5、用十字相乘法把二次三項式分解因式

1、5、用十字相乘法把二次三項式分解因式【知識精讀】對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式2x （a b）x a ix a x b進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的 兩個數(shù)，即把常數(shù)項分解成兩個數(shù)的積，且其和等于一次項系數(shù)。對于二次三項ax2 bx c（ a、b、c都是整數(shù)，且a = 0）來說，如果存在四個整數(shù)ai，&，a2， C2滿足引丟二a, qc?二c，并且ac a? =b，那么二次三項式2 2ax bx c即 azx - a! - a? x - qq可以分解為 a - & a2x - c2。這里要確定四個常數(shù)a, q，a2，c2，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1

2、的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?. 在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：2x -11x 240，求x的取值范圍。分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。解：x2 -11x 24 0.x -3 x -80x -30 或 x - 3 ： 0x80 X -8 ： 0x 8 或 x ： 3例2.如果x4 -x3 - mx2 -2mx-2能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個多項式分解因式。分析：應(yīng)當(dāng)把x4分成x2 x2，而對于常數(shù)項-2，可能分解成 -12，或者分解成-21，由此分為兩種情

3、況進(jìn)行討論。2 2解：（1）設(shè)原式分解為 x ax-1 x bx 2，其中a、b為整數(shù)，去括號，得：x4 亠 ia b x3 x2 亠 i2a - b x - 2將它與原式的各項系數(shù)進(jìn)行對比，得:a b 二 -1, m 二 1, 2a -b 二-2m解得：a 二-1, b 二 0, m 二1此時，原式二x2 2 x2 -x -12 2(2)設(shè)原式分解為 x CX -2 x dx 1 ,其中c、d為整數(shù)，去括號，得：432x 亠 i c d x - x 亠 i c - 2d x - 2將它與原式的各項系數(shù)進(jìn)行對比，得：c d = -1, m = -1， c -2d = -2m解得：c=0， d=

4、-1，m = -12 2此時，原式二x -2 x - x 12. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長方形的長、寬為 x、y,周長為16cm，且滿足2 2x-y-x ，2xy-y ，2=0，求長方形的面積。分析：要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。2 2解： x -y _x2xy -y 2=022x -2xy y- y -2=02(X -y) - x - y -2 =0x-y-2x-y1=0x-y-2=0 或 x-y1=0又 x y = 8丄x - y -2 = 0 工x - y 1 = 0二或X y = 8X y = 8x = 5 x = 35解得：或y=3 ly = 4.5長方

5、形的面積為 15cm2或 一 cm243、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例.證明：若4x-y是7的倍數(shù)，其中x, y都是整數(shù)，則8x2,10xy-3y2是49的倍數(shù)。分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成 49與一個整數(shù)的乘積的形式。2 2證明一：8x 10xy -3y = 2x 3y 4x -y2 2x 3y = 4x 6y = 4x - y 7y 4x - y是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 2 2x 3y是7的倍數(shù)而2與7互質(zhì)，因此，2x 3y是7的倍數(shù)，所以8x2 T0xy-3y2是49的倍數(shù)。證明二：T 4x - y是7的倍數(shù)，設(shè)4x-y=7m （m是整數(shù)）貝y y = 4x -

6、7m2 2又8x10xy -3y = 2x 3y 4x -y2x 12x-21m 4x-4x 7m =7m14x21m =49m2x-3m/x, m是整數(shù)， m 2x -3m也是整數(shù) 所以，8x2,10xy-3y2是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥4 2 2 2 2例1.把4x y -5x y -9y分解因式的結(jié)果是 ?！?22 22解：4x y -5x y -9y=y2 4x4 _5x2 _ 9=y2 4x2 -9 x21二y2 x21 2x 3 2x -3說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例2.因式分解：6x2 7x5=解：6x2 -7x - 5 = 2x 1 3

7、x -5說明：分解系數(shù)時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。5、題型展示2 2例1.若x - y mx 56能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（）A. 1 B. -1C. -1D. 222，衛(wèi)解：x - y mx 5y _ 6 = x y x - y mx 5y _ 6由（1可得：m = 1，由（1）可得：m = -1故選擇C。說明：對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積, 再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 a-c =4b-a c-b。求證：a - b = b - c2證明：=(ac) =4b_a

8、(c_b)a-c? -4 b-a cb =0a22ac c24bc 4ac4ab 4b2 = 022a c -4b a c i 亠4b =02(a +c-2b) =0a c -2b =0a _b =b _c說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若x3 5x2 7x a有一因式x 1。求a,并將原式因式分解。解：；x3 5x2 7x - a有一因式 x 132當(dāng) x 1=0,即卩 x = 1 時，x 5x 7x a=0a = 3x3 5x2 7x 33 2 2=x x 4x 4x 3x 3=x x 11亠 4x x 1 i 亠 3 x 1=x 1 x 4x3=x 1 x 1 x 3=

9、x 1 2 x 3說明：由條件知， x二-1時多項式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個因式是x 1，分解時盡量出現(xiàn) x 1，從而分解徹底?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 分解因式：2 2(1) a b 16ab 39nn n，：1, 2n 2(2) 15x 7x y-4y2 25. 已知：x y = 05，x 3y = 12，求 3x 12 xy 9y 的值。2(3) x2 3x -22 x2 3x 722. 在多項式 x+1, x +2, x+3, X2 +2x3, X2 +2x1, x2 +2x+3，哪些是多項2422式 x2 2x -10 x2 2x - 9 的因式？323. 已知多項式2x -x

10、 - 13x - k有一個因式，求 k的值，并把原式分解因式。2 24. 分解因式：3x - 5xy -2y x 94【試題答案】1.2(1)解：原式=(ab) +16ab + 39 =(ab+ 3ab+ 13)(2) 解:原式=(3x“ _ yn* 5xn +4yn_h)2 2(3) 解：原式二 x 3x4 x 3x18 二 x 4 x1 x 6x32.解:+ 2x( 10(x2 +2x(=如2 +2x( _9 収 +2x( _1=x2 2x 3 x2 2x -3 x2 2x 1 x2 2x -12 2 2= (x2 +2x+3)x+3j(x_1 x+1) (X2 +2x_1)22其中 x

11、1, x 3, x 2x 3, x 2x -1 是多項式2422x2 2x -10 x2 2x - 9 的因式。說明：先正確分解，再判斷。3.解：設(shè) 2x3 - x2 -13x k = 2x 1 x2 ax b則 2x3 -x2 -13x k 二 2x3 2a 1 x2 a 2b x b”2a +1 = -1二a + 2b = -13b = ka = -1解得：丿b = -6* = -6k = -6且2x3 -x2-13x-6 = 2x-1 x2-x-6 二 2x-1 x-3 x 2 說明：待定系數(shù)法是處理多項式問題的一個重要辦法，所給多項式是三次式， 已知有個一次因式，則另一個因式為二次式，由多項式乘法法則可知其二次項系數(shù)為1。4.解：簡析：由于項數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。設(shè)3x2 5xy _2y2 x 9y_4二 3x _ y m x 2y n二 3x2 5xy _2y2 亠 i m 3n x 2m