閱讀與思考對數(shù)的發(fā)明(二)

1、十七世紀(jì)的常用對數(shù)表是怎么算出來的前不久，在網(wǎng)上看到了金澤長街小牛先生的博文回到十七世紀(jì)，讓我來編算一本常用對數(shù)表，受益匪淺。在我上中學(xué)時，也曾對數(shù)學(xué)用表中的對數(shù)和三 角函數(shù)值是怎么算出來的感到好奇，但始終不得其解。中學(xué)時學(xué)的是四位對數(shù)表， 后來也見到過八位對數(shù)表和十位對數(shù)表，但看不懂，不會用。讀過小牛先生的文章后，不僅知道了對數(shù)表是怎么算出來的，也豁然明白八位對數(shù)表是怎么回事了。 受小牛先生博文啟發(fā)，我也想到了一種更為簡單精確的計算常用對數(shù)表的方法， 不用手算開高次方，只需加減乘除開平方，就可以編制出常用對數(shù)表，這里介紹 出來，與大家分享。第一步、計算第一組基礎(chǔ)對數(shù)這組基礎(chǔ)的對數(shù)值是：1/2

2、, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024, 1/2048, 1/4096, 1/8192 共 13 個。計算的方法很簡單，就是不斷開平方。在常用對數(shù)里，10的對數(shù)是1,把10開平方就得到對數(shù)1/2的真數(shù)值，即，10,把計算結(jié)果再開平方就得到對數(shù) 1/4的真數(shù)值，把計算結(jié)果再開平方就得到對數(shù)1/8的真數(shù)值，一直進行下去， 等開到1/8192就可以了。有這13個基礎(chǔ)對數(shù)值，算8位對數(shù)表就夠了，如果想 要更精確的對數(shù)表，可以再多算幾個基礎(chǔ)對數(shù)，這里就不討論了。開平方是簡單的運算，列豎式就可以開出來，開12位有效數(shù)字一般不會超過

3、半小時，計算這13個基礎(chǔ)對數(shù)一個人幾小時就可以完成。有了這組基礎(chǔ)對數(shù)，就可以通過把若干個基礎(chǔ)對數(shù)相加的方式，計算出從1/8192, 2/8192, 3/8192,到8191/8192的任何一個對數(shù)，這8191個對數(shù)在01之間均勻分布。第二步、計算第二組基礎(chǔ)對數(shù)這第二組基礎(chǔ)的對數(shù)值是：0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001, 0.0005, 0.0001共八個。0.5即1/2,在第一組基礎(chǔ)對數(shù)中就有；0.1=819.2/8192,介于819/8192與820/8192之間，其中819/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+2/

4、8192+1/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192對數(shù)相加，真數(shù)需相乘，將式中這6個基礎(chǔ)對數(shù)對應(yīng)的真數(shù)值相乘就可以得 到819/8192的真數(shù)值。820/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+4/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/2048將式中這5個基礎(chǔ)對數(shù)對應(yīng)的真數(shù)值相乘就可以得到820/8192的真數(shù)值。819/8192與820/8192之間的間距僅有1/8192,非常小，可以近似當(dāng)成直線 處理，在算出對數(shù)819/8192和820/8192的真數(shù)值后，通過“線性內(nèi)插法”就可 以算

5、出對數(shù)819.2/8192即0.1對應(yīng)的真數(shù)值。如擔(dān)心多次相乘以及做線性內(nèi)插時 導(dǎo)致誤差積累增大，可以把對數(shù) 0.1的真數(shù)值累乘計算5次方，看與對數(shù)0.5的 真數(shù)值誤差有多少，然后用開方公式做修正，消除誤差。由于這樣的計算本身已 經(jīng)很精確，誤差修正的工作不會太費事。得到又t數(shù)0.1的真數(shù)值后，將之開平方就得到對數(shù) 0.05的真數(shù)值。然后，0.01=81.92/8192,分別計算出對數(shù)81/8192和82/8192的真數(shù)值，再 用“線性內(nèi)插法”計算出對數(shù) 0.01的真數(shù)值，當(dāng)然，也要做誤差修正。同樣的方法，可以計算出對數(shù) 0.005, 0.001, 0.0005, 0.0001的真數(shù)值。這一組8

6、個對數(shù)務(wù)必要準(zhǔn)確，在算出這一組8個基礎(chǔ)對數(shù)之后，就可以計算 編制反對數(shù)表了。第三步、計算編制反對數(shù)表用對數(shù)做乘、除、乘方、開方運算得到的對數(shù)值，最終都要通過查反對數(shù)表 才能得到真數(shù)，所以，反對數(shù)表是遲早必須要編的，而反對數(shù)表在計算方法上沒 有障礙，所以應(yīng)該首先計算編制。有反對數(shù)表之后，再計算對數(shù)表就容易多了。有了對數(shù)0.5和0.1對應(yīng)的真數(shù)值，就可以計算出從 0.1, 0.2, 0.3,0.9 這9個對數(shù)對應(yīng)的真數(shù)值了，這9個對數(shù)構(gòu)成的反對數(shù)表可以叫一級反對數(shù)表。 計算的方法很簡單，就是對數(shù)相加，真數(shù)相乘，比如0.6的對數(shù)，對數(shù)0.6=0.5+0.1, 所對應(yīng)的真數(shù)就是3.1622776601

