《近世代數(shù)》模擬試題2及答案

1、近世代數(shù)模擬試題 一、單項選擇題(每題5分，共25分) 1、在整數(shù)加群(Z，+ )中，下列那個是單位元()。 A 0B 1C -1D 1/n, n 是整數(shù) 2、下列說法不正確的是()。 A G只包含一個元g,乘法是gg= g。G對這個乘法來說作成一個群 B G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群 C G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群 D G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群 3、下列敘述正確的是()。 A 群G是指一個集合 B環(huán)R是指一個集合 C 群G是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結(jié)合律，并且單位元， 逆元存在 D 環(huán)R是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，

2、滿足結(jié)合律，并且單位元， 逆元存在 4、 如果集合M的一個關(guān)系是等價關(guān)系，則 不一定具備的是()。 A 反身性 B 對稱性 C 傳遞性 D封閉性 5、下列哪個不是 S3的共軛類()。 A (1) B (123)，(132)，(23) C (123)， (132) D (12)，(13)，(23) 二、計算題(每題10分，共30分) 1. 求S= (12)，(13) 在三次對稱群S3的正規(guī)化子和中心化子 2設(shè)G = 1 , - 1, i, - i，關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個群，求各 個元素的階。 3設(shè)R是由一切形如0,0（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，求 出其右零因子 、證明題（每小題15分，共4

3、5分） x 0 1、設(shè)R是由一切形如（x, y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，證 y,0 0,0 明是其零因子。 0,0 2、設(shè)Z是整數(shù)集，規(guī)定a b = a+ b 3。證明：Z對此代數(shù)運算 作成一個群，并指出其單位元 3、證明由整數(shù)集Z和普通加法構(gòu)成的（乙+）是無限階循環(huán)群 近世代數(shù)模擬試題答案 、單項選擇題（每題5分，共25分） 1. A 2. D 3. C 4. D 5. B 、計算題（每題10分，共30分） 1 .解：正規(guī)化子 N （ S）= （ 1 ） , （ 23） oooooooooooo （ 6 分） （4分） 中心化子 C （ S）= （ 1 ） ooooooooooooooooo

4、2. 解：群G中的單位元是 1 o o o o oo o o o o ooo o o ooo oooo oo （2分） 1的階是1, 1的階是2, i和一i的階是4ooo （4X 2分） 3.解：設(shè)其右零因子為 a,b 0,0 ooooooooooooooooooooooo （2分） 所以0,； a,b 0,0 xa, xb 0 o o o o o o o o o o oooo 因為x任意，所以 0,0 a = b = 0o oooooooooooooooo ooo （3分） （3分） 因此右零因子為 0,0 o o o o o o o o ooooooooooooo ooo 0,0 （2分）

5、 三、證明題（每小題15分共45分） 1證明：設(shè)其右零因子為a,0 b,0 o oooooooooooo o o o o o o oooo （2分） 所以 x,0 a,0 xa,0 y,0 b,0 yb,0 （5分） 因為x, y任意，所以a= b= 0。 （8 分） 同理設(shè)其右零因子為 a,0 ooooooooo 所以 a,0 x,0 b,0y,0 b,0 xa,0 yb,0 0 ooo o 因為x, y任意，所以a= b= 0。“ 因此零因子為 0,0 o o o o o o o o o o ooooooooooooo （10 分） （12 分） （14 分） 0,0 。（15 分） 2明

6、：首先該代數(shù)運算封閉 o （ 3 分） 其次我們有：（a b） c =（ a+ b 3） c=（ a+ b 3） + c 3= a+ （b+ c 3） 3）= a （b c）,結(jié)合律成 （6分） 立 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 令e = 3,驗證a e = a+ e 3= a,有單位兀。（7分） 對任意元素a, 6 a是其逆元，因為 a （6 a）= 3。（8分） 因此，Z對該運算作成一個群。 顯然，單位元是 e 3 ooooooooooo o o （10 分） 3證明：首先證明（Z,+）是群，+滿足結(jié)合律，對任意的 x Z , x 0 0 x x , 0是運算+的單位元 又由于： x x x x 0 所以x 1 x,從而（Z,+）為群。oooooooo （ 2分） 由于 滿足交換律，所以（乙+）是交換群oooo （4分） （乙+）的單位元為0, 對于 1 Z，由于 1+ （-1 ） =0,所以 1 11 ,。（5 分） 于是對任意k Z , 0,則:10 1 k ooooooooooo ( 8 分) 0,則 1k 0，則 1k 1) (1) 1) 1)( k) 從而（Z