管理統(tǒng)計學：第6章 統(tǒng)計量及其抽樣分布

1、廣東工業(yè)大學 管理學院 6.1 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 6.2 關于分布的幾個概念關于分布的幾個概念 6.3 由正態(tài)分布導出的幾個重要分布由正態(tài)分布導出的幾個重要分布 6.4 樣本均值的分布與中心極限定理樣本均值的分布與中心極限定理 6.5 樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布 6.6 兩個樣本平均值之差的分布兩個樣本平均值之差的分布 6.7 關于樣本方差的分布關于樣本方差的分布 1. 了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念 2. 了解由正態(tài)分布導出的幾個重要分布了解由正態(tài)分布導出的幾個重要分布 3. 理解樣本均值的分布與中心極限定理理解樣本均值的分布與中心極限定理 4. 掌握單樣本比

2、例和樣本方差的抽樣分布掌握單樣本比例和樣本方差的抽樣分布 6.1.1 統(tǒng)計量的概念統(tǒng)計量的概念 6.1.2 常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量 6.1.3 次序統(tǒng)計量次序統(tǒng)計量 6.1.4 充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量 * 從重復抽樣的角度看從重復抽樣的角度看“每次從某個總體每次從某個總體X中隨機抽取個體中隨機抽取個體” 可理解為一個可理解為一個隨機實驗隨機實驗。 隨機樣本隨機樣本：表征：表征n次從總體中抽取個體的隨機抽樣結果的一次從總體中抽取個體的隨機抽樣結果的一 組隨機變量組隨機變量X1, X2, , Xn. 樣本觀察值（樣本數(shù)據(jù)）樣本觀察值（樣本數(shù)據(jù)）：n次次隨機抽樣的結果隨機抽樣的結果：x1, x2, ,

3、xn（稱為隨機變量（稱為隨機變量X1, X2, , Xn的樣本觀察值）。的樣本觀察值）。n稱為稱為樣樣 本容量本容量簡稱為簡稱為容量容量。在實際工作中，人們通常把在實際工作中，人們通常把3030的樣的樣 本稱為大樣本，而把本稱為大樣本，而把n30n30的樣本稱為小樣本。的樣本稱為小樣本。 注注：x1, x2, , xn也可以看成隨機變量也可以看成隨機變量X的的n次重復抽次重復抽 樣的結果。樣的結果。 大寫的英文字母：隨機變量 小寫的英文字母：隨機變量的觀察值 例例 拋擲一個均勻的骰子，假設骰子的六個面分別拋擲一個均勻的骰子，假設骰子的六個面分別 標有數(shù)字標有數(shù)字1，2，3，4，5，6。用。用X

4、標識骰子落地后標識骰子落地后 朝上一面的數(shù)字。則朝上一面的數(shù)字。則X是離散隨機變量。是離散隨機變量。 對該隨機變量進行一次抽樣，其實就是擲該骰子對該隨機變量進行一次抽樣，其實就是擲該骰子 一次。一次。 第第i次抽樣，就是第次抽樣，就是第i次擲骰子，其結果的表示：次擲骰子，其結果的表示： 事前事后 Xixi 易見，易見，Xi其實就是其實就是X. 當然這里要求各當然這里要求各Xi是是獨立的獨立的. 在理論上表在理論上表 述時常說成各述時常說成各Xi是是iid的的(即即Independent Identically Distribution) 12 , , n XXX n XXX , , , 21

5、( )XF x 12 , , n XXX 12 , , n XXX 12 , , n XXX 12 , , n xxx 總體總體X 隨機變量隨機變量N( , 2) 觀察值觀察值 隨機變量隨機變量N( , 2)的值的值 對象：某大學新生的身高對象：某大學新生的身高 12, , nXXX )(xFX 12 ( , , ) nFxxx 12 , , nXXX)(xfX 12 ( , , ) n fxxx 1 () n i i F x 1 () n i i f x 12 , nXXX),( 2 NX 2 2 () 2 1 1 1 (,) 2 ni n i x fxxe 2 2 1 () 2 11 (

