大學(xué)物理學(xué)：2質(zhì)點運動

1、 基本物理量基本物理量avrr , 位置矢量位置矢量kzjyixr 位移位移 AB rrr 瞬時速度瞬時速度 j dt dy i dt dx dt rd v 加速度加速度 k dt dv j dt dv i dt dv a z y x k dt zd j dt yd i dt xd 22 2 2 回顧：回顧： 質(zhì)點作曲線運動，判斷下列說法的正誤。質(zhì)點作曲線運動，判斷下列說法的正誤。 rr r r rs r s r s 質(zhì)點的運動學(xué)方程為質(zhì)點的運動學(xué)方程為x=6+3t-5t3(SI),判斷正誤判斷正誤: 質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為正。質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為正。 質(zhì)點作勻加速直線運動，

2、加速度為負。質(zhì)點作勻加速直線運動，加速度為負。 質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為正。質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為正。 質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為負。質(zhì)點作變加速直線運動，加速度為負。 思考題思考題 r o A r B r r 24 2 2tty tx xxy2 2 解：解： 4|2 d d 2 tx t t x v 24|44 d d 2 3 ty tt t y v 374 22 yx vvv, Arctan = -4/(-24)=1/6 9.50 2 d d d d 2 2 2 t x x t x t v a 練習(xí)練習(xí)ay=? 24 2 2tty tx 因為 , 所以 44 y a :

3、設(shè)質(zhì)點在設(shè)質(zhì)點在XOY鉛垂平面鉛垂平面 內(nèi)作無阻力拋體運動內(nèi)作無阻力拋體運動 質(zhì)點的速度與時間質(zhì)點的速度與時間t的的 關(guān)系和質(zhì)點的運動方程關(guān)系和質(zhì)點的運動方程. : 建立坐標系，由題設(shè)：建立坐標系，由題設(shè)： ) 1 ( 0 0 gdtdv dv g dt dv a dt dv a y x y y x x 并由初始條件：并由初始條件：; 0 tt o y x 0 v 1 M v 1 M ; 0 00 yx ;sin 0 vvoy;cos 0 vvox 由(1)式積分并代入上下限: )2( )(sin; cos; 0 00 0 00 0 ttgvvgdtdv vvdv y t t v v y x

4、v v x y y x x 當(dāng)t0=0,則有: gtvv vv y x sin cos 0 0 即可得速度分量與時間的關(guān)系. 再由(2)式 )(sin cos 00 0 ttgv dt dy v v dt dx v y x o y x 0 v 1 M v 1 M t t y t t x dtttgvdy dtvdx 0 0 )(sin )cos( 00 0 0 0 積分得: )3( )( 2 1 sin)( cos 2 000 00 ttgttvy ttvx 若t0=0, 并消去t，可得： 2 22 0 cos2 x v g xtgy 表明質(zhì)點運動軌跡為拋物線拋物線。 o y x 0 v 1

5、M v 1 M ktzjtyitxr )()()( 直角坐直角坐 標系中：標系中： kvjvivv zyx kajaiaa zyx 任何運動都可以看作兩個或三個各自獨立的互相任何運動都可以看作兩個或三個各自獨立的互相 垂直的直線運動疊加而成，反之亦然。垂直的直線運動疊加而成，反之亦然。 無阻力拋體運動可看成沿?zé)o阻力拋體運動可看成沿x軸向的勻速直線軸向的勻速直線 運動和沿運動和沿y軸的勻變速直線運動，這兩個獨立運軸的勻變速直線運動，這兩個獨立運 動疊加而成動疊加而成。 2 2 d d d d ; d d t r t v a t r v 在數(shù)學(xué)運算上為在數(shù)學(xué)運算上為: : 在數(shù)學(xué)運算上為在數(shù)學(xué)運算

