投入產(chǎn)出綜合平衡分析1

1、遼寧工程技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程成績評定表學(xué)期08-09學(xué)年1學(xué)期姓 名張彥杰專業(yè)涉外機(jī)械班 級涉外06 1班課程名稱數(shù)學(xué)建模論文題目投入產(chǎn)出綜合平衡分析評疋標(biāo)準(zhǔn)評定指標(biāo)分值得分知識創(chuàng)新性20理論正確性20內(nèi)容難易性15結(jié)合實(shí)際性10知識掌握程度15書寫規(guī)范性10工作量10總成績100評語：任課教師李付舉時(shí)間08年 9月25日備注投入產(chǎn)出綜合平衡分析摘 要：本文主要以國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門之間的投入產(chǎn)出進(jìn)行綜合分析，它們之間存在相互 依存關(guān)系，每個(gè)部門在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)將其它部門的成品或半成品經(jīng)過加工變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品。這篇 文章主要是從投入產(chǎn)出資金及投入產(chǎn)出系數(shù)這幾個(gè)方面來研究的。文中結(jié)合題中所給的各個(gè)部門之間的投

2、入產(chǎn)出關(guān)系數(shù)值，進(jìn)行簡單的建立模型，用模型將它們之間的關(guān)系快捷、直觀的表示出來。關(guān)鍵字：分析；模型；直觀1問題的背景與重述隨著國家的不斷發(fā)展，人口的不斷增加， 相反資源卻一點(diǎn)一點(diǎn)的減少，為了權(quán)衡各個(gè) 部門之間的利弊，減少不必要的浪費(fèi)以及經(jīng)濟(jì)效益最大話原則。所以計(jì)劃經(jīng)濟(jì)已經(jīng)越來越 受到國家與人民的重視。因此根據(jù)已有的數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法以及軟件的優(yōu)秀計(jì)算 方法，對這個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行研究，使國家更強(qiáng)大、人民的生活更富裕。2問題的提出設(shè)某地區(qū)國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)僅由工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門構(gòu)成，已知某年它們之間的 投入產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表所示（數(shù)字表示產(chǎn)值，單位為億元） 。表i各個(gè)部門間的

3、關(guān)系產(chǎn)出 投入,工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出工業(yè)20202535100農(nóng)業(yè)302045115210服務(wù)業(yè)1560/70145外部需求3511075總產(chǎn)出100210145（1）建立投入產(chǎn)出系數(shù)表。（2）設(shè)有n個(gè)部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模 型。（3） 如果今年對工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)的外部需求分別為150，250, 170億元，問這三 個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？（4）如果三個(gè)部門的外部需求分別增加 5個(gè)單位，他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？（5）如果對于任意給定的、非負(fù)的外部需求，都能得到非負(fù)的總產(chǎn)出，模型就稱為可 行的。問為使模型可行，投入系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？3模

4、型的假設(shè)、分析與建立以及模型的求解（1）首先假定每個(gè)部門的產(chǎn)出和投入是成正比。根據(jù)表1用每一個(gè)部門的單項(xiàng)投入產(chǎn)出和所對應(yīng)的總投入產(chǎn)出做商，便可得出投入產(chǎn)出統(tǒng)計(jì)表，如下：表2投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入 -工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)工業(yè)0.2000.0950.172農(nóng)業(yè)0.3000.0950.310服務(wù)業(yè)0.1500.2860表總第一行、第二列的數(shù)字0.2表示生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)值的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品需求投入 0.20個(gè)單 位產(chǎn)值的工業(yè)產(chǎn)品，而這是由表 1中20億元工業(yè)產(chǎn)品投入農(nóng)業(yè)，可以產(chǎn)出 210億元農(nóng)業(yè) 總產(chǎn)值而來的（20/210=0.095）,同理得出其它的數(shù)值。（2）首先分析，根據(jù)問題：設(shè)有n個(gè)部門，已知投入系數(shù)，給定外部需

5、求，建立求解 各部門總產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型。設(shè)有n個(gè)部門，設(shè)一段時(shí)間內(nèi)第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為 Xi，而對于第j個(gè)部門的投入為Xij，滿足的外部需求為di，則nXi =? Xj + di (i=i，2，3,，n)(1)j=1表一的每一行滿足式(1)。記第j個(gè)部門的單位產(chǎn)出需要第i個(gè)部門的投入為aij (在每個(gè) 部門的產(chǎn)出與投入成正比的條件下)。=卷 _*丙=x=Xij = aij * Xj(l,j=1,2,3,，n)Xj即aij為投入系數(shù)。把(2)式帶入1式可得：nX = ? aij *Xj+ di(3)j=1(4)所以投入矩陣A = (aij )n*n，產(chǎn)出向量為X = (X1 , ，Xn )需求向量

