【100所名?！?019屆福建省三明市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2019屆福建省三明市第一中學(xué)&已知底面半徑為1,高為 靄的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球0的球面上，則此球的表面積高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題數(shù)學(xué)號(hào)場(chǎng)考號(hào)證考準(zhǔn)名姓級(jí)班注意事項(xiàng)：1 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘 貼在答題卡上的指定位置。2 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3 非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙 和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4 考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1. 已知i是虛數(shù)

2、單位，復(fù)數(shù)(1 + i)(?+ i)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)？=A . 0 B. -2C. -1 D. 12. 已知？,？?集合?= 2, log 7?, ?= ?,?，若?n?= 1，則?=A . 1 B. 7 C. 2 D . 83. 已知?是定義在？上的偶函數(shù)，且?在0,+R)上單調(diào)遞減，則A . ?0) ?log3 2) ?-log 23)B. ?-log 23) ?log32) ?0)C. ?0) ?-log 23) ?log32)D. ?log32) ?0) ?-log 23)4. 若等比數(shù)列?列的前？項(xiàng)和為？?？且?= 14, ? = 2，則?=A . 16 B . -54 C . 16

3、或-54 D . -16 或 545. 若a、b表示直線，？表示平面，則以下命題為正確命題的個(gè)數(shù)是若?/? ?則?/?若?/?/?則?/?若?/?/?則?/?若?/?,? ?則?/?A . 0 B. 1 C. 2 D . 3?+ ? 66 .已知變量？?滿足約束條件?- 3? 1A . 3 ?B . 5 ?C. 17 ? D . 14 ?7.橢圓石+?=1的焦點(diǎn)為?,?，P為橢圓上一點(diǎn)，若 / ?= 60 則？?？?勺面積是16 3A .3C.16D. 32A .27B.9.已知曲線?=21A .3B .210.已知點(diǎn)P(1,32 J3?2）和圓1CT的取值范圍是11 .設(shè)橢圓16?12? C

4、. 4? D .有?sin（?+留？ 0）關(guān)于直線？?= ?對(duì)稱，則？?的最小值為31D. 6C: ? + ? + ? 2?+ ? = 0,過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則 k(-? ?2+ ?2 = 1(?角三角形，則橢圓的離心率為2v3C. R D. (- ? 70)? 0）與直線?=交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若？?是直12 .已知函數(shù)？?（?=罟-?在區(qū)間J?上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是1 1? ,4 七1 1 1 1 1 1 B . (4“？ 2? C .【4衛(wèi)? 2?D . ? , 2?二、填空題13 .已知兩個(gè)單位向量勺夾角為120 ,則|2?-即的值為14 .已知

5、cos（?-）=-，則 sin （?+ =.15 .一個(gè)空間幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積是_16 .設(shè)？?+ 2?= 4, b 0，則 2=+%的 最小值為 三、解答題3?17 .數(shù)列?的前？項(xiàng)和為？=：?+? ,（?）.（I）求數(shù)列?的通項(xiàng)公式；好教育云平臺(tái) 名校精編卷 第1頁(yè)（共4頁(yè)）好教育云平臺(tái) 名校精編卷 第2頁(yè)（共4頁(yè)）(I)若？?= 6，求集合M;(II )若?豐?，求實(shí)數(shù)？?勺取值范圍(II)求數(shù)列茅的前？項(xiàng)和?18 .已知？ = v3cos2?+ sin?cos? ?(1)求函數(shù)?的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在?中?角？?？所對(duì)的邊分別是？?？若？_?-

6、 n = V, ?= 2，且?面積為2 6/2 v3，求？19 .如圖，AB為圓0的直徑，點(diǎn)E、F在圓0上，AB EF，矩形ABCD所在平面和圓 0所 在平面垂直，已知 AB= 2, EF = 1.(I) 求證：平面 DAF丄平面CBF ;(II) 若BC= 1,求四棱錐F ABCD的體積.? ?20 .已知橢圓?:?+ ?2= K? ? )的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為 A，直線AF與直線?+ ? 3v2 = 垂直，垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).(I)求橢圓C的方程；(II )若M, N分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，直線 MP與直線?= 4交于點(diǎn)Q,且?= 9,求點(diǎn)P