6、上為: : 三三 質(zhì)點運動學(xué)的兩類問題質(zhì)點運動學(xué)的兩類問題 第一類問題：第一類問題：已知已知 ，求，求 第二類問題第二類問題：已知：已知 ，求，求 。a rv , v r a )(taa （1 1）已知）已知 一一 速度公式速度公式 dt vd a dtavd t tv v dtavv dtavd 0 0 0 0 （2 2）直線運動中，已知）直線運動中，已知 a v dv dt dv a v dt( ) ( ) )(vaa 對方程兩端積分求解。對方程兩端積分求解。 （3 3）已知）已知 a=a(x)a=a(x) dx dv v dt dx dx dv dt dv xa )( vdvdxxa )

7、( 兩端積分得：兩端積分得： dxxavv)(2 2 1 2 2 二二 運動方程運動方程 t o dtv rr 0 t dtvrd r r 0 0 兩邊積分兩邊積分 dtvrd dt rd v 由由 dtvyy dtvxx t y t x 00 00 分量式為：分量式為： 例例：設(shè)質(zhì)點沿設(shè)質(zhì)點沿x軸作軸作運動，運動，a=2t，t =0時時 x0=0，v0=0 試求試求: t =2s時質(zhì)點的速度和位置。時質(zhì)點的速度和位置。 解解：加速度加速度a不是常量不是常量，將，將a=2t寫成寫成 ：ttvd2d 對兩邊積分對兩邊積分： ,;d2 0 2 0 00 t v tv tvttdv )2( 3 1

8、;dd;dd 3 0 2 0 2 txttxttx tx ) 1 ( 2 tv 所以所以 即即 把把 t=2s 分別代入分別代入(1)、(2)得：得： mxsmv67.2 3 8 ;/4 當(dāng)把（當(dāng)把（1）、（）、（2）式中）式中t 消去，還可得：消去，還可得： 3/2 )3(;)(xvxvv 例例：一質(zhì)點作沿一質(zhì)點作沿x軸運動，已知：軸運動，已知： 2 62xa )(0;00 00 xvvxt求求時時 解解： 應(yīng)用微應(yīng)用微 分變換分變換： x v v t v a d d dt dx dx dv d d vvxadd vx vvxx 00 2 dd)62( 23 2 1 )(2vxx 3 2xx

9、v 注意注意: 當(dāng)已知當(dāng)已知a(v)時，也可采用此方法。時，也可采用此方法。 即即可可。 )( d d; d d )( va vv x x v vva 圓周運動圓周運動是曲線運動的一是曲線運動的一 個重要特例，一般圓周運動中質(zhì)個重要特例，一般圓周運動中質(zhì) 點的速度大小和方向都在改變，點的速度大小和方向都在改變， 并普遍采用自然坐標系。并普遍采用自然坐標系。 n n 切向坐標沿運動軌切向坐標沿運動軌 跡的切線方向；跡的切線方向； 法向坐標沿運動軌法向坐標沿運動軌 跡的法線方向。跡的法線方向。 自然坐標系建立在物體運動的軌跡上的，自然坐標系建立在物體運動的軌跡上的， 有兩個坐標軸，切向坐標和法向坐

10、標。有兩個坐標軸，切向坐標和法向坐標。 一、自然坐標系一、自然坐標系 圓周運動中質(zhì)點的速度大小和方向都在改變。圓周運動中質(zhì)點的速度大小和方向都在改變。 t+ t 時刻時刻 B點點: A v B v tnAB vvvvv n v t v :方向改變量方向改變量 :大小改變量大小改變量 t 時刻時刻 A點：點： A v B v v n v 等腰三角形 A B O t v B v A v 二、圓周運動的速度和加速度二、圓周運動的速度和加速度 t v :大小改變量大小改變量 因為因為OAB相似于相似于 CDE，所以：，所以： vn/vA= r /r, 即即vn= vA r /r dvn= vA ds

11、/r, 兩邊除以兩邊除以dt可得可得 dvn/dt = (vA/r) (ds /dt)=vA2/r (見下頁）見下頁） A B O t v tnAB vvvvv n v :方向改變量方向改變量 r r C A v B v v n v 等腰三角形等腰三角形 D E s A v B v tn t n tt ana t v t v t v a limlimlim 000 r v a n 2 切向加速度切向加速度： dt dv t v t vv t v a t AB tt 000 limlimlim 法向加速度法向加速度： n 方向方向 指向圓心指向圓心 。 dt dv A v B v v n v 等