6、2) n i i n x e 1. 設X1,X2,Xn是從總體X中抽取的容量為n的 一個樣本，如果由此樣本構造一個函數(shù) T(X1,X2,Xn)，不依賴于任何未知參數(shù)，則 稱函數(shù)T(X1,X2,Xn)是一個統(tǒng)計量. 樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計量 1. 統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù) 2. 統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷的基礎 統(tǒng)計量通常是隨機變量統(tǒng)計量通常是隨機變量，但統(tǒng)計量的觀測值是確統(tǒng)計量的觀測值是確 定的，沒有隨機性定的，沒有隨機性。比如，如果（x1,x2,xn） 是樣本（X1，X2，,Xn）的觀測值，那么 T T(x1,x2,xn）為統(tǒng)計量統(tǒng)計量T(X(X1 1,X,X2 2X Xn n) )的觀

7、測值。 則T(X(X1 1,X,X2 2X Xn n) )是隨機變量。 統(tǒng)計量是隨機變量，那么它應該有概率分布。統(tǒng) 計量的分布也稱抽樣分布。 統(tǒng)計量的分布不一定和總體分布一致。 在統(tǒng)計推斷中，一個重要的工作就是尋找統(tǒng)計量 ，導出統(tǒng)計量的抽樣分布或漸近分布。 2 )( 21 XX B 21 2 2 2 1 2)(3)(XXDXXC 例：例：設設(X1,X2)是總體是總體N( , 2) 的一個樣本的一個樣本,其中其中 已知已知， 未知參數(shù)未知參數(shù), 則下列哪個不是統(tǒng)計量：則下列哪個不是統(tǒng)計量： /)( 1 XA 樣本均值(是樣本的均值，反映總體期望的信息是樣本的均值，反映總體期望的信息) 樣本方差

8、(是樣本方差，反映總體方差的信息是樣本方差，反映總體方差的信息) 樣本變異系數(shù)(反映總體變異系數(shù)反映總體變異系數(shù)C) n i i X n X 1 1 n i i XX n S 1 22 )( 1 或 n i i XX n S 1 22 )( 1 1 XSV 一些常用軟件如Excel、SPSS 是按此式來計算樣本方差的 值 )( )( XE XD C 它反映了隨機變量在以它的均值為單位時，取值的離散程度。此統(tǒng)計量取消了均值不它反映了隨機變量在以它的均值為單位時，取值的離散程度。此統(tǒng)計量取消了均值不 同對不同總體的離散程度的影響，常用來刻畫均值不同時，不同總體的離散程度。在同對不同總體的離散程度的

9、影響，常用來刻畫均值不同時，不同總體的離散程度。在 投資項目的風投資項目的風.險分析中、不同群體或行業(yè)的收入差距描述中有廣泛的應用。險分析中、不同群體或行業(yè)的收入差距描述中有廣泛的應用。 k階原點矩 k階中心矩 偏度 峰度 n i k ik X n m 1 1 n i k ik XX n v 1 )( 1 23 1 2 1 3 3 )()( n i i n i i XXXXna 3)()( 2 1 2 1 4 4 n i i n i i XXXXna 1. 一組樣本觀測值x1,x2,xn由小到大的排序 x（1）x（2） x（i） x（n） 后，其值對應的統(tǒng)計量X（1），X（2）， X（n）就稱

10、為次序統(tǒng)計量 2. 中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng) 計量 6.2.1 抽樣分布抽樣分布 6.2.2 漸進分布漸進分布 6.2.3 隨機模擬獲得的近似分布隨機模擬獲得的近似分布 1.樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布 在重復選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可 能取值形成的相對頻數(shù)分布 2.與抽樣分布對應的隨機變量是 樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量 樣本均值, 樣本比例，樣本方差等 3.結果來自容量相同容量相同的所有所有可能樣本 4.提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推 斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據(jù) 例 有限總體樣本均值的抽樣分布 樣 本 均 值 的 K 個 觀 測 值 學

11、生學生 成績成績 30 40 50 60 70 80 90 按隨機原則抽選出名學按隨機原則抽選出名學 生，并計算平均分數(shù)。生，并計算平均分數(shù)。 樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布 樣本樣本均值均值樣本樣本 均值均值樣本樣本均值均值 ABCD ABCE ABCF ABCG ABDE ABDF ABDG ABEF ABEG ABFG ACDE ACDF 45 47.5 50 52.5 50 52.5 55 55 57.5 60 52.5 55 ACDG ACEF ACEG ACFG ADEF ADEG ADFG AEFG BCDE BCDF BCDG BCEF 57.5 57.5 60 62.5

