單輝祖材料力學(xué)答案附錄A

1、附錄 A 截面幾何性質(zhì)A-1 試確定圖示截面形心 C 的橫坐標(biāo) yC。題A-1圖(a)解：坐標(biāo)及微面積示如圖A-1a 。圖 A-1adAd d由此得RAydAcos d d2Rsin0yCAR3d d0(b)解：坐標(biāo)及微面積示如圖A-1b 。圖 A-1bdAh( y)dyay n dy1由此得byCA ydA0y ayn dy( n1)bAbndyn20ayA-2 試計(jì)算圖示截面對(duì)水平形心軸z 的慣性矩。題A-2圖(a)解：取微面積如圖A-2 a 所示。圖 A-2adA2zdy由于z acosybsindy bcosd故有I zy2 dA2 ( sin ) 22 coscos d b ab A

2、-2ab3cos4)d ab32 (1442-(b)解：取微面積如圖 A-2b所示。2圖 A-2b2d2dA2 zdycosd且在 與之間變化，而d2sin由此可得I z2(dsin)2d22dydAcosA 22d 4 1 sin2 2dd 4 (1cos4 )d8464A-4 試計(jì)算圖示截面對(duì)水平形心軸z 的慣性矩。題A-4圖解：顯然，bh3d 4a 4R4I z64124124d ( sin 4)324A-5 試計(jì)算圖 a 所示正六邊形截面對(duì)水平形心軸z 的慣性矩。3題A-5圖解：由圖b 可以看出，ba ,h3a22所以， ADB 對(duì) z 軸的慣性矩為23bh3bhbh 31 a3a3a

3、4hI z,t231212 226436中部矩形截面對(duì)z 軸的的慣性矩為a(2h) 333a 4I z,ra23a121224于是得整個(gè)六邊形截面對(duì)z 軸的慣性矩為I z 4I z,tI z,r43a43a 453a 464416A-6試計(jì)算圖示截面對(duì)水平形心軸z 的慣性矩。題A-6圖解：由截面關(guān)于z 軸的對(duì)稱性可得I za4() 41)4 a a4 ( a121212A-7 試計(jì)算圖 a 所示截面對(duì)坐標(biāo)軸y 的慣性矩。4題A-7圖解：如圖 b 所示，在橫坐標(biāo)y 處，取寬為dy、高為 z 的狹長(zhǎng)矩形為微面積，它對(duì)坐標(biāo)軸y的慣性矩為dI yz3dyayn 3dy a3 y3ndy333由此得a3

4、by 3ndybh3I y1)303( 3nA-8 圖示曲邊三角形EFG ，z 軸為平行于 EF 邊的形心軸，試計(jì)算該截面對(duì)z 軸的慣性矩。題A-8圖解：曲邊三角形的面積A ，可視為為正方形面積A1 與 1 圓面積 A2 之差（見圖A-8 ），即4圖 A-8A A1 A2 4 R2 4由圖可知，A1 及 A2 的形心位置（豎向）依次為5yC1R， yC24R23由A1yC 1AyCA2 yC2可得 A 的形心位置為yCA1 yC1 A2 yC 22AR3(4 )曲邊三角形截面對(duì)z0 軸的慣性矩為I z0(1)( 2)14 416 3 4I z0I z03RR48R16于是得I zI zAyC2

5、16 3R4 ( 4 R2 )(2R)204841233(16 3)(4)16R47.55 10 3 R4144(4)A-9 試計(jì)算圖示截面對(duì)水平形心軸z 的慣性矩。題A-9圖(a)解： 1. 確定形心位置（到頂邊之距為yC ）yC0.3500.1000.0502( 0.4000.050 0.300) m0.1833m0.3500.1002( 0.4000.050)2計(jì)算慣性矩I z 0.350 0.10030.3500.100( 0.1833 0.050) 2122 0.050 0.40030.050 0.400 (0.3000.1833) 2 m 4121.72910 3 m 41.729

6、109 mm4(b)解：根據(jù)教材附錄C 第 4行的公式，可直接計(jì)算慣性矩，I zh3 (a 24ab b2 )0.2503(0.10024 0.1000.3000.3002 ) m 436(a b)36( 0.100 0.300)2.39 10 4 m 42.39 108 mm46(c)解： 1.確定形心位置（到大圓水平直徑之距為yC ）0 0.30020.100yC4m0.0333m(0.60020.3002 )4結(jié)果為負(fù)值，表示形心 C 在大圓水平直徑上方。2計(jì)算慣性矩I z 0.6004 0.60022 0.3004 0.3002240.03336440.1333 m6445.02 10

