自主招生精彩試題中常用地四種恒等變形

1、自主招生試題中常用的四種恒等變形兼論恒等變形在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)地位東陽市順風(fēng)高級中學(xué)蔣元虎浙江省 東陽中學(xué)吳國建(322100)數(shù)學(xué)是運算的科學(xué)，而運算的核心是恒等變形從某種意義上講，數(shù)學(xué)問題的解決其本質(zhì)就 是通過恒等變形進行化簡直至結(jié)論的過程與高考相比，自主招生考試在數(shù)學(xué)思維與能力上提出 了更高的要求，這種要求體現(xiàn)在運算上，首先知識面要求更寬，除常規(guī)的因式分解、配方換元、 待定系數(shù)等，還要求考生掌握對稱變換、裂項相消等變形方式；其次恒等變形的難度進一步加大， 方法與技巧的要求更高，如三次方程的韋達定理，結(jié)合表達式的對稱性進行均值換元、通過裂項 相消進行恒等變形不等放縮等本文擬結(jié)合近年名校

2、自主招生試題，闡述較高要求的四種恒等變 形方法與技巧，進而體現(xiàn)恒等變形在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性地位.一、基于函數(shù)方程的恒等變形自主招生中的函數(shù)方程問題，主要功能涉及一元二次、三次方程，這類問題的求解離不開恒 等變形，主要包括因式分解、判別式與韋達定理、求根公式，以及一些常見的恒等變換技巧.xy = 2x + y _1例1 (2007年北京大學(xué)自主招生試題)解方程組 yz=2x+3y-8zx = 4z + 3x -8(x-1)(y -2)=1(1)解：由原方程組得(y _2)(z _3)二2(2)(z-3)(x-4)=4則(1) 得：(x 1)(x -4) = -2(2)解得 *=2或 x=3，

3、代入可得(x,y,z) =(2,3,1)或(3,5,1)2注：本題中的常數(shù)可以自由湊配，但要確保每個方程含未知元部分恰好成為兩個一次因式的 積，再通過觀察三個方程，進行消元變換即可.例2 (2008年上海交通大學(xué)自主招生試題)已知函數(shù)f (x) = ax2 bx c(a = 0)，且f (x) = x沒有實數(shù)根，試判斷 f f(x) = x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論.解：沒有.f (x) - x = ax2 (b -1)x c = 0 無實數(shù)根，2:=(b1) 4ac ： 0;考察 f f(x) X =0,即 a(ax2 bx c) b(ax2 bx c) c - x = 02 2 2 2

4、2a(axbx c) -axaxb(ax bx c)cx = 02 2 2 2a (axbx c-x)(axbxc x) (b 1)ax(b -1)x c(b -1) = 02 2 2aax(b -1)x c -xax(b 1)x c (b1)ax (b -1)x c = 0ax (b -1)x c a x a(b 1)x ac b 1 = 0于是有 ax2 (b -1)x c = 0或 a2x2 a(b 1)x ac b 1 = 02 2 2 2 2 2 2* = (b -1) -4ac :：: 0; ：2 = a (b 1) - 4a (ac b 1) = a (b -1) - 4ac -

5、 4 ： 4a : 0 故均不存在實數(shù)根，從而ff(x) =x不存在實數(shù)根.注：本題著重于考查學(xué)生的連續(xù)化簡能力由于f(x)=x的根一定是ff(x)=x的根，再考慮到本題的結(jié)論，可以得出：若f (xH ax2 bx c(- 0)，則f (x) =x有根的充要條件是ff(x) =x有要根，當(dāng)然，f f (x)Hx的根未必都是f(x) =x的根，因此 閱 f (x) = x 疋 x f f (x) = x.二、基于待定系數(shù)的恒等變形自主招生試題往往難度較大，運算要求高待定系數(shù)法作為一種常用的恒等變形方法，常適 用于因式分解比較困難的多項式，表面上看似增加了許多未知數(shù)，但運算往往會比較巧妙，多給 人

