次近似于迭代過(guò)程。 算法（并行算法、子結(jié)構(gòu)法） 盡管現(xiàn)今計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度很高，但追求計(jì)算效率高，內(nèi)、外存要求低的方法仍然是計(jì)算力學(xué)算法研究的焦點(diǎn)。結(jié)構(gòu)控制5 耦合交叉問(wèn)題 耦合問(wèn)題有流固耦合、氣液固耦合、土結(jié)構(gòu)流體耦合、力電耦合等。學(xué)科交叉問(wèn)題有生物力學(xué)、微電子科學(xué)、材料科學(xué)中的數(shù)值模擬與優(yōu)化設(shè)計(jì)等。6與其他方法的聯(lián)合溝通例如：有限元邊界元；有限元有限差分；有限元法無(wú)網(wǎng)格法；數(shù)值法解析法。 邊界單元法又稱邊界有限單元法(boundary element method, bem)是七十年代興起的一種新的計(jì)算方法。它將邊界

22、上的廣義位移和廣義力作為獨(dú)立變量且同時(shí)滿足場(chǎng)方程的奇異函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，所以有人稱它是一種特殊格式的加權(quán)余量法。邊界元法只需將求解域的邊界劃分成單元,故可將問(wèn)題降低一維。而域內(nèi)變量可由解析式的離散形式直接求得，因此可提高計(jì)算精度。邊界元法對(duì)無(wú)限區(qū)域問(wèn)題、三維問(wèn)題有明顯優(yōu)越性。工程中的斷裂力學(xué)、流體力學(xué)等?？梢?jiàn)到用邊界元求解的應(yīng)用實(shí)例。 參考書(shū): 工程實(shí)用邊界單元法鄺國(guó)能等,鐵道社89版 有限元法和邊界元法基礎(chǔ)饒壽期，北航90版(71.2118 rsq) 7. 向新領(lǐng)域的擴(kuò)展 從本領(lǐng)域上講,有限元法在應(yīng)用上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了原來(lái)的范圍。它已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題和板、殼問(wèn)題等整個(gè)固體力學(xué)，能

23、對(duì)原子能反應(yīng)堆、堤壩、飛機(jī)、船體、齒輪葉片等復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析。 由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定與動(dòng)力問(wèn)題，由彈性力學(xué)擴(kuò)展到彈塑性、粘彈性、斷裂力學(xué)等，由結(jié)構(gòu)分析擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)優(yōu)化。其它領(lǐng)域：化工、電子、熱傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、建筑聲學(xué)，流體動(dòng)力學(xué)、醫(yī)學(xué)（骨骼力學(xué)、血液力學(xué)、腦流）、偶合場(chǎng)（結(jié)構(gòu)熱、流體結(jié)構(gòu)、靜電結(jié)構(gòu)、聲學(xué)結(jié)構(gòu)）.。 有分析就有有限元。8 軟件開(kāi)發(fā)與cad/cae技術(shù) 有限元軟件與有限元理論幾乎是同時(shí)誕生的。只有得到工程應(yīng)用，理論才會(huì)具有生命力，這就是軟件的作用往往大于論文的理由。計(jì)算力學(xué)要不斷吸收計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的成果，與cad/cae技術(shù)共同發(fā)展。 （1） 通用程序的進(jìn)一步完善 增加(強(qiáng))前、

24、后處理功能，重新包裝(用戶界面,多媒體),擴(kuò)充單元庫(kù)、動(dòng)力及非線性等。 （2） 大型有限元程序微機(jī)化、網(wǎng)格化。 （3） 由專業(yè)研究轉(zhuǎn)向普及應(yīng)用（科學(xué)成果轉(zhuǎn)化成生產(chǎn)力） （4） 向高層次發(fā)展 科學(xué)計(jì)算與可視化（仿真） 95.5 廈門(mén)第一屆“科學(xué)計(jì)算與工程設(shè)計(jì)可視化會(huì)議”95.11 湖大首屆“工程計(jì)算與計(jì)算機(jī)仿真”國(guó)際會(huì)議可視法的三種處理方式（三個(gè)層次(level)）:事后處理(post processing)； 跟蹤(tracking) 實(shí)時(shí)顯示；駕馭(steering) 實(shí)時(shí)干預(yù)，在線修改(且繼續(xù))三種處理方式，可對(duì)應(yīng)三種程序設(shè)計(jì)方法，即順序程序設(shè)計(jì)、多道程序設(shè)計(jì)和實(shí)時(shí)程序設(shè)計(jì)。駕馭(實(shí)時(shí)干預(yù)