6、d = (d“dn)，所以(3)式可以寫成(E-A) *X=d(5)當(dāng)(E-A)可逆時(shí)，有-1x= (E - A) * d(6)最后給出投入系數(shù)A和外部需求d,就可以算除各部門的總產(chǎn)出X。用MATLAB程序進(jìn)行編寫：首先建立M文件：fun.mFunction f=fun(A， d)b=eye( n,n )-Ac=inv (b)f=d*c計(jì)算時(shí)，只要鍵入投入系數(shù)矩陣 A與外部需求b,即可算出各部門的總產(chǎn)出。(3) 如果今年對工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)的外部需求分別為150，250, 170億元，問這三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，把各部門對各個(gè)部門的投入及產(chǎn)出系數(shù)設(shè)為矩陣a=0.200 0

7、.0950.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000，而將外部需求對于三種部門的資金設(shè)為矩陣 b=150 250 170.及d=三階單位矩陣-矩陣a。則所求的三產(chǎn)業(yè)對于外部提供的資金金額分別為x=db。然后用C表示D矩陣的逆矩陣。將表2中的投入系數(shù)及對于三個(gè)部門的外部需求輸入matlab,用以下程序：a=0.200 0.095 0.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000;b=150 250 170;d=eye(3,3)-a;x=b/dc=inv (d)經(jīng)過MATLAB計(jì)算后得：D=0.8000-0.0950-0.17

8、20-0.30000.9050-0.3100-0.1500-0.29001.0000X= 424.8217 442.7042 380.3076C =1.40330.24940.31870.59651.33290.51580.38350.42391.1974(4) 如果三個(gè)部門的外部需求分別增加5個(gè)單位，他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？方法1.根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，把各部門對各個(gè)部門的投入及產(chǎn)出系數(shù)設(shè)為矩陣f=0.2000.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0設(shè) e=eye(4,4)-f則e矩陣的逆矩陣為矩

9、陣g。把數(shù)據(jù)輸入MATLAB，用以下程序：f=0.200 0.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0； e=eye(4,4)-f； g=i nv (e)得出結(jié)果為：g = 1.40330.24940.318700.59651.33290.515800.38350.42391.197401.00001.00001.0000 1.0000由此看出當(dāng)d增加1個(gè)單位時(shí)，x的增量由（E- A）-1決定。所以當(dāng)d為5 （單位）時(shí),工業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)值分別增加7.0165、6.6645 5.987 （單位

10、）方法2。根據(jù)（6）式表明總產(chǎn)出x對于外部需求d是線性關(guān)系的，因此不管d如何增加,三個(gè)部門的外部需求增量都只和（E-A）的逆矩陣有關(guān)系，而d的增加只會成倍的增加它 們的總產(chǎn)出。當(dāng)d增加5個(gè)單位時(shí)，x的增量由決定，而在上面的MATLAB程序上已經(jīng) 算出C為1.40330.59650.38350.24940.31871.33290.51580.42391.1974其中第一列數(shù)字表明，當(dāng)對工業(yè)的需求增加 1個(gè)單位時(shí)，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出 分別增加1.4033, 0.5965, 0.3835個(gè)單位。所以當(dāng)對工業(yè)增加 5個(gè)單位時(shí)，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、 服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加 7.0165，6.6645 5

11、.9870個(gè)單位。即C5=7.01651.24701.59352.98256.66452.57901.91752.11955.9870（5）如果對于任意給定的、非負(fù)的外部需求，都能得到非負(fù)的總產(chǎn)出，模型就稱為 可行的。問為使模型可行，投入系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？為了使模型可行，即對任意的外部需求d3 0,而由式（6）能夠得到總產(chǎn)出x3 0,顯-1然只需要(E- A)? 0因?yàn)榫仃嘇3 0 （由定義式（2）,(E- A)(E+ A 2A+nk+1A)= E- A所以只要Ak無限接近于0(k),就有(E - A)? Ak? 0k=0，而由矩陣范數(shù)定義可知Ak ?0與| Ak|等價(jià)，且Ak| k，故只要

12、A11 （取便于應(yīng)用的1-范數(shù)），即? aij 1i=1(j=1,2, ；n)(7)這樣的模型就是可行的。當(dāng)投入系數(shù)A是根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算出來的 等價(jià)于（由表 1得到表2）時(shí)，由（2）式可知（7）n? Xiji= 1由此看出，只要是初始投入資金非負(fù)的話， 型是可靠的。4模型的評價(jià)與改進(jìn)雖然通過這次對于模型的初步建立，該模型采用了數(shù)值計(jì)算，與理論分析相結(jié)合的方法,先有感性認(rèn)識，再進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證和估算，可以看作計(jì)算機(jī)技術(shù)與建模方法的巧妙配合?？?取之處在于它們比較全面地達(dá)到了建模的目的，清楚的計(jì)算了當(dāng)外部需求增加一定量時(shí)各個(gè)部門的總體產(chǎn)出量，達(dá)到了很好的預(yù)算效果。該模型采用了矩陣的逆矩陣求解，把抽象xj(j=1,2 ,n)(8)（8）式就自然成立，得到了非負(fù)產(chǎn)出，可知模的，不確定數(shù)量的多部門投