12、 60 62.5 65 67.5 55 57.5 60 60 BCEG BCFG BDEF BDEG BDFG BEFG CDEF CDEG CDFG CEFG DEFG 62.5 65 62.5 65 67.5 70 65 67.5 70 72.5 75 樣本均值樣本均值 45 47.5 50 52.5 55 57.5 60 出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) 1 1 2 3 4 4 5 樣本均值樣本均值 62.5 65 67.5 70 72.5 75 出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) 4 4 3 2 1 1 二者均值相等二者均值相等 1. 描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布 2. 可用于近似離散型隨機變量的分布 例如: 二項

13、分布 3. 經典統(tǒng)計推斷的基礎 f(x) = 隨機變量 X 的頻數(shù) = 總體方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 隨機變量的取值 (- x 0 2.正態(tài)曲線的最高點在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù) 3.正態(tài)分布是一個分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值和 標準差來區(qū)分。 決定了圖形的中心位置, 決定曲線 的平緩程度 4.曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸， 且理論上永遠不會與橫軸相交 5.正態(tài)曲線下的總面積等于1 6.隨機變量的概率由曲線下的面積給出 x CA B 1. 一般的正態(tài)分布取決于均值和標準差 2. 計算概率時 ，每一個正態(tài)分布都需要有 自己的正態(tài)概率

14、分布表，這種表格是無窮 多的 3. 若能將一般的正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分 布，計算概率時只需要查一張表 4. 標準正態(tài)分布是均值為0, 方差為1的正態(tài) 分布 2. 標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 1.任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性 變換轉化為標準正態(tài)分布 3. 標準正態(tài)分布的分布函數(shù) 1. 將一個一般的轉換為標準正態(tài)分布 2. 計算概率時 ，查標準正態(tài)概率分布表 3. 對于負的 x ，可由 (-x) x得到 4. 對于標準正態(tài)分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 5. 對于一般正態(tài)分布，即XN( , )，有 【例例】設XN(0，1)，求以

15、下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-1X 3) ； (4) P(| X | 2) 解解：(1) P(X 2)=1- P(X 2)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4) P(| X | 2) = P(-2 X 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545 【例例】設XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解解： (1) 利用Excel的函數(shù)NOR

16、MDIST可以計算正態(tài)分布變 量的累積分布函數(shù)與概率密度函數(shù)值. 函數(shù)的格式如下 NORMDIST(x, , , c) 若計算累積分布函數(shù)值，其中參數(shù)c的值為1，若計 算概率密度函數(shù)值，c的值為0。 例如設XN(5，32)，計算概率 (1) P(X 10) 。 在EXCEL的任意單元格輸入“=NORMDIST(10, 5, 3, 1)”，按回車即可得到結果0.95521。 6.3.1 2分布分布 6.3.2 t 分布分布 6.3.3 F 分布分布 一、一、 分布分布 2 1定義 設X1，X2，Xn是來自正態(tài)總體 N(0，1)的樣本，則稱統(tǒng)計量 為服從自由度為 n 的 分布，記作 (n) 22

17、2 2 1 2 n XXX 2 2 2 0 f(x) n=1 n=5 n=15 x 2 (n)分布的概率密度： 其中 為 函數(shù) 在 處的函數(shù)值 0, 0 0,e 2 2 1 )( 2 1 2 2/ x xx n xf nn n 2 n )0(de)( 0 1 sxxs xs 2 n s ) 1) 1 (, !) 1(, 2 1 ),() 1( nnsss 2 性質2：設 X (n1)，Y (n2)，且X與Y相互獨立, 則 X+Y (n1+n2) 性質3：設 為X的樣本， 則 證： 性質4：設 (n)，則對任意實數(shù)x，有 nXDDnXEE n i i n i i 2)()(,)()( 1 22

18、1 22 3分布的性質： 性質1：設 (n)，則E( )=n，D( )=2n 證：因XiN(0,1)，E(Xi2)=1 ，D(Xi)=1 3d 2 1 )()( 2 444 2 xexXEXE x i 2)()()( 2242 iii XEXEXD 2 2 2 2 n i i nX 1 22 2 )()( 1 n XXXNX,),( 21 2 ) 1 , 0( N Xi n i n i i i n X X 1 2 2 1 2 2 )()( 1 tx n n P x t n de 2 1 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 例如 取 ，則查表有 25, 1 . 0n382.34)25(