7、的坐標(biāo).?21 .已知函數(shù)?(?= In?+ ? ?(1) 討論函數(shù)？?(?的單調(diào)性；2? 1(2) 當(dāng)？? 時(shí)，證明？?(?戸一二.22 .選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系?中?圓？?勺參數(shù)方程為?:?=1 +S?(?為參數(shù)).以原點(diǎn)？?為極點(diǎn),?軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系(I)求圓？?勺普通方程及其極坐標(biāo)方程;(II)設(shè)直線?的極坐標(biāo)方程為？?sin(?$ ?) = 2,射線?=匸與圓？的交點(diǎn)為？與直線?的交3 /6點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).23 .選修4-5 :不等式選講已知不等式|2?+引+ |2?- 1| log22 = log 33 log32

8、0 ,且函 數(shù)在0,+s )單調(diào)遞減，故?0) ?log32) ?-log 23).所以選 A.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)比較大小等知識(shí)，屬于中檔題考查奇偶性方面，若函數(shù)為奇函數(shù)，則滿足 ？?-?) = -?(?，若函數(shù)為偶函數(shù)，則滿足 ?= ?-?)奇 函數(shù)在？軸兩側(cè)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在？?由兩側(cè)的單調(diào)性相反4. C【解析】【分析】將？?用?,?來(lái)表示，求得？的值，進(jìn)而求得?的值【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以有？=斗孵=蘭暮)= 14，解得？?= -3或？?= 2，當(dāng)？?= -3時(shí)，？ = ? = 2 ?(-3 )3 = -54 ;當(dāng)？?= 2時(shí)，？ =

9、? = 2 ?23 = 16.故選 C.【點(diǎn)睛】本小題考查利用基本元的思想求解等比數(shù)列的公比，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前？項(xiàng)和公式.要注意有兩個(gè)解，屬于基礎(chǔ)題5. A【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)命題逐一進(jìn)行判斷，由此得出正確的選項(xiàng)【詳解】對(duì)于，直線？可能在平面？?jī)?nèi)，故錯(cuò)誤.對(duì)于，？?兩條直線可以相交，故錯(cuò)誤對(duì)于，直線？可能在平面？?jī)?nèi)，故錯(cuò)誤對(duì)于，？?兩條直線可以異面故沒(méi)有正確的命題，所以選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間直線和直線平行、直線和平面平行的位置關(guān)系的判斷可以舉出反例，證明命題是錯(cuò)誤命題.屬于基礎(chǔ)題.6. D【解析】【分析】畫出可行域，通過(guò)平移直線2?+ 3?

10、= 0，求得？的取值范圍，由此判斷正確選項(xiàng).【詳解】好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第1頁(yè)(共14頁(yè))好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第3頁(yè)(共14頁(yè))畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)？1,5)處取得最大值為17,在點(diǎn)？1,1)處取?= 1,所以？?= ?= ?= 2,即三角形？?為?等邊三角形，內(nèi)角為 ,由正弦定理得2?=3好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第5頁(yè)(共14頁(yè))好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第4頁(yè)(共14頁(yè))?sin?一n ?=J3，故球的表面積為4 n? = 4 n3 =耳故選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍畫出可行域后，可將目標(biāo)函數(shù)2? 3?+ 2?寸應(yīng)的

11、基準(zhǔn)直線2?+ 3?= 0平移到可行域邊界的位置，注意是縱截距的邊界位置，由此求得最大值 或者最小值要注意的是，如果對(duì)應(yīng)的不等式?jīng)]有等號(hào)，則可行域的邊界為虛線，不能取到邊界值7. A【解析】【分析】橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為？?= ?tan 2，直接代入公式可求得面積【詳解】由于橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為？?= ?tan?故所求面積為16tan30 =耳空，故選A.2 3【點(diǎn)睛】?本小題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積，橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為？?= ?tanp將題目所給數(shù)據(jù)代入公式，可求得面積屬于基礎(chǔ)題.8. D【解析】【分析】畫出圓錐的軸截面對(duì)應(yīng)的三角形？?由于圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球0的