25、)，需要采用實(shí)時(shí)軟件設(shè)計(jì)方法，是必須滿足嚴(yán)格時(shí)間約束條件的軟件，是目前應(yīng)用軟件開(kāi)發(fā)中技術(shù)難度最高的。 仿真、醫(yī)學(xué)、人體、外科、軍事、航空、穿甲、鳥(niǎo)撞、車禍、三維視野參考書(shū)16:工程結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)仿真分析, 江見(jiàn)鯨等,清華社96版附：結(jié)構(gòu)分析通用程序簡(jiǎn)介自1980年代開(kāi)始，世界各國(guó)，特別是發(fā)達(dá)國(guó)家，都花費(fèi)巨大的人力和物力開(kāi)發(fā)大型、通用的結(jié)構(gòu)分析程序。比如：ansysansys是由美國(guó)ansys公司開(kāi)發(fā)的大型通用有限元分析軟件，ansys公司自1970年成立以來(lái)，不斷吸取世界最先進(jìn)的計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)，引導(dǎo)世界有限元分析軟件的發(fā)展，以其先進(jìn)性，可靠性、開(kāi)放性等特點(diǎn)，被全球工業(yè)界廣泛認(rèn)可，擁有全球最大

26、的用戶群。1995年，在分析設(shè)計(jì)類軟件中第一個(gè)通過(guò)iso9001國(guó)際質(zhì)量體系認(rèn)證。 ansys采用三維實(shí)體描述法建立幾何摸型，幾十種圖素庫(kù)可以模擬任意復(fù)雜的幾何形狀，強(qiáng)大的布爾運(yùn)算實(shí)現(xiàn)模型的精雕細(xì)刻；提供多種網(wǎng)格劃分方法，可以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格密度及形態(tài)的精確控制。具體劃分方法有拉伸網(wǎng)格劃分，智能自由網(wǎng)格劃分，映射網(wǎng)格劃分，自適應(yīng)網(wǎng)格劃分等。 ansys可對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜、動(dòng)力線性和非線性分析、流體分析、熱分析、電磁場(chǎng)分析、聲學(xué)分析等。結(jié)構(gòu)非線性分析包括幾何非線性、材料非線性、狀態(tài)非線性，單元非線性分析等。具有先進(jìn)的優(yōu)化功能、靈活快速的求解器、豐富的網(wǎng)格劃分工具、與cad及cae軟件的接口等功能。 強(qiáng)大的后

27、處理功能可使用戶很方便地獲得分析結(jié)果，其形式包括彩色方圖、等值面、梯度、動(dòng)畫(huà)顯示、多種數(shù)據(jù)格式輸出、結(jié)果排序檢索及數(shù)學(xué)運(yùn)算等。 因此，ansys軟件被廣泛應(yīng)用于土木工程、機(jī)械、電子、交通、造船、水利、地礦、鐵道、石油化工、航空航天、核工業(yè)等領(lǐng)域。近年來(lái)，ansys通過(guò)收購(gòu)、合并其他的軟件公司，是其規(guī)模和領(lǐng)域得以進(jìn)一步擴(kuò)大。sapsap是structural analysis program 的英文縮寫(xiě)，sap程序由美國(guó)加里福尼亞大學(xué)伯克利分校的威爾遜（wilson）、巴瑟(bath)和彼特森（pertson)等人在1970年代初開(kāi)始研制完成的，經(jīng)過(guò)二十多年的不斷發(fā)展、完善，成為一個(gè)在國(guó)際上普遍