7、68*1.258925411794=3.98107170553有了對數(shù)0.05和0.01對應(yīng)的真數(shù)值以及一級反對數(shù)表，很容易就可以計算 出從0.01,0.02,0.03, .0.99這99個對數(shù)對應(yīng)的真數(shù)值，這99個對數(shù)構(gòu)成的反對 數(shù)表可以叫二級反對數(shù)表。計算的方法與前面相同，即對數(shù)相加，真數(shù)相乘。有了對數(shù)0.005和0.001對應(yīng)的真數(shù)值以及二級反對數(shù)表，就可以計算出從 0.001,0.002,0.003 .0.999這999個對數(shù)對應(yīng)的真數(shù)值，這 999個對數(shù)構(gòu)成的反 對數(shù)表可以叫三級反對數(shù)表。計算的方法與前面相同。同樣，可以計算出包含 0.0001, 0.0002, 0.0003, .0

8、.9999這9999個構(gòu)成的 四級反對數(shù)表。有四級反對數(shù)表應(yīng)該就夠了。要計算編制包含99999個對數(shù)的五 級反對數(shù)表不是做不到，而是有沒有必要，值不值得做。編制時要先完成一級反對數(shù)表，然后再擴充到二級反對數(shù)表、三級反對數(shù)表、 四級反對數(shù)表，不要用很小的對數(shù)累乘得到大的對數(shù)，以避免誤差累積增大。這樣計算出的反對數(shù)表非常齊整，而且精確度有充分保證。擴充計算對數(shù)表只用兩數(shù)相乘，不用除法。我覺得乘法比除法簡單，工作量 小。比如兩個有10位有效數(shù)字的數(shù)相乘，會得到一個大約有20位的數(shù)字，但我 們只要10位有效數(shù)字，后面的那些位數(shù)都要舍去，既然不需要，為什么要乘出 來？所以在列豎式相乘時，那些注定不會加到

9、前12位的數(shù)字，主要是乘數(shù)的后幾位與被乘數(shù)的后幾位相乘的數(shù)字，根本就別乘，直接畫0補位，只要前12位，多出的兩位用于四舍五入，故而乘法可以減少計算量。在編制反對數(shù)表過程中已經(jīng)可以多找人手分?jǐn)偣ぷ髁苛?。以前在書上看到過去有“制表工人” 一說，應(yīng)該是指專門從事計算制表的工作人員，如果是職業(yè)熟 練工人，那應(yīng)該會掌握很多計算技巧，計算速度也會快過常人，以我估計的計算 量，如果有幾十人同時工作，兩三周做出反對數(shù)表應(yīng)該沒問題。第四步，計算給定真數(shù)的對數(shù)值，編制常用對數(shù)表在有了反對數(shù)表之后，再計算編制常用對數(shù)表就好辦了，而且精確度有保 證。方法就是“線性內(nèi)插法”。以求2的對數(shù)為例，在反對數(shù)表里可以查到，對

10、數(shù)0.3010對應(yīng)的真數(shù)是1.9998618696,對數(shù)0.3011對應(yīng)的真數(shù)是2.0003224078, 那就在0.3010和0.3011之間做線性內(nèi)插，求2的對數(shù)值，由于1.9998618696與 2.0003224078的間距非常微小，所以得到的 2的對數(shù)值也必是非常精準(zhǔn)的。從1.0019.999之間的所有數(shù)都可以用這種“線性內(nèi)插”法算出，用這8999 個數(shù)就可以編制出一個完整的常用對數(shù)表，而且精度極佳，只不過要計算8999個數(shù)據(jù)，計算量頗大。如果先算出那些質(zhì)數(shù)（即素數(shù)）的對數(shù)，合數(shù)的對數(shù)由其質(zhì)因子的對數(shù)相加 而得到，計算量就可以大幅減少。10000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)僅有1229個，而且那些較大

11、的質(zhì)數(shù)，其對數(shù)可以用兩對 數(shù)平均值算出，例如8663是個素數(shù)，在算出8662和8664這兩個數(shù)的對數(shù)后， 8663的對數(shù)就是8662和8664這兩個數(shù)的對數(shù)的平均值。平均值計算實際也是 “線性內(nèi)插”，但要簡單得多，真正需要用比較麻煩的“線性內(nèi)插”計算的質(zhì)數(shù) 只有幾百個，合數(shù)的對數(shù)由其約數(shù)的對數(shù)相加得到， 這種制表方法計算量要少一 些，但精度也要稍遜一些?？偟膩碚f，編制對數(shù)表要比反對數(shù)表計算量要少一些。計算編制常用對數(shù)表的工作也一樣可以找多人分擔(dān)，以加快速度。結(jié)語編制八位常用對數(shù)表和反對數(shù)表，計算量巨大，個人很難獨力完成，如果有 幾十個人分工合作，一兩個月制出常用對數(shù)表和反對數(shù)表，應(yīng)該不算什么大問題。對數(shù)函數(shù)不是直線函數(shù)，做線性內(nèi)插必會有誤差，誤差大小決定于插值區(qū)間 大小，區(qū)間越小，誤差也越小。若想要更精確