2018年高考理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(1) 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.(2) 理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算.(3) 理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函 數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn).(4) 知道指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.知識(shí)點(diǎn)一根式與幕的運(yùn)算1. 根式的性質(zhì)(1) (na)n = a.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n an= a.(3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n an=|a|=a a 0a a0, m, n N*，且n1).m 11 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a n = _m=(a0, m, n N*，且 n1).am知 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.(2) 有理數(shù)指數(shù)

2、幕的運(yùn)算性質(zhì) ar as= ar+s(a0, r、s Q). (ar)s= aS(a0, r、s Q). (ab)r = arbr(a0, b0, r Q).易誤提醒 在進(jìn)行指數(shù)幕的運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示，并且結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).易忽視字母的符號(hào).自測(cè)練習(xí)2 1 1 11a3b 1 2a 2 b31. 化簡(jiǎn)(a0, b0)的結(jié)果是()60b5 Acba- 1- a B Da1- 2b1- 31- 3b1- 25- 6b1-a一 3+1b6答案：D知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y= axa10a0 時(shí)，y1; x0 時(shí)，0y0 時(shí)，0y1; x

3、1在( x,+x )上是增函數(shù)在( x,+x)上是減函數(shù)易誤提醒 指數(shù)函數(shù)y= ax(a0, a1的圖象和性質(zhì)跟a的取 值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1或0a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0a1,還是 0a0，且a 1)的圖象可能是()解：當(dāng)x= 1時(shí)，y=a1 a= 0,所以函數(shù)y= ax a的圖象過(guò)定點(diǎn) (1,0),結(jié)合選項(xiàng)可知選 C.答案：C3 22 3223. 設(shè) a= 23 2 2 -時(shí)，有 5 x 5 x,故 5 5 5 5，即 ac,故 acb.答案：A4. 指數(shù)函數(shù)y= (2 a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則 a的取值范圍是. 解析：由題意知02 a1，解得1acbB. abcC. c

4、abD. bca2解析：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y= 5x(x R),由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞2 3減可得b0研考向考點(diǎn)一指數(shù)幕的化簡(jiǎn)與求值I翳軽證【題組訓(xùn)練求值與化簡(jiǎn)：3c 11nc(1) 25 0 + 2 2 亡4 2 (0.01嚴(yán)；5 ii2 i(2) &a3 b 2 3a 2 b 1)十433 b3)2;ya3b23ab2(3) 1111 (a0, b0).a4b2 4a 3b3141111 211 116解: (1)原式=1 +4X 9 2 100 2 = 1 + 4x 3 10= 1 + 6 10= 15.512丄原式=2a 6b3訊4a3 b3) 21131vJ o vJ =4a 6b3說(shuō)a

5、3b 2)= 4a 25= 5個(gè)4 ab3= 4ab2.1 2 1 a3b2a3b3 2(3) 原式=1 1 ab2a 3b33111 11211=a 2 6 3 b 3 3 = ab 1.指數(shù)幕運(yùn)算的四個(gè)原則1. 有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.2. 先乘除后加減，負(fù)指數(shù)幕化成正指數(shù)幕的倒數(shù).3. 底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).4. 若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，盡可能用幕的形式表示，運(yùn)I用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)圖象及應(yīng)用I典題悟法 竺 (1)函數(shù)f(x)= 2xT的圖象是()J1Rr解析心2t xi,故選B.答案B(

6、2) (2015衡水模擬)若曲線|y| = 2x+ 1與直線y = b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是.解析曲線|y匸2x+ 1與直線y= b的圖象如圖所示，由圖可知:如果|y| = 2x+ 1與直線y= b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b 1,1.答案1,1!與指數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的兩種求解策略B1. 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函:I 數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象.2. 些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型:i 函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.演練沖關(guān)：偶函數(shù) f(x)滿足 f(x 1) = f(x+ 1),且在 x 0,1時(shí),f(x)= x,則關(guān)1于

7、x的方程f(x)= 10 x在x 0,4上解的個(gè)數(shù)是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由 f(x 1)= f(x+1)可知 T= 2.Tx 0,1時(shí),f(x) = x, 又Tf(x)是偶函數(shù)，.可得圖象如圖.f(x)= 1ox在x 0,4上解的個(gè)數(shù)是4個(gè).故選D.答案：D考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 |高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬于低檔題.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題探究角度有：1. 比較指數(shù)式的大小.2. 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的奇偶性及應(yīng)用.3. 探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì).探究一比較指數(shù)式的大小1. （2015 高考山東卷）設(shè) a= 0.60.6, b= 0.