12、球面上，故球心為三角形?外心，球的半徑為三角形 ？?接圓半徑通過(guò)正弦定理求得三角形 ？?接圓半 徑，進(jìn)而求得球的表面積【詳解】畫出圓錐的軸截面對(duì)應(yīng)的三角形?下圖所示，由于圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球0的球面上，故球心為三角形 ?外心，球的半徑為三角形？?接圓半徑依題意？?= v3, ?=【點(diǎn)睛】本小題主要考查求解幾何體外接球的表面積此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到球心的位置本題是通過(guò)對(duì)圓錐軸截面三角形的分析得到球心的位置屬于中檔題9. D【解析】【分析】三角函數(shù)在對(duì)稱軸的位置取得最大值或者最小值，即？ n) = sin (? n + -3) = 1,對(duì)選項(xiàng)逐一排3除，可得到正確選項(xiàng)【詳解】由于三角函數(shù)在對(duì)

13、稱軸的位置取得最大值或者最小值，即? n) = sin (?冗+專=1,顯然，當(dāng)31冗冗冗?= 6時(shí)，sin (6 + 3) = sin? = 1符合題意，其它選項(xiàng)不符合 故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸，三角函數(shù)在對(duì)稱軸的位置取得最大值或者最小值屬于基礎(chǔ)題10. B【解析】【分析】二元二次方程是圓的方程，要滿足 ？+?- 4? 0.由于過(guò)？可以做圓的兩條切線，故 ？點(diǎn)在 圓外將？點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，變?yōu)殛P(guān)于 ？的一元二次不等式，解這個(gè)不等式可求得 ？的取值范 圍【詳解】由于過(guò)？可以做圓的兩條切線，故 ？點(diǎn)在圓外將？點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得， 1 + 4 + ?+ 4 + ? 0

14、,即？+?+ 9 0，由于其判別式為負(fù)數(shù)，故恒成立 另外二元二次方程是圓的方程，要滿 足? + ? - 4? 0，即?+ 22 - 4? 0,即? 0.而判斷一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)圓的位置關(guān)系，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，根據(jù)所得的結(jié)果來(lái)進(jìn)行判斷11. A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，/ ?=?/ ?=?n,由此可求得？?jī)牲c(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入橢圓的4方程，化簡(jiǎn)后可求得橢圓的離心率【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，/?=?/?=?n,故？點(diǎn)的坐標(biāo)為（？,？），代入橢圓方程得4+ _?=? 2I 啟1, ?2 = 3，故橢圓離心率為？?= “ - （? = 21- 3 =亍.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查

15、橢圓離心率的求法，考查橢圓的對(duì)稱性橢圓是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形.要求橢圓的離心率只需要得到 ？?或者？?的一個(gè)方程，化簡(jiǎn)后可以得到離心率.這個(gè)屬于方程的思 想，？?是三個(gè)參數(shù)，而橢圓中？= ?+ ?是固定的，所以再加上一個(gè)條件，就可以求得任意兩 個(gè)參數(shù)的比值，也可以求得離心率12. C【解析】【分析】In?In?1令?= 0,得到？?=茹，令?（?=訐，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間?,?上的單調(diào)區(qū)間，求得 最值和端點(diǎn)的函數(shù)值，由此求得？的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8)，令?= 0，得到?=專令?(?= , ?(? =1-21 n?,當(dāng)？1 1 1 1?時(shí)，? (? 0,即在?,?上單調(diào)