12、腰三角形 A B O t v B v A v o t a a 切向加速度切向加速度 dt dv t v t vv t v a t AB tt 000 limlimlim 切向加速度切向加速度的的大小大小: 在數(shù)值上等于瞬時速率在數(shù)值上等于瞬時速率 對時間的變化率對時間的變化率(模的模的 差比上時間差比上時間)。 的的方向方向為為 切線方向與該點速度同向或反向，切線方向與該點速度同向或反向， 且且 。 a n aa A v B v v n v t v 2 2 2 22 dt dv R v aaa tn n t a a arctan o a t a n a tn e dt dv e R v a 2

13、 o t a a 結(jié)論：結(jié)論： 1. 只反映只反映速度大小速度大小的變化。的變化。 t v a t d d 3. 推廣至一般平面曲線運動推廣至一般平面曲線運動 tn e t v e v a d d 2 ：曲率半徑。：曲率半徑。 只反映只反映速度方向速度方向的變化。的變化。質(zhì)點若作質(zhì)點若作 直線運動，則法向加速度為零。直線運動，則法向加速度為零。 R v an 2 2. o t a a 討論：討論： 1. .0 , 0 n aa勻速直線運動；勻速直線運動； 2. .0 , n aCa勻變速直線運動；勻變速直線運動； 3. .Caa n , 0 勻速圓周運動；勻速圓周運動； 4. .0 , 0 n

14、 aa變速曲線運動；變速曲線運動； 三、圓周運動角量描述三、圓周運動角量描述 1 1、角坐標、角坐標 dt d 單位：弧度秒，單位：弧度秒，rad/srad/s。 2 2、角速度、角速度 單位：單位：radrad)(t 2 2 dt d dt d 單位：單位： 2 /srad 、角加速度、角加速度 t dt dt d 0 0 t dt dt d 0 0 4、運動方程、運動方程 d 0 2 2 0 2 2 2 r r v a n 5. 5. 角量與線量之間的關(guān)系角量與線量之間的關(guān)系 r dt rd dt ds v r dt d r dt dv a 解解：t=0時，任意點時，任意點M與與 重合重合

15、 O 用自然法表示用自然法表示M點的運點的運 動學(xué)方程：動學(xué)方程： 2 2 1 btS bt t S v d d （指切線正向）（指切線正向） 例例: 一半徑為一半徑為R的滑輪可繞水平軸的滑輪可繞水平軸 轉(zhuǎn)動，輪邊緣繞有轉(zhuǎn)動，輪邊緣繞有 系重物的繩。已知，重物的運動方程系重物的繩。已知，重物的運動方程 l O 2 2 1 bty 求求: 輪緣上任意點輪緣上任意點M在時刻在時刻t 的速度和加速度。的速度和加速度。 o y Y o 1 o M n a t a a R v nnn e R tb e R v a 222 ttt ebe dt dv a 2 2 22 22 b R tb aaa tn R

16、 bt a a tg t n 2 o y Y o 1 o M n a t a a R v 例例: 質(zhì)點作平面曲線運動，其運動方程為質(zhì)點作平面曲線運動，其運動方程為 2 2（SI） 求求 (1) t=1s時，切向及法向加速度時，切向及法向加速度; (2) t=1s時，質(zhì)點所在點的曲率半徑時，質(zhì)點所在點的曲率半徑. 解解: j ti tr dt d v sin4)(sin16 222 ttvv )(cos16 24 taa v j ti dt vd a cos4 2 2 )1(sm4 t a 2222 )1(sm tn aaa )(sin16 cossin232 2 1 d dv 222 3 tt