19、2 1 . 0 4 (n)分布的上 分位點： 設 (n)，對于給定的正數(shù) ， 稱滿足條件 的點 為 (n) 分布的上 分位點 ) 10( )( 22 2 d)()( n xxfnP )( 2 n 2 2 2 2 0 f(x) x )( 2 n 5、 2分布的自由度分布的自由度 可以自由選擇數(shù)值的變量個數(shù)?？梢宰杂蛇x擇數(shù)值的變量個數(shù)。 n i i nX 1 22 2 )()( 1 n i i nXX 1 22 _ 2 ) 1()( 1 當總體 ，從中抽取容量為n的樣本，則 1. 一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù) 2. 當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為 n 時，若樣本均值x 確定 后，只有n -1個數(shù)據(jù)可以自

20、由取值，其中必有一 個數(shù)據(jù)則不能自由取值 3. 例如，樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則 x = 5。當 x = 5 確定后，x1，x2和x3有兩個 數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比 如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他 值 例例 ) 1 ()3/( ) 1 , 0()3/(3 , 0N 0X . )()( , 222 321 321 2 321 2, i 2 2 654 2 321 621 ） ），（所以， ，解： 分布服從，使隨機變量試決定常數(shù) 有分布的簡單隨機樣本，是來自均值為零的正態(tài)， XXX NXXXXXX N CYC XXXXXXY XX

21、X 由卡方分布的可加性有由卡方分布的可加性有 )2(3/)(3/)( 222 654 22 321 XXXXXX 則有該卡方分布自由度為則有該卡方分布自由度為2，且，且C=1/3 2 二、二、t t 分布（學生分布）分布（學生分布） 1定義 設XN (0,1)，Y (n)，且 X 與 Y 獨立，則稱隨機變量 服從自由度為 n 的 t 分布，記作 t t (n) nY X t / 2 2t (n)分布的概率密度： x n x n n n xf n ,1 2 2 1 )( 2 1 2 3性質：t (n) 分布的概率密度關于 y 軸對稱，且 xxf x n ,e 2 1 )(lim 2 2 E(t)

22、=0, D(t)=n/(n-2) f(x) x0 n=10 n=4 n=3 )( 1 n t )(nt f(x) 0 x 4t (n) 分布的上 分位點： 設 t t (n)，對于給定正數(shù) ，稱滿足條件 的 點 為 t (n) 分布的上 分位點，且有 ) 10( )(nttP )(nt untntnt )(),()( 1 5.t分布自由度越小，分布的方差越大，分布比較平坦。 當自由度較大時，方差較小，越接近標準正態(tài)分布。 6.t分布的自由度由生成t分布的分母卡方分布隨機變量的 自由度決定。 設X1, X2, , Xn是來自均值為、標準差為 的正態(tài)總體的隨機樣本。則可以得到利用 樣本均值計算的統(tǒng)

23、計量函數(shù)的如下結果： ) 1( nt nS X T 它常被用來推斷總體的均值。 三、三、F F分布分布 2 2 1定義：設X (m)，Y (n)，且 X 與 Y 獨立，則稱隨機變量 為服從自由度是 m、n 的 F分布，記作 FF (m, n)， nY mX F / / 其中 m 稱為第一自由度，n 稱為第二自由度 2F(m,n)分布的概率密度為 0, 0 0,1 22 2 )( 2 1 2 2 x xx n m x n m nm nm xf nm m m 3F(m, n) 分布的性質: 若FF(m, n)， 則 ),( 1 mnF F m=10,n=5 m=10,n=25 x f(x) x f

24、(x) ),(nmF 4F (m, n) 分布的上 分位點： 設 FF(m, n)，對于給定正數(shù) ，稱滿足條件 的點 為F(m, n)分布的上 分位點，且有 )10( ),(nmFFP ),( 1 ),( 1 mnF nmF ),(nmF 如如F 0.01(10,15)=3.8. 0.95 0.05 11 (12,9)0.357 (9,12)2.80 F F 4, )4()2( )2(2 )( 2, 2 )( 2 2 n nnm nmn FD n n n FE 1. 在重復選取容量為n的樣本時，由樣本均 值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 2. 一種理論概率分布 3. 推斷總體均值的理論基礎