16、遞增當(dāng)? ?,?時(shí),? (? 0,即在?,?上單調(diào)遞減 1 1 * 1 * * 1 所以函數(shù)在？?= ?處取得極大值也即是最大值 ？（?？）=可?而？（?？）=石刃?（?=予，且？（?？） 0和? 0時(shí)，代入 詁? +?+2? |?8|? + ? |? 1 而+帀8 +本小題主要考查已知？?求？?的方法，考查利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前?項(xiàng)和.屬于中檔題.?2/Z1?空=9當(dāng)g 0時(shí)代入丄+蘭=竺?+也= 4|?82|?8|?上+耳-4|?1+ 2 2 ?旦=?故最小84|?818.( 1) ?+?呂?(？? ； ( 2) ?= 2靄或2V7【解析】【分析】?+ ? 2v? + ? 2?也可【

17、點(diǎn)睛】本小題主要考查基本不等式求最值.基本不等式的公式是（1 ）由降幕公式和倍角公式及輔助角公式，可求得？?？= sin （2?+巧+蘭，再求最小正周期3 2?+? 2 ?+?鄉(xiāng)以是？?姿（石-） 盲-.本小題所要求的式子中，沒(méi)有辦法直接利用基本不等式來(lái)求最小值，需要? ? 1及單調(diào)遞減區(qū)間。（2）由？?-）=匕，可求得sin?=三，再由面積公式?；?=?- ?sin,?求得?= 4，由角A的余弦定理求的邊？?勺值。對(duì)已知條件進(jìn)行變換，然后利用1的代換”，將所求式子變?yōu)榭梢杂没静坏仁降男问絹?lái)求得最小【詳解】17 .( I) ? =3?- 1, ? ?.(1 )T ?=豐(1 + cos2?

18、+ sin2?= sin (2?+ 才)(II) ?= 16-3?+62? ?= = n【解析】令 2?冗 + - 2?+ - 2?冗+ 號(hào)得 ?n+ 12 ? 2?7?故?的單調(diào)遞減區(qū)間為?石J?；!? （?比數(shù)列的形式，故用錯(cuò)位相減法求其前？項(xiàng)和.?、習(xí) 一(2) ?2 - -) = sin?+ = V3【詳解】sin ?=弓3 c ?(I)T ?= 2?+ ? ,(?)1v3?=? _ ?sin=?=2 22 V33?31當(dāng) ?2時(shí)，?= ?- ?-1 = 3?+ - 2(?- 1)2+ 2(?- 1) = 3?- 1又當(dāng)？?= 1時(shí)，?=?= 2，適合上式又cos?=土2 ? = ?+

19、?- 2?cos?12或 28 ?= 2 v3 或 2 v7【點(diǎn)睛】本題既考查了三角公式的應(yīng)用，又考查了三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性，還考查了解三角形相關(guān) 問(wèn)題，解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，選擇合適正、余弦定理和面積公式。19.( I)見(jiàn)解析；(II)【解析】【分析】(I)通過(guò)證明？?L ?/?,?2_ ?,?證得？?空面?由此證得平面 ？?2平面? II)矩 形？?所在平面和圓？?所在平面垂直，點(diǎn)？到邊?的距離即為四棱錐 FABCD的高，然后利用錐體 體積公式求得四棱錐的體積 【詳解】(I)等邊三角形 0AF中，點(diǎn)F到邊0A的距離為弓又矩形ABCD所在平面和圓0所在平面垂直點(diǎn)F

20、到邊0A的距離即為四棱錐 F-ABCD的高四棱錐F ABCD 的高?=專又 BC= 1矩形的 ABCD 的面積 Sabcd = ?= 2 X 1 = 21v3v3 ?-? g X 2 X2 = 3【點(diǎn)睛】本小題考查空間兩個(gè)平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法要在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線來(lái)證明.屬于中檔題.? ?20.( I)匸 +三=1 .(II) ?(1肓)要證明兩個(gè)平面垂直，則需【解析】【分析】(I)寫出？?坐標(biāo)，利用直線?與直線? ? 3v2 = 0垂直，得到？?= ?:求出？點(diǎn)的坐標(biāo)代入?+ ? 3 v2 = 0,可得到？?的一個(gè)關(guān)系式，由此求得 ？?和？的值，進(jìn)而求得橢圓方程