28、受歡迎的通用結(jié)構(gòu)分析軟件。（80年代由北大幾位老師引入我國(guó),sap）。adinaadina是由國(guó)際上著名的美國(guó)麻省理工學(xué)院k.j. bathe教授領(lǐng)導(dǎo)的，adina r & d公司研究開(kāi)發(fā)的商用工程軟件。全世界有很多家企業(yè)、市政單位在使用adina。adina八十年代初進(jìn)入中國(guó)以來(lái)，在國(guó)內(nèi)各個(gè)領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用。 廣泛的適用領(lǐng)域，如所有機(jī)械工業(yè)領(lǐng)域，建筑工程，水利電力，航空、航天，電子，生物醫(yī)學(xué)等 全集成環(huán)境下建模、解算、廣泛的結(jié)果可視化后處理 廣泛的工程問(wèn)題求解類型：線性、非線性，靜力、動(dòng)力，傳熱，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)，流-固耦合等 大型工程問(wèn)題的高效求解，以及多cpu并行處理求解功能 豐富的單元

29、庫(kù)、材料模式庫(kù)程序主要模塊：adina 結(jié)構(gòu)分析程序 adina-f 不可壓縮和完全可壓縮流體流動(dòng)分析程序adina-t 傳熱和場(chǎng)類問(wèn)題分析程序adina-fsi 耦聯(lián)結(jié)構(gòu)的流體流動(dòng)分析程序adina-tmc 熱-力耦合分析程序 aui adina 用戶界面 marc marc analysis research corporation（簡(jiǎn)稱marc）始創(chuàng)于1967年，總部設(shè)在美國(guó)加州的palo alto，是全球第一家非線性有限元軟件公司。創(chuàng)始人是美國(guó)著名布朗大學(xué)應(yīng)用力學(xué)系教授，有限元分析的先驅(qū)pedro marcel。marc 公司在創(chuàng)立之初便獨(dú)具慧眼，瞄準(zhǔn)非線性分析這一未來(lái)分析發(fā)展的必然，

30、致力于非線性有限元技術(shù)的研究、非線性有限元軟件的開(kāi)發(fā)、銷售和售后服務(wù)。對(duì)于學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)，marc公司的一貫宗旨是提供高水準(zhǔn)的cae分析軟件及其超強(qiáng)靈活的二次開(kāi)發(fā)環(huán)境，支持大學(xué)和研究機(jī)構(gòu)完成前沿課題研究。對(duì)于廣闊的工業(yè)領(lǐng)域，marc軟件提供先進(jìn)的虛擬產(chǎn)品加工過(guò)程和運(yùn)行過(guò)程的仿真功能，幫助市場(chǎng)決策者和工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行產(chǎn)品優(yōu)化和設(shè)計(jì)，解決從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的工程應(yīng)用問(wèn)題。經(jīng)過(guò)三十余年的不懈努力，marc 軟件得到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的大力推崇和廣泛應(yīng)用，建立了它在全球非線性有限元軟件行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)者地位。 marc/mentat 2000 主要新功能 對(duì)求解器和接觸算法作多處改進(jìn)，使線性和非線性的求解速度有明顯提高

31、。 從軸對(duì)稱分析到完全3-d分析的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化。對(duì)許多工程問(wèn)題，雖然在最后是完全3-d問(wèn)題但在開(kāi)始階段可先進(jìn)行軸對(duì)稱模擬，這樣可以節(jié)約大量的計(jì)算。marc軟件新增的從軸對(duì)稱分析到完全3-d分析的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化功能，使用戶在進(jìn)行軸對(duì)稱模擬分析后，在3-d分析模型中的初始條件子菜單中激活axi_to_3d選項(xiàng)，定義讀入的變量如應(yīng)力、應(yīng)變等，輸入重復(fù)次數(shù)，輸入含有軸對(duì)稱數(shù)據(jù)的后處理文件名及3-d分析開(kāi)始的增量步號(hào)， 即可完成從軸對(duì)稱分析到完全3-d分析的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化。 接觸功能的加強(qiáng)。對(duì)于載荷控制的剛體，允許剛體在受力矩時(shí)可轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)于速度和位置控制的剛體，不需用戶子程序umotion就能定義剛體位移/轉(zhuǎn)動(dòng)向量變化