25、4. n XVARXE 2 )(,)( x 50 x 當總體服從正態(tài)分布N(,2)時，來自該總體的所有 容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x 的數(shù) 學期望為，方差為2/n。即xN(,2/n) 2.實際應用中，由于總體的分布未知，我們常要求實際應用中，由于總體的分布未知，我們常要求n30。 中心極限定理中心極限定理：設從均值為：設從均值為 ，方差為，方差為 的一個任意的一個任意 總體中抽取樣本量為總體中抽取樣本量為n的樣本，當?shù)臉颖?，當n充分大時，樣充分大時，樣 本均值本均值 的抽樣分布近似服從均值為的抽樣分布近似服從均值為 、方差為、方差為X 2 n/ 2 正態(tài)分布正態(tài)分布 注：注：1.中

26、心極限定理要求中心極限定理要求n充分大，那么多大叫充分大呢？充分大，那么多大叫充分大呢？ 這與總體的分布形狀有關?？傮w偏離正態(tài)越遠，則這與總體的分布形狀有關。總體偏離正態(tài)越遠，則 要求要求n越大。越大。 3.大樣本與小樣本問題。在樣本量固定的條件下進行的大樣本與小樣本問題。在樣本量固定的條件下進行的 統(tǒng)計推斷、問題分析，都稱為小樣本問題；而在樣本統(tǒng)計推斷、問題分析，都稱為小樣本問題；而在樣本 量量n的條件下進行的統(tǒng)計推斷、問題分析則稱為大的條件下進行的統(tǒng)計推斷、問題分析則稱為大 樣本問題。一般統(tǒng)計學中的樣本問題。一般統(tǒng)計學中的n30為大樣本，為大樣本，n30為為 小樣本只是一種經驗說法。小樣本

27、只是一種經驗說法。 例6.4 設從一個均值=10、標準差=0.6的總體中 隨機選取容量為n=36的樣本。假定該總體不是很偏的， 要求： 解：由中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布, 即近似地 ),( 2 n NX 而6.0,10并且 22 1.001.036/36.0/n 故 )1.0,10( 2 NX 1）) 1.0 109.9 1.0 10 ()9.9( X PXP )1(ZP )1(1ZP )1(1 8413.01 1587.0 8413.01587.01)9.9(1)9.9(XPXP2） 3） 9.9 101010.1 10 (9.910.1)() 0.10.10.1 X PXP (

28、 11)PZ (1)(1)P ZP Z (1) (1(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826 例6.5 一汽車蓄電池商聲稱其生產的電池具有均值為 54個月、標準差為6個月的壽命分布。現(xiàn)假設某消費 者團體決定檢驗該廠的說法是否準確，為此購買了50 個該廠的電池進行檢驗。 1）假定廠商的聲稱是正確的，試描述這50個電池平 均壽命的抽樣分布。 2）假定廠商聲稱正確，則50個樣品組成的樣本的平 均壽命不超過52個月的壽命的概率是多少？ 解 1）由中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布, 即近似地 2 ( ,)XN n 而6,54并且 22 85. 072. 050/36/n 故 )8

29、5.0,54( 2 NX 2）按照上面得到的結果來計算這50個電池平均壽命 不超過52個月的概率 這表明這50個電池平均壽命不超過52個月的概率非常 小。因此這種情況應該不太可能出現(xiàn)。 如果出現(xiàn)該情況意味著什么？ 0094. 09906. 01)35. 2(1 )35. 2(1)35. 2( 85. 0 5452 85. 0 5452 85. 0 54 )52( ZPZP ZP X PXP 1.總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位 總數(shù)之比 不同性別的人與全部人數(shù)之比 合格品(或不合格品) 與全部產品總數(shù)之比 2.總體比例可表示為 3.樣本比例可表示為 1. 在重復選取容量為n的樣本時，由樣本比 例的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 2. 一種理論概率分布 3. 當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布 可用正態(tài)分布近似 4. 推斷總體比例的理論基礎 1. 樣本比例的數(shù)學期望 2. 樣本比例的方差 重復抽樣 不重復抽樣 解：，根據(jù)概率理論，10X也服從正態(tài)分布，由于 所以 因為 例6.7 假定某統(tǒng)計人員在其填寫的報表中有2%至少會 有一處錯誤