6、以“柳暗花明又一村”之感.例3. (2006年上海交通大學(xué)自主招生試題)若有函數(shù) f (x, ya(x)b(y) c(x)d(y)，其中a(x),c(x)為關(guān)于x的多項式，b(y),d(y)為關(guān)于y的多項式，則稱f (x,y)為P類函數(shù).判斷下 列函數(shù)是否是 P類函數(shù)，并說明理由：(1) 1 xy ; (2) 1 xy x2y2.解：(1) 1 xy -1 1 x y，其中 a(x) = 1,c(x) =x, b(y) =1,d(y) = y，故 1 xy 是 P 類函數(shù).2 2 2 2(2) 1 xy x y不是P類函數(shù)理由如下：若 1 xy x y是P類函數(shù)，那么a(x), c(x), b

7、(y),d(y)的最高次數(shù)不應(yīng)該超過 2次，否則a(x),b(y)與c(x), d(y)乘積中次數(shù)高于2次的對應(yīng)項系數(shù)之和為零，從而得知：a(x),c(x)的對應(yīng)項系數(shù)成比例(或者是b(y), d(y)的對應(yīng)項系數(shù)成2 2比例)這樣，1 xy x y =p(x)q(y)，而這是不可能的，故可知 a(x),c(x) , b(y), d(y)的 次數(shù)均不超過2次.2 2 2 2 2 2設(shè) 1 xy x y (axa2xa3)(dxb2xb3)(C|Xc2xc3)(d1x d2xd3)，展開后，由對應(yīng)項的系數(shù)相等可得：a1b1 c1d1=1a2b2c2d2= 1a3b1c3d1a1b2 c1d2=0

8、;a2b1c2dr=0;a3b2c3d2 =0Ja1b3 c1d 3- 0J a2b3 c2d3= 0J a3b3c3d -0所以b1,b2,b3與d1,d2,d3對應(yīng)成比例，這樣就有1 xy x2y2 = (x2 e2x e3)( f1x2f2x f3)1 f 1 1 e1 f 0于是有e2f2 =1；fe2f3 =0 e f3 1 6 f 0因為當(dāng)e1f2=0時，8=0或f2= 0 ,這和e1h= 1,e2 f2=1相矛盾，從而1 xyx2y2不是P類函數(shù).注：在對1 xy x2y2是否為P類函數(shù)的判斷中，兩次采用了反證法但在每一次反證法的 運用中，待定系數(shù)、恒等變形是主要的過程.例4.

9、(2010年清華大大學(xué)等五校聯(lián)考試題)3日2+甘_2設(shè)二是三次多項式 f(x)二x -3x 10的一個根，且，若h(x)是一個有理系2數(shù)的二次多項式，滿足條件h)- v，求h(x).2 日 2+日_282+0_2解：設(shè) h(x) = px qx r，則由得：p()2 q()0，整理2 2得：pv4 2p3 (2q-3p)2 (2q_4p4) 丁 (4 p _4q 4r) = 0因為有理系數(shù)多項式p J 2p J (2q -3p) J (2q -4p -4)v (4p -4q 4r)= (pr 2p)(r3 一3二 10)2qJ (2q 8p - 4尸-(16p 4q 4r)因為 p,q,r Q

10、，所以 2q J (2q 8p 一4乃-(16 p - 4q_4r)不是二3 一3二-10 的因式(證明略)而 n 同時是 pv42 p v3(2q3p)v2(2q4p4)r (4p4q 4r)=0 和J -3r 10 的根，所以 2qr2(2q 8p 一4乃-(16 p 4q 4r)恒等于 0,故 2q =2q_8p_4=16p 4q_4r = 0，1 1 2解得 p , q = 0, r = -2，即 h(x) x2 .2 23 t注：原題求h(0)，為選擇題.x -3x10=：0沒有有理根，可用反證法證明：若有理數(shù)(t,sst3 t不可約)是該方程的根，則-y +10 =0t3 =3ts