32、。此功能對(duì)于齒輪、傳扭軸等分析很有用。 增加三角形和四面體低階單元，它們可用于不可壓和近似不可壓材料如橡膠、金屬大塑性變形等，收斂性也很好而且便于網(wǎng)格劃分。 增加了高階和低階單元連續(xù)體復(fù)合材料單元。使用戶能有效地對(duì)非薄壁的層狀復(fù)合材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 斷裂力學(xué)分析方面，可在mentat中激活選項(xiàng)，由程序自動(dòng)確定積分路徑，j積分結(jié)果可在輸出文件中直接得到。 新增動(dòng)力隱式算法- single step houbolt 法，該法無(wú)條件穩(wěn)定并具有二階精度。它與紐馬克法相比，在動(dòng)力接觸分析時(shí)更穩(wěn)定；它允許變步長(zhǎng)求解。 增加了兩種橡膠材料本構(gòu)模型 boyce-arruda 和gent 模型。它們可考慮應(yīng)變率

33、、熱和損傷的影響。研究表明，即使只用簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合材料參數(shù)， 用這些模型也能很好地模擬材料的各種行為。 增加了五種塑性硬化模型：additive power law, multiplicative power law, johnson-cook, cowper-symonds 和 kumar。 大應(yīng)變塑性乘分解算法穩(wěn)定性有很大改進(jìn)， 這對(duì)高分子材料或彈性應(yīng)變也很大的材料特別適用。 剛塑性分析時(shí)允許部分材料定義為彈塑性。 并行計(jì)算的功能有所增加，質(zhì)量提高。 對(duì)于超塑成型分析， 程序能自動(dòng)施加理想的壓力載荷保證材料有最佳的超塑性。 前處理功能多處增強(qiáng)，如增加與cad軟件接口、網(wǎng)格劃分更好等。

34、 后處理功能多處增強(qiáng)，如梁的剪力、扭矩、彎矩圖，廣義xy繪圖，變形流線圖，晶粒追蹤等。nastran在美國(guó)宇航局的資助下，于1969年開(kāi)始使用的，花費(fèi)數(shù)百萬(wàn)美圓完成的 nastran 結(jié)構(gòu)分析程序，因?yàn)楹蚽asa（national aeronautics and space administration，國(guó)家航空和宇宙航行局）的特殊關(guān)系，nastran (又名msc nastran)在航空航天領(lǐng)域有著崇高的地位。msc.nastran 是世界上功能最全面、應(yīng)用最 廣泛的大型通用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件之一，同時(shí)也是工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的fea原代碼程序及國(guó)際合作和國(guó)際招標(biāo)中工程分析和校驗(yàn)的首選工具,，可以解決各

35、類結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、 屈曲、模態(tài)、 動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、非線性、聲學(xué)、流體-結(jié)構(gòu)耦合、氣動(dòng)彈性、超單元、慣性釋放及結(jié)構(gòu)優(yōu)化等問(wèn)題。通過(guò)msc.nastran的分析可確保各個(gè)零部件及整個(gè)系統(tǒng)在合理的環(huán)境下正常工作。此外，程序還提供了開(kāi)放式用戶開(kāi)發(fā)環(huán)境和dmap語(yǔ)言，及多種cad接口，以滿足用戶的特殊需要。 自1970年代開(kāi)始，國(guó)內(nèi)多家單位也開(kāi)發(fā)出了若干很好的通用結(jié)構(gòu)分析軟件，這些單位有：中科院、大連理工、上海工業(yè)建筑設(shè)計(jì)院、建研院以及湖南大學(xué)等。abaqusabaqus公司成立于1978年，總部位于美國(guó)羅德島州博塔市，是世界知名的高級(jí)有限元分析軟件公司，其主要業(yè)務(wù)為非線性有限元分析軟件 abaqus