21、.(II)設(shè)出?點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫出直線 ?的方程，從而求得？庶的坐標(biāo)，代入？?？?？? ? 9，化簡(jiǎn)可求得？點(diǎn)的/ AB為圓0的直徑，點(diǎn)F在圓0上 AF 丄 BF又矩形ABCD所在平面和圓 0所在平面垂直且它們的交線為AB, CB丄AB CB丄圓0所在平面 AF 丄 BC又BC、 BF為平面CBF上兩相交直線 AF丄平面CBF又?面?平面DAF丄平面CBF .(II)連接0E/ AB = 2, EF = 1 , AB EF 0A= 0E= 1，即四邊形 0EFA為菱形【詳解】(l)T橢圓的左焦點(diǎn) ？(-?,0)，上頂點(diǎn)？?(0,?)直線AF與直線？?+ ? 3v2 = 0垂直直線 AF的斜率？

22、?= -?= 1，即？?= ?又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)點(diǎn)？勺坐標(biāo)為？?(?)又點(diǎn)？莊直線？?+? 3 v2 = 0上 ? 2?- 3 v2 = 0由得：？?= ?= ? = 4橢圓？的方程為-? + = = 1 . 42 AF = 0A = 0F = 1(II )設(shè)?(?),(? 0,? 0)好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第9頁(yè)(共14頁(yè))好教育云平臺(tái) 名校精編卷答案第11頁(yè)(共14頁(yè)) ?2 = 2 -?2?(2,0)6? 2+?0+2-?02 +8?)+20?+2(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，將原不等式轉(zhuǎn)化為可?由(I)易得頂點(diǎn)M、?直線MP的方程是：？?= 晶(?+ 2)?丄,?= (?+ 2)6

23、?由 ?+2 ()得：？(4,辰)又點(diǎn)P在橢圓上，故字+尊=14 2 ?=(? + 2, ?) ?(2,麗)=2(?)+ 2)-? = 1 或-2(舍)- ?=亍,(? 0)點(diǎn)P的坐標(biāo)為？?(1,f)【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查兩直線垂直的條件，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算屬于中檔題在解題過(guò)程中，首先閱讀清楚題意，題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線是怎么得到 的，向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些，應(yīng)該怎么得到，這些在讀題的時(shí)候需要分析清楚21 . (1)見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析【解析】【試題分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)通分，對(duì)？分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1 1ln?+

24、?- 1 0，構(gòu)造函數(shù)?(?)= In?+ ?- 1，利用導(dǎo)數(shù)求得？?的最小值為0，由此證得原不等式成立【試題解析】(1) 函數(shù)?(?的定義域?yàn)?0,+8)，且?(?)= ?-歹=牙當(dāng)? 0, ?(?在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)？? 0時(shí)，若？? ?時(shí)，則？?(?) 0,函數(shù)?(?在(?,+8)上單調(diào)遞增；若0 ? ?時(shí)，則 ?(?) 0 時(shí)，？?(?Qin = ?(?= In?+ 1. 要證？(?戸號(hào)，只需證In?+ 1 專,即只需證In?+ *?- 1 0構(gòu)造函數(shù)?(?= In?+ ?- 1，則?(?)= ?-旃=宣.所以?(?在(0,1)單調(diào)遞減，在(1, +8)單調(diào)遞增.所以？?(?m

25、in = ?(1)= 0.1所以In?+ -?- 1 0恒成立，所以？?(?戸篤1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查構(gòu)造函數(shù)的思 想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.在求導(dǎo)后，一般要進(jìn)行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考慮，另外要注意在定義域內(nèi)研究單調(diào)性.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式恒成立問(wèn)題過(guò)程中，要注意變形要是等價(jià)變形.22. ( I)普通方程為：? + (?- 1)2 = 1，極坐標(biāo)方程為：？?= 2sin?(II) |?= 1【解析】【分析】(I)利用cos2?+ sin2?= 1消去參數(shù)，求得圓的普通方程，將？?= ?cos?= ?sin?代入,求得對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程.(II)分別將？?=代入直