17、 ttt t a t , 2 n a v 22 )1()1(sm;sm4 n av m 16 2 例例：一列火車由靜止開始速率均勻增大，其軌道為半一列火車由靜止開始速率均勻增大，其軌道為半 徑徑R R=800m=800m的圓弧。已知起動后的圓弧。已知起動后t t=3min=3min時列車的速率為時列車的速率為 v v=20m/s=20m/s，求求起動后起動后t t1 1=2min=2min時，火車的切向加速度、時，火車的切向加速度、 法向加速度和總加速度。法向加速度和總加速度。 解：解：因為速率為均勻增大，所因為速率為均勻增大，所 以任意時刻的切向加速度以任意時刻的切向加速度 的大小均相等。由

18、定義：的大小均相等。由定義： s/m. t v dt dv at1110 603 20 2 2 2 11 2 1 2220 800 1201110 s/m. . R ta R v an O R t1時刻的總加速度的大小為：時刻的總加速度的大小為： 22222 248011102220s/m.aaa tn 加速度與切向的夾角為：加速度與切向的夾角為： 463 1110 2220 arctanarctan. . . a a t n O R 參考系參考系),(tzyxpS 參考系參考系 ),(tzyxpS rRr 1.1.空間絕對性空間絕對性: :空間兩點的距離不管從哪個坐標空間兩點的距離不管從哪個

19、坐標 系測量，結(jié)果相同。系測量，結(jié)果相同。 2.2.時間絕對性時間絕對性: 時間與坐標無關(guān)。時間與坐標無關(guān)。 tutuRtt y z O O x yy ut r r P 五五 相對運動相對運動 ROO 3. 3. 時空坐標變換時空坐標變換 tt t urr tt t urr 逆變換 tt zz yy utxx tt zz yy utxx 逆變換或 y z O O x yy ut r r P dt dz t d zd dt dy t d yd u dt dx t d xd ; szzSsyySSxxS vvvvuvv ; SSSppS vvv 矢量式矢量式uvv SS cv 通?？臻g通常空間 點

20、對點對 ， 系的速度變換為系的速度變換為S S p uvv 通常表示為：通常表示為： 絕對速度絕對速度=相對速度相對速度+牽連速度牽連速度 t ddttt由 dt Vd t d Vd dt Vd SS SppS SSSppS aaa 當(dāng)當(dāng) 相對于相對于 勻速直線運動時勻速直線運動時S S 0 S S a SppS aa ：質(zhì)點的加速度對于相對作勻速運動的各個參質(zhì)點的加速度對于相對作勻速運動的各個參 考系是一個絕對量?？枷凳且粋€絕對量。 aa 通常表示為：通常表示為： 0 aaa 通常表示為：通常表示為： 絕對加速度絕對加速度=相對加速度相對加速度+牽連加速度牽連加速度 說明：說明：1. 1.以

21、上結(jié)論是在以上結(jié)論是在絕對時空觀絕對時空觀下得出的：下得出的： 只有假定只有假定“長度的測量不依賴于參考系長度的測量不依賴于參考系” ” （空間的絕對性），（空間的絕對性），才能給出位移關(guān)系式：才能給出位移關(guān)系式： 只有假定只有假定“時間的測量不依賴于參考系時間的測量不依賴于參考系” ” （時間的絕對性（時間的絕對性），才能進一步給出關(guān)系式：），才能進一步給出關(guān)系式： 0 rrr 0 vvv 0 aaa 絕對時空觀只在絕對時空觀只在 v0 c 時才成立。時才成立。 2.2.不可將運動的合成與分解和伽利略速度變換關(guān)系不可將運動的合成與分解和伽利略速度變換關(guān)系 相混。相混。 運動的合成運動的合成是

22、在一個參考系中，是在一個參考系中，總能成立；總能成立； 伽利略速度變換伽利略速度變換則應(yīng)用于兩個參考系之間，則應(yīng)用于兩個參考系之間， 3. 3. 只適用于相對運動為平動的情形。只適用于相對運動為平動的情形。 aaa 0 只在只在v0 c時才成立。時才成立。 小結(jié)：小結(jié)：位矢位矢、速度速度和和加速度加速度的性質(zhì)：的性質(zhì)： 4相對性；相對性； 4矢量性；矢量性； 4瞬時性；瞬時性； 4 v0 c時有伽利略變換。時有伽利略變換。 騎自行車的人以速度騎自行車的人以速度 v v 向西行駛，北風(fēng)為向西行駛，北風(fēng)為 v v ，求：人感到風(fēng)的速度。，求：人感到風(fēng)的速度。 解：解： ）（ 人地風(fēng)地風(fēng)人 vv V