36、的開(kāi)發(fā)、維護(hù)及售后服務(wù)。abaqus軟件已被全球工業(yè)界廣泛接受，在技術(shù)、品質(zhì)以及可靠性等方面具有非常卓越的聲譽(yù)，并擁有世界最大的非線性力學(xué)用戶群，是國(guó)際上最先進(jìn)的大型通用非線性有限元分析軟件。 abaqus是一套功能強(qiáng)大的模擬工程問(wèn)題的有限元軟件，可以分析復(fù)雜的力學(xué)、熱學(xué)和材料學(xué)問(wèn)題，分析的范圍從相對(duì)簡(jiǎn)單的線性分析到非常復(fù)雜的非線性分析，特別是能夠分析非常龐大的模型和模擬非線性問(wèn)題。它包括一個(gè)十分豐富的、可模擬任意實(shí)際形狀的單元庫(kù)，并與之對(duì)應(yīng)擁有各種類型的材料模型庫(kù)，其中包括金屬、橡膠、高分子材料、復(fù)合材料、鋼筋混凝土、可壓縮有彈性的泡沫材料以及類似于土和巖石等地質(zhì)材料。作為通用的模擬計(jì)算工具

37、， abaqus可以模擬各種領(lǐng)域的問(wèn)題，例如熱傳導(dǎo)、質(zhì)量擴(kuò)散、電子部件的熱控制（熱電耦合分析）、聲學(xué)分析、巖土力學(xué)分析（流體滲透和應(yīng)力耦合分析）及壓電介質(zhì)分析。 四、有限單元法的優(yōu)點(diǎn) 前已提及，有限單元法是一種數(shù)值解，先于有限元的數(shù)值解是有限差分法（微分方程的數(shù)值解）。為什么有限元得到比差分法更為廣泛得多的應(yīng)用？可總結(jié)如下幾處優(yōu)點(diǎn)： 1. 物理概念清晰 有限單元法一開(kāi)始就從力學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)（平衡、幾何、物理方程）研究，使初學(xué)者易于入門(mén)。 2. 可以從不同的水平上得出相同的有限元法成果例如,可以從通俗易懂的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法出發(fā)，闡述其基本原理和公式的推導(dǎo)，也可利用變分原理為其建立起嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋。如

38、熟知的平面桿系單元?jiǎng)偠染仃?可從轉(zhuǎn)角位移方程出發(fā)獲得單剛的每列元素。在左端單位水平位移和單位豎向位移單獨(dú)作用下的桿端力便構(gòu)成了單剛的第一、二列（見(jiàn)右圖）。 （上述單剛,后面將用能量原理推導(dǎo)。） 3. 有極強(qiáng)的靈活性與適用性（適應(yīng)一切連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)問(wèn)題） 4. 采用矩陣表達(dá)式、適應(yīng)計(jì)算機(jī)編程。 但是，對(duì)從事應(yīng)用科學(xué)的人員來(lái)說(shuō)，有限元法是與電子計(jì)算機(jī)聯(lián)系在一起的，有一點(diǎn)是清楚的，離開(kāi)計(jì)算機(jī)談?dòng)邢拊?，?duì)我們從事工程專業(yè)的人來(lái)說(shuō)恐怕意義不大。因此，本課程的目的是通過(guò)學(xué)習(xí)有限元的基本原理和方法，學(xué)會(huì)編制計(jì)算機(jī)程序來(lái)解決結(jié)構(gòu)工程中的力學(xué)分析問(wèn)題。因此，本課程實(shí)際上包括三方面：有限元、計(jì)算機(jī)、程序設(shè)計(jì)。由于計(jì)

39、算機(jī)的普及，有限元的應(yīng)用已越來(lái)越廣泛，在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，幾乎很少有不借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成畢業(yè)論文的，而要用計(jì)算機(jī)解決的問(wèn)題，絕大部分與有限元有關(guān)。 五、本課程的要求 1. 完成一定數(shù)量的習(xí)題，以鞏固對(duì)有限元基本方法的理解 2. 完成一個(gè)包含以下所列部分的完整的有限元程序( project) 須提供如下內(nèi)容的文字材料（1500字以上）： 程序編制說(shuō)明； 方法的基本理論和基本公式； 程序功能說(shuō)明； 程序所用主要標(biāo)識(shí)符說(shuō)明及主要流程框圖； 13 個(gè)考題：考題來(lái)源、輸出結(jié)果、與他人成果的對(duì)比結(jié)果（誤差百分比）； 對(duì)程序的評(píng)價(jià)和結(jié)論（包括正確性、適用范圍、優(yōu)缺點(diǎn)及其他心得等）。 須提供源程序、可執(zhí)行程序和算例