11、2 10s3, st3，由于t,s不可約，二s = 1.于 s s是這個方程的有理根必定是整數(shù)根，二t3 -3t十10 =0,二t10，而t= 1,2,5都不可能是這個方程的根，于是矛盾就產(chǎn)生了. 該方程沒有有理根，于是3x -3x 70 =(x-xj(x-X2)(x-X3)(X1,X2,X3是它的三個非有理根，且可能有復(fù)根)，若有理系數(shù)的二次多項式是它的一個因式，則它們相除的商就是一個有理系數(shù)的一項式，與這個方程有有理根相矛盾了，因此任何有理系數(shù)的二次三項式都不會是二3 -3二10的因式.三、基于裂項相消的恒等變形基于裂項相消的恒等變形(或變形后放縮、或放縮后變形)是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是高

12、中數(shù)學(xué)的基本功，特別是在數(shù)列的通項與求和中應(yīng)用十分廣泛，高校自主招生也十分關(guān)注這一基本的恒等變形方式，在自主招生試題中出現(xiàn)了許多運用裂項相消變形的問題.追溯運用裂項相消的思1 1 1維源泉，應(yīng)當(dāng)是一道簡單的求值問題：=?.運用裂項相消實現(xiàn)恒等12 2況399100變形的關(guān)鍵在于能否將數(shù)列通項an等價變換為A f( n) - f( n 1)或A f( n) - f (n k)的形式，這種等價變換有時也可運用待定系數(shù)法實現(xiàn).例5. （2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生）求證:13,23,33n3解：試用裂項相消法解這道題，即希望有aj乞A .f（j） 一 f（j 1）的形式（對j _ 2的自然數(shù)），注意到

13、2j = j j j(j-1).,(j-1)(j-1)0，于是丄一12j ,j -1，從而j j1L 2L j j-111=2（達到預(yù)期目的），.j -1、j則不等式左邊n:1 21 一=3- 2 3j 總,j -1. jn注：巧妙運用放縮法達到裂項相消的效果，從而將含n項的式子的運算變成有限項的運算,整個運算過程充分體現(xiàn)了“恒等變形、不等放縮”例6. （2010年清華大學(xué)等五校聯(lián)考試題）設(shè)p,q是一兀二次方程x2 2ax 1 = 0 （a 0）的兩個根，其中p 0，令2小y1 = p -q，yn 1 =yn -2，n =1,2,，證明:1 1 lim (- n_.+y1y1y2解：由p 0得

14、-2a . 4a24p =2二 a 1 _ a =寸a2十1:.1，即 0 ： p : 1 .a由根與系數(shù)關(guān)系,得 pq =1，所以q1，所以 y1 = P - qp所以八2十*）2-2“，yr26(p2,)2sp4p21y11 p2 y21 p4 y38，由數(shù)學(xué)歸納法得11 p82pyn1p21 1 1所以1y2yn3L p - 1 p2(1 p2)(1p4)(1 PM P4)(1P8)+(1 P2)(1 P4)(1 PS24P2241 P (1 P )(1 P)*248(1 P )(1 P )(1 P )2nP+(1p2)(1p4)(1 p2)1=(1 -p1 1 11 p2)(1 p2)

15、(1 一1 p4)1(1 P2)(1 P4)(11+(1 + p2)(1 + p4)-(1+p2) )1 1 r12242n 丄2n 1(1 -P2)(1 P2)(1 P4)(1 P2 )(1P2 ) P-P2 2n + J1 - P由于0 ： p : 1，故 lim p2= 0 ,n_所以211111 - plim()=lim 1尹i %yyy“n“ p 1 - p2=p2 n 1注：由遞推關(guān)系yn1=yn -2求通項公式y(tǒng)n沒有其他好辦法，在求的過程中,日y2yi運用了“裂項求和法”，它是問題獲解的關(guān)鍵.四、基于對稱換元的恒等變形對稱性是圖像或表達式作一定的變換后而保持不變的一種性質(zhì)如果我