23、 22 vvv 風(fēng)人 v2 1tg v v 45 人感到風(fēng)是從西北方向人感到風(fēng)是從西北方向 45 吹來。吹來。 V人地 人地 V地人 地人 V風(fēng)地 風(fēng)地 V風(fēng)人 風(fēng)人 例例: : 例例:一個人騎車以一個人騎車以18km/h自東向西行進自東向西行進,他看見雨點垂他看見雨點垂 直下落直下落.當(dāng)他的速率增至當(dāng)他的速率增至36 km/h時時,看見雨點與他前進看見雨點與他前進 的方向成的方向成120角下落角下落, 求求雨點對地的速度雨點對地的速度. 解解: V1= 18km/h=V人地 人地1 V2= 36km/h=V人地 人地2 V雨地 雨地=V雨人雨人1+V人地人地1 V人地 人地1 V雨人 雨人1

24、 V雨地 雨地 V人地 人地2 V雨人 雨人2 12060 V雨地 雨地 V雨地 雨地=V雨人雨人2+V人地人地2 =90-60= 30即雨點的速度方向為向下偏西即雨點的速度方向為向下偏西30 絕對速度絕對速度=相對速度相對速度+牽連速度牽連速度 (速度變換公式速度變換公式) 由右圖由右圖 |V雨地 雨地|=|V人地人地2|= 36km/h 例：例：打靶問題打靶問題:如圖如圖,當(dāng)子彈由坐標原當(dāng)子彈由坐標原 點出射時點出射時,物體物體(目標目標)開始自由下落開始自由下落.問問 角多大時子彈恰好擊中物體角多大時子彈恰好擊中物體?子彈出子彈出 射速率射速率v0有無限制有無限制?試用運動學(xué)第一類試用運

25、動學(xué)第一類 問題和相對運動兩種解法分別求解問題和相對運動兩種解法分別求解. y x 0 B A v0 解法二：解法二：用相對運動求解用相對運動求解 00 vt gt gvvvv BABA 地地對對對對地地對對 即即A相對于相對于B作勻速直線運動，為擊中作勻速直線運動，為擊中B ，必須使槍，必須使槍 口瞄準靶，即口瞄準靶，即v0指向指向B ， 必須滿足：必須滿足： s H tg H S 本章小結(jié)本章小結(jié) 一、運動函數(shù)一、運動函數(shù) avrr , 位置矢量位置矢量kzjyixr 位移位移 AB rrr 瞬時速度瞬時速度 j dt dy i dt dx dt rd v 加速度加速度 k dt dv j

26、 dt dv i dt dv a z y x k dt zd j dt yd i dt xd 22 2 2 二、運動學(xué)兩類問題二、運動學(xué)兩類問題 tt dtvrrdtavv 00 0 0 dxxavv)(2 2 1 2 2 a v dv dt dv a v dt( ) ( ) )(taa )(vaa )(xaa 角位移：角位移： 角速度：角速度： tt t d d lim 0 角加速度：角加速度： 2 2 0 d d lim dt d tt t Rl )(弧弧長長 Rv Rat 2 2 Rv R v a n )(2 2/ 0 2 0 2 2 00 0 tt t 質(zhì)點作質(zhì)點作勻速或勻變速圓周運動