40、的電子文檔或文字材料。選題可根據(jù)各自的論文選題等決定。 3. 筆試，程序答辨、評(píng)分。 六、課程主要內(nèi)容有限元法所涉及的領(lǐng)域極為廣泛，土木、機(jī)械、電機(jī)、化工等幾乎無(wú)所不包，就土木工程而言亦包括上十個(gè)學(xué)科，甚至就結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域也不可能一一介紹，只能就基本的和應(yīng)用較廣的內(nèi)容加以介紹，其講授內(nèi)容和參考書(shū)如下：序號(hào)教學(xué)內(nèi)容備注1第1章 概 論 1.1 有限單元法發(fā)展概況第1章：3次課21.2 有限元方法及解題步驟1.3 單元分析31.4 整體分析1.5 按單元定位向量形成總剛度方程4第2章 彈性力學(xué)平面問(wèn)題有限單元法2.1 三角形單元2.2 三角形單元中幾個(gè)問(wèn)題的討論第2章：4次課52.3平面問(wèn)題有限元程

41、序設(shè)計(jì)2.4 矩形單元62.5 六結(jié)點(diǎn)三角形單元2.6. 四結(jié)點(diǎn)四邊形單元72.7 八結(jié)點(diǎn)曲線四邊形等參元2.8. 幾個(gè)問(wèn)題的補(bǔ)充第3章簡(jiǎn)介，自學(xué)為主8第4章 彈性薄板有限元法 4.1 彈性薄板彎曲問(wèn)題的基本理論第4章：2次課94.2 彈性薄板彎曲問(wèn)題有限元分析方法4.3 薄板彎曲問(wèn)題程序設(shè)計(jì)10第5章 有限條法5.1 概 論5.2 梁函數(shù)和基本函數(shù) 第5章：2次課115.3 彎曲板有限條法5.4 用有限條法分析簡(jiǎn)支彎曲薄板5.5 彎曲板有限條法程序設(shè)計(jì)12第6章 動(dòng)力有限元法 6.1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程6.2 單元質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣第6章：2.5次課136.3 結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)和特征值問(wèn)題6.4地

42、震反應(yīng)分析的計(jì)算機(jī)方法146.5線性地震反應(yīng)時(shí)程分析法，程序設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)分析有限元程序設(shè)計(jì)作業(yè)（project）布置課程作業(yè)第3章 彈性力學(xué)空間問(wèn)題有限元法第7章 非線性有限元自學(xué)主要參考書(shū) 1有限元法及其應(yīng)用，江見(jiàn)鯨，何放龍，何益斌等，機(jī)械社2006版（土木工程研究生系列教材）2有限元法概論 龍馭球, 高教社1978第一版，1991第二版 3結(jié)構(gòu)矩陣分析原理 趙超燮, 人教社1982版 4有限單元法原理與應(yīng)用 朱伯芳, 水電社1979版, 71.211/zbf 5有限元法基本原理與數(shù)值方法王勖成,邵敏,清華大學(xué)社1988版 6the finite element method zeinkiewi

43、cy o c，taylor r l,o xford: butterworth-heinemann, 2000 7the finite element method (third edition) zeinkiewicy o c. 52.54/zoc(3)( 中譯本: 科學(xué)社1985版, 52.4/jkw) 8變分法及有限元上冊(cè) 錢(qián)偉長(zhǎng)著，科學(xué)出版社1980版 9concepts and applications of finite element analisiscook r d，10彈性 塑性 有限元 歐陽(yáng)鬯、馬文華, 湖南科技社1983版11結(jié)構(gòu)分析的有限條法 y.k.cheung, 王貽

44、蓀等譯, 交通社1982版12工程結(jié)構(gòu)抗震動(dòng)力學(xué) 李國(guó)豪, 上?？萍忌?980版, 86.213/lgh13有限元法新論原理、程序、進(jìn)展龍志飛等，中國(guó)水利水電社，200114新型有限元論龍馭球，龍志飛，岑松，清華大學(xué)社2004版15有限元法與板殼分析袁駟，崔京浩主編，清華大學(xué)社2005版16鋼筋混凝土有限元與板殼極限分析 沈聚敏等, 清華大學(xué)社1993版17固體力學(xué)發(fā)展趨勢(shì) 黃克智等, 北京理工大學(xué)社1995版18工程結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)仿真分析 江見(jiàn)鯨,賀小崗 清華大學(xué)社1997版19鋼筋混凝土房屋結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)尚守平,何放龍,劉光棟，建工社1999版20廣義協(xié)調(diào)元理論與四邊形面積坐標(biāo)法，龍志飛等