16、們在解題中能發(fā)現(xiàn)并 充分運用這種性質(zhì)，能提供解題思路并簡化整個運算特別是在恒等變形過程中，可以充分運用 對稱性進行假設(shè)，實行對稱變換.(2009年清華大學(xué)自主招生)已知x, y R，且 x，y=1，證明：x yn11設(shè) x, y(22111：)n (-：)n =e)n2221 1或 x, y =2 2-C：(丄)2： ：9：(丄)乞2丁2 2),其中-0，于是-4(丄)& +擴(丄)2口2 -+C：Dn =2(1)n +C；()2a2 +C：()nF4 +2 2 2 2 2 -2(2)n文案大全注：這種對稱變換又稱均值代換，可以達到減少變量的目的，在多元不等式證明中運用效果尤其明顯.例8. (

17、2008年北京大學(xué)自主招生)已知 a1a2a b1b2b3, a1a2a2a3a3a b1b2b2b3b3b1，若min a, a2, a3 / _ min 匕,b2 ,b3f，求證: max a,a2, a3 / _ maxb ,b2,b3 /解：注意到a, ,bj在問題中的對稱性，不妨令ai 一 a? 一 a3,d 一 b2 _ b3 ,于是m i na1, a2, a _ m i nb1,b2, b?轉(zhuǎn)化為a3豈b3，證明目標(biāo)轉(zhuǎn)化為 ai b .下面用分析法證明：令 a1 a2 a3 = b1 b2 b3 = c , aj = c 、“, a2 二 m -、2,d = n “，b2 二

18、n - j 2于是a3二c 2m,b3二c2 n .當(dāng)m_n時(若m二n，命題顯然成立，下面只考慮m n的情況)，則只要證明m+d蘭n+62二mn蘭2-二一 工1.m n將 a1a2a2a3a3a-i= b1b2b2b3b3b1 變?yōu)?a1a2(a1a2)b3=db2(b1b2)b3，再把.3(m 亠 n) _ 2cabj(i,j =1,2,3)的表達式化簡，得 丄1(若- 2=0，則顯然可證，略)，m n 6 + 列于是只要證 3(m n) 2c 一1二 3(m n) -2c 一、2、i .因為 m n =aib2,2c = a1a2 = db2b3,、= 勺 亞，、2 二b2,即只要2 2

19、 2a2 b2 -a3 b3，由前面的假設(shè)知這是顯然成立的，于是要證的命題成立.注：求解本題時充分利用了問題中字母的對稱性，先對問題附加假設(shè)條件，以添加結(jié)論的形式得以化簡(完成了將抽象的數(shù)學(xué)符號配套化的過程)，接著再進一步利用增量代換的思想，用分析法證得結(jié)論，每一步的證明過程也是一個恒等變形的過程.練習(xí)：1已知a,b為非負數(shù)，M二a4 b4,a b =1，求M的最值.2.已知akk +2k! (k 1)! (k 2)!，求數(shù)列:an 前100項之和.323. x ax bx，c=0的三根分別為a,b, c，并且a,b,c為不全為零的有理數(shù)，求a,b,c .4. (a b)2 3a 2b = (

20、c d)2 3c 2d (*),證明：(1) a 二 c,b 二 d 的充要條件是a b = c d ； (2)若a, b, c, d N *，則(*)式成立的充要條件是解答：1111設(shè)at,bt(0空t )，代入得22244141423221M(t)二a b =( t) ( t) = 2(t) -1，而 0 Et .4 411故 Mmin 二 M(0) =；,Mmax 二 M()84k+2k+212. ak= 一k!+(k +1)!+(k +2)!k!1 +(k +1) +(k +1)(k + 2)2(k+2)，k!1(k 2)!，故 S1001102!(k 2) -11 r 12(k 2)! _2(k 1)!323 . 由 題 意 可 設(shè) x ax bx c = (x - a)(x - b)(x - c) , 則a = -(a b c)x3 +ax2 +bx +c = x3 -(a +b +c)x2 + (ab +bc +ca)x - a ,b從而 * b = ab +bc + cac= -abc由 c = -abc得 c =0或 ab 1=0a = a 一 b若c=0 ,則.當(dāng)b = 0時，a = 0與條件不符，故