27、勻速或勻變速圓周運動時時的角速度、角位的角速度、角位 移與角加速度的關(guān)系式為移與角加速度的關(guān)系式為 )(2 2/ 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv 與與勻變速直線運動勻變速直線運動的幾個關(guān)系式的幾個關(guān)系式 五五 相對運動相對運動 Rrr uvv 0 aaa 作業(yè)：作業(yè)： 2.13, 2.17, 2.19，2.25 作業(yè)答案：作業(yè)答案： 2.14 (1) (2) ; (3) 時，時， ； 時，時， 。 (4)當(dāng)當(dāng) t=9s時取時取“=”，最小距離為，最小距離為 （m）。）。 2.23, 2 2 1 19xyj tiv 42 ja 4 0tjr 19 3t jir

28、6 37 22 0 2 0 2 sin2 sin 0 tgtgvv gvtg dt dv at 22 0 2 0 22 sin2 cos 0 tgtgvv gv aaa t n cos 2 0 2 0 g v a v n sin1 cos 2 0 2 g v a v n 作業(yè)答案：作業(yè)答案： 2.26 （1）34（rad） 48（rad/s） 48（rad/s2）。）。 （2）法向加速度）法向加速度23040（m/s) 切向加速度切向加速度480（m/s2）。）。 （3） s。 3 6 1 t 例例如圖所示如圖所示A A、B B兩物體由長為兩物體由長為l l 的剛性細桿相連，的剛性細桿相連，

29、A A、B B兩物體可在光滑軌道上滑行。如物體兩物體可在光滑軌道上滑行。如物體A A以恒定以恒定 速率速率v v向左滑行，當(dāng)向左滑行，當(dāng) 時，時，B B的速度是多少？的速度是多少？ 0 60 i vivv dt dx xa （1 1） 物體物體B B的速度為：的速度為： j dt dy vv yB （2 2） 易知易知 222 lyx 考慮細桿是剛性的，考慮細桿是剛性的， l l為一常量。為一常量。 解解 按圖所選的坐標軸，按圖所選的坐標軸，A A的速度為：的速度為： o ox x y y l l A A B B 022 dt dy y dt dx x j dt dx y x v B y x

30、tanv dt dx , dt dx y x dt dy jvtanvB 0 60 vv B 73.1 o ox x y y l l A A B B 例、例、由樓窗口以水平初速度v0射出一發(fā)子彈，取槍 口為原點，沿v0為x軸，豎直向下為y軸，并取發(fā)射 時t=0.試求： (1)子彈在任一時刻t的位置坐標及軌道方程； (2)子彈在t時刻的速度，切向加速度和法向加速度。 2 0 2 1 gty tvx an a gy xo v0 解：解：(1) 2 0 2 2 1 v gx y (2)gtvvv yx , 0 0 1222 0 22 tan v gt tgvvvv yx 222 0 2 tgv tg

31、 dt dv at 222 0 022 tgv gv aga tn an a gy xo v0 例、例、一質(zhì)點在oxy平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時 間的函數(shù)。已知ax=2, ay=36t2。 設(shè)質(zhì)點t0時r0=0,v0=0。求：(1)此質(zhì)點的運動方程； (2)此質(zhì)點的軌道方程，(3)此質(zhì)點的切向加速度。 解：解： )1( dt dv a dt dv a y y x x dttdvdtdv yx 2 36 2 tv y tv x dttdvdtdv yx 0 2 000 36 2 12 2 3 tvtv yx jti tv 3 122 dt dy v dt dx v yx jtitr ty t

32、x 42 4 2 3 3 所以質(zhì)點的運動方程為：所以質(zhì)點的運動方程為： dttdytdtdx 3 12 2 tytx dttdytdtdx 0 3 000 12 2 42 3 tytx (2)上式中消去上式中消去t,得得y=3x2即為軌道方程?？芍菕佄锞€。即為軌道方程?？芍菕佄锞€。 6222 3 1444 12 2 )3( ttvvv tvtv yx yx 4 4 62 5 361 2162 1444 8648 2 1 t t tt tt dt dv a ：一豎直上拋（ ）的小球，相對固定在地面的 系 ,其運動方程 ；有一沿 x軸以正向勻速 運動的火車 系 ，且當(dāng) 時， 與 重合 ：1、小球?qū)τ?系的運動方程及運