45、，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)社，2000版1.2 有限元方法及解題步驟一、有限元的力學(xué)分析方法1. 方法特點(diǎn)從方法論看，有限元法是分析綜合法的一種應(yīng)用：先將結(jié)構(gòu)分解為單元，再將單元合成結(jié)構(gòu)，在一分一合中求得結(jié)構(gòu)問(wèn)題的解答。結(jié)構(gòu)單元分解合成或曰：化整為零難化易 分解積零為整復(fù)原型 合成從力學(xué)淵源看，有限元法是由剛架計(jì)算的矩陣位移法演變而來(lái)的。由剛架分析移植到彈性力學(xué)，矩陣位移法就變成了有限元法。剛架分析的矩陣位移法彈性力學(xué)的 有限元法移植這里，矩陣位移法與有限元法共同的特點(diǎn)就是分解、合成法。從數(shù)學(xué)角度看，有限元法是連續(xù)問(wèn)題的一種離散化近似解法。把原來(lái)屬于無(wú)限自由度的問(wèn)題近似地按有限自由度的問(wèn)題來(lái)處理。把原來(lái)的

46、微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問(wèn)題。 連續(xù)問(wèn)題 無(wú)限自由度問(wèn)題 微分方程問(wèn)題 離散問(wèn)題 有限自由度問(wèn)題 代數(shù)方程問(wèn)題離散化2 方法分類 力學(xué)問(wèn)題的解法可分為下列三類： （1） 解析法； （2） 數(shù)值法； （3） 半解析法。 常用的數(shù)值解法有下列幾類： （1）有限差分法將微分方程化為差分形式，求近似解。 （2）加權(quán)殘值法將微分方程化為加權(quán)積分形式，求近似解（加權(quán)殘值法的五種常用作法是配點(diǎn)法，子域法，加遼金法，最小二乘法，矩法）。 （3）有限單元法將微分方程問(wèn)題化為能量駐值問(wèn)題，采用插值函數(shù)，求近似解。 （4）邊界元法只在邊界上進(jìn)行離散。 常用的半解析法主要有：有限條法和有限元線法等方法。3 有限元推

47、導(dǎo)方法 從采用的力學(xué)工具分，主要有直接法和變分法兩種。直接法剛度法變分法能量法,求泛函極值問(wèn)題 直接法的優(yōu)點(diǎn)是不拘泥于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，而側(cè)重于易懂的物理概念，剛度法是直接法的典型代表。例如熟知的平面桿系單元?jiǎng)偠染仃?可從轉(zhuǎn)角位移方程出發(fā)獲得單剛的每列元素。在左端單位水平力和單位豎向力單獨(dú)作用下的桿端力便構(gòu)成了單剛的第一、二列（見(jiàn)右圖）。變分法是把有限元法歸結(jié)為求泛函的極值問(wèn)題，使有限元建立在更加堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上（變分法及有限元錢(qián)偉長(zhǎng)，科學(xué)社，1980版,） 從選擇基本未知量的角度分。 位移法 取結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量(displacement/stiffness method) 力 法 取結(jié)點(diǎn)

48、力作作為基本未知量 (force/flexibility method) 混合法 同時(shí)取力和位移作為基本未知量 (mixed method) 本課程主要介紹的是有限元位移法。 二、離散方法與計(jì)算簡(jiǎn)圖 前已敘及，有限元的解題過(guò)程可歸納為四個(gè)字：先分后合。 分即離散單元分析 合裝 配整體分析使問(wèn)題在一分一合的過(guò)程中得到解決。錢(qián)令希老師稱其為：先修改、后復(fù)原。這是結(jié)構(gòu)分析的一種策略思想。 桿系結(jié)構(gòu)是由若桿根桿件組成的，結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法實(shí)際上就是一個(gè)離散和裝配的過(guò)程，只是未象有限元中一樣明顯提出。如用位移法求解圖1-3示結(jié)構(gòu)： 圖 1-3 位移法基本結(jié)構(gòu)及其離散體 首先是將三根桿件看成三個(gè)獨(dú)立的單跨