7、 3 m4 5.02 109 mm 4A-10 試證明下列截面的形心軸均為主形心軸，且截面對(duì)這些主形心軸的慣性矩均相同。題 A-10 圖(a)與 (b) 解：1用解析法證明沿水平與鉛垂方位建立直角坐標(biāo)系Cyz，顯然有I yI z(a)I yz0將坐標(biāo)轉(zhuǎn)任意角，得坐標(biāo)系 Cuv，由于I yI zI yzcos2 0I uvsin22I uI y I z I yI zI y I zI v2cos2I yzsin222考慮到式（ a），從而有I uI vI yI z由此得出結(jié)論，截面的形心軸均為主形心軸，且截面對(duì)這些主形心軸的慣性矩均相同。2用幾何法證明以 I y 為橫坐標(biāo)，以 I yz 為縱坐標(biāo)，

8、畫慣性圓，是一個(gè)落在橫坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圓。欲證的結(jié)論一目了然。7(c)解：設(shè)等邊三角形的邊寬為a，高為 h，則3a3ah3a3a4I z2363696h a 3h a23a4I z 222a362696由此得，I yI z還可知，I yz0可見，情況與題（a）及（ b）相同，故結(jié)論亦同。A-11 試計(jì)算圖 a 所示矩形截面對(duì) AA 軸的慣性矩。題 A-11 圖解：選坐標(biāo)系如圖b 所示，得I y3a(2a)38a 43I z2a(3a) 318a43I yz 0 (2a 3a)3a(a) 9a42sin2 ,cos31313從而有cos25 ,sin2121313根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，8II yI zI y

9、I z cos2I sin2AA22yzI yI zI yI zcos2I yzsin222將相關(guān)表達(dá)式代入上式，得I AA8a 4 18a 48a 4 18a 43( 9a4 ) 1236a422151313A-12 圖示矩形截面，試確定A 點(diǎn)的主軸方位及截面對(duì)該主軸的慣性矩。題 A-12 圖解：坐標(biāo)取如圖A-12 ，并設(shè)邊長(zhǎng) b20mm ， h 30mm ，于是有I yhb3bh(b)2(130.020 0.030 0.0102)m48.00 108m41220.030 0.02012I zbh3bh( h) 2( 10.0200.03030.020 0.030 0.0152 )m41.8

10、00 10 7 m 412212I yz (bh)( b )(h )b2h 21( 0.020) 2 (0.030) 2 m 49.00 10 8 m 42244圖 A-12依據(jù)主軸方位與主慣性矩公式，得92 arctan2(0.900 10 8 )60.945 ， 30.471.80010 78.0010 8I y 8.0010 81.80010 78.0010 81.80010 7cos( 60.945 )22( 9.0010 8 )sin(60.945 )m 42.7010 8 m42.70104 mm4I z8.0010 81.80010 78.0010 81.80010 722cos

11、( 60.945 )( 9.00 10 8 )sin(60.945 )m 42.33 10 7 m 42.33 105 mm 4A-13 試求圖示各截面的主形心軸位置及主形心慣性矩。題 A-13 圖(a) 解：坐標(biāo)示如圖 A-13a ， C 為截面形心。圖 A-13a10yC(8010 4050 10 5) 10 3 m26.54 10 3 m80 1050 10z( 7010 560 10 30) 10 3 m16.54 10 3 mC70 1060 10I z10 80380 10 (4026.54) 250 10350 101212( 26.545) 2 10 12 m 48.078 1

12、0 7 m 4I y10 6012360 10 (3016.54) 270 10370 1012(16.545) 2 10 12 m 4 3.878 10 7 m 4I yz 80 10(26.54 40)(5 16.54) 50 10 (26.54 5)(105016.54) 10 12 m 4 3.231 10 7 m 42由tan223.2311071.5393.878)10 7(8.078得2 56.98 ， 28.4928.5最后得到I y( 3.8788.078) 10 7( 3.878 8.078) 10 72cos56.98I z23.23110 7 sin56.98 m 4I y 2.13 10 7 m 42.13 105 mm 4， I z9.83 10 7 m 4 9.83 105 mm4(b) 解：坐標(biāo)示如圖A-13 b ，有圖 A-13b11I z0.0300.0403m 41.600107 m 412I y 0.0400.0103 0.0400.020310.040 0.02012362(0.0050.020)2 2m 41.30010 7 m 43I yz 10.0400.020(0.0200.040 )( 0.0050.020) 2m 42336.22 10 8 m 4