49、超靜定梁,先求出各自的固端彎矩和剪力,然后根據(jù)結(jié)點(diǎn)、的平衡條件建立求解結(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)角的位移法典型方程。 有限元法與此類似。如分析圖1-4示深梁的步驟是： 圖 1-4 平面問(wèn)題 圖 1-5 薄板彎曲問(wèn)題 第一步：離散成若干小三角形劃分網(wǎng)格;其計(jì)算簡(jiǎn)圖為由若干個(gè)三角形拼裝成的組合體（三角形之間僅在其頂點(diǎn)鉸結(jié)）。第二步：取出其中一個(gè)或幾個(gè)典型單元加以研究單元分析。又如圖 1-5示薄板,可視其為由若干個(gè)小矩形板在結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)而成。每個(gè)單元有12個(gè)位移分量。 第三步：如何將離散的單元裝配成整體結(jié)構(gòu)整體分析 這與結(jié)構(gòu)力學(xué)中基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)保持一致的道理一致。 如力法： 原結(jié)構(gòu) 基本結(jié)構(gòu) 位移條件 位移法： 原

50、結(jié)構(gòu) 基本結(jié)構(gòu) 平衡條件 有限元法則一般要同時(shí)考慮這些因素，即所謂的解題三條件： 1. 靜力平衡條件：各單元結(jié)點(diǎn)力應(yīng)與該結(jié)點(diǎn)的外力平衡。（見(jiàn)深梁圖） 2. 幾何條件：各單元在同一結(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的位移應(yīng)協(xié)調(diào)一致 3. 物理?xiàng)l件：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力關(guān)系（應(yīng)力、應(yīng)變等）據(jù)此便可獲得與原結(jié)構(gòu)情形相同的解答。 三、解題步驟的程序框圖 一個(gè)完整的有限元位移法解題過(guò)程（程序），用框圖表示則為： 輸入原始數(shù)據(jù) cai (前處理) 形成右端項(xiàng)(荷載矩陣) 形成整體剛度陣 引入支承條件 解方程、求基本未知量 求單元力：內(nèi)力應(yīng)力 計(jì)算結(jié)果輸出(后處理) end 計(jì)算固端力 單元定位向量 單剛 坐標(biāo)變換 此圖常稱其為有

51、限元程序的總框圖。下面將逐一討論各框圖的具體內(nèi)容。1.3 單元分析(element analysis)一、對(duì)象、任務(wù) 對(duì)象：研究有限大小的個(gè)體(element) 任務(wù)：1. 建立應(yīng)變與結(jié)點(diǎn)位移分量之間的關(guān)系; 2. 建立應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移分量之間的關(guān)系; 3. 建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移分量之間的關(guān)系; 4. 把作用在單元內(nèi)的外載轉(zhuǎn)化成結(jié)點(diǎn)荷載。 下面通過(guò)用能量原理推導(dǎo)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨木唧w過(guò)程來(lái)說(shuō)明有限單元法的單元分析。二、用能量原理推導(dǎo)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囋谟邢拊ㄖ?各種單元的單剛常采用能量原理推導(dǎo),下面以平面桿單元為例,介紹用這種方法推導(dǎo)單剛的過(guò)程。 1. 桿端力和桿端位移列陣。從結(jié)構(gòu)中取出一典型單元e, 假定其桿端力和桿端位移的正向如圖1-5所示: 圖 1-5 平面桿單元 桿端移列向量 (1-3-1) 桿端力列向量 fni, qi, mi, nj,qj,mjt (1-3-2) 桿端力與桿端位移之間的關(guān)系 fkedke即為要推導(dǎo)的單元?jiǎng)偠染仃嚒?2. 設(shè)定單元位移函數(shù) 軸向位移描述已知桿系在彈性階段軸向變形與剪、彎變形互不藕聯(lián)，故假定按線性變化，任意點(diǎn)軸向位移