8、61.5, c= 1.50.6，則 a, b, c的大小關(guān)系是（）A. abcB. acbC. bacD. bca解析：由指數(shù)函數(shù)y = 0.6X在（0,+ 乂）上單調(diào)遞減，可知0.61.50.60.6,由幕函數(shù)y=屮6在（0, + 乂）上單調(diào)遞增，可知0.60.61.50.6, 所以ba32 a成立的X的取值范圍為（）A . （ = , 1）B. （ 1,0）c. (0,1)D. (1,+x)解析:f( - x)=2-x + 12-x a_2x+ 11 a 2x+ 1，由 f(-x)f(x)得片x2x+ 1 ，即 1 a2x= 2x+a,化簡(jiǎn)得 a (1 + 2x) = 1 + 2x,所以

9、a= 1,2x a2x+ 1f(x)=.由 f(x)3 得 0x0,因此必有3a 41,解得a= 1,即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(3) 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，1要使y= 3g(x)的值域?yàn)?o ,+x).應(yīng)使g(x)= ax2 4x+ 3的值域?yàn)镽,因此只能a= 0.(因?yàn)槿鬭z0,則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能 為R).故a的值為0.i指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題三種解題策略jI;!(1)比較大小問(wèn)題.常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)法.-ii-III簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)利用Iii指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行II

10、iI分類(lèi)討論.iI1解決指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同IIiII函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合，同時(shí)要特別注意底數(shù)不確定時(shí)，對(duì)底數(shù)的分類(lèi)討論.SixilaIangfxkI4.換元法解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題1 1【典例】函數(shù)y = 4 x- 2 x + 1在區(qū)間3,2上的值域是1 1思路點(diǎn)撥設(shè)t= 2 x,則4x= t3 當(dāng) t = 2時(shí)，ymin = 4；當(dāng) t= 8 時(shí)，ymax= 57.故所求函數(shù)值域?yàn)镮，57. 答案4, 57方法點(diǎn)評(píng)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問(wèn)題，通常利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性或值域問(wèn)題，注意換元過(guò)程中元”的取值范圍的變化

11、.1跟蹤練習(xí)已知OWx2,貝卩y= 4x2 3 2x + 5的最大值為,這樣原函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為二次 函數(shù).1解析因?yàn)閤 3,2,所以若令t= 2x，1C則 t 4, 8 ,13故 y=t21+ 1= t扌2+ 4.解析：令 t= 2x,v0 x 2,A1 t 4,又 y= 22x-1 -3 2x + 5,1 1 1:目=尹一3t+ 5= 2（t 3）2 + 2,養(yǎng)5-1 t1, b0B.C. 0a1, b1, b00a00a1,又 a-b0,即 b 1時(shí)，f(x)= 3x 1，則有(132f f vf T 3 T 2 T 3231f3f2f3213f f f - T 3 T 3 T 2321f

12、f f - T 2 T 3 1435時(shí)，f(x) = 3x 1為單調(diào)遞增函數(shù)，且323，4 35f5f2f3，即 f 3 f 2 f 3，故選 B.答案： B4. 已知實(shí)數(shù)a, b滿足等式2a= 3b,下列五個(gè)關(guān)系式：0ba;ab0;0ab;ba0; a= b= 0.其中有可能成立的關(guān)系式有 ()A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè)解析：依題意，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù) y= 2x, y = 3x的圖象與 直線y= t,平移直線y=t，通過(guò)觀察可知，直線y= t分別與函數(shù)y= 2x, y = 3x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) a, b的大小關(guān)系可能是ab0; a =b= 0; 0ba，因此其

13、中有可能成立的關(guān)系式共有 3個(gè)，故選C.答案： C5. (2015 濟(jì)寧三模)已知函數(shù) f(x)= |2x 1|,abf(c)f(b),則下列結(jié)論中,一定成立的是 ()A . a0, b0, c0 B. a0, c0C2a2cD2a2cf(c)f(b)，結(jié)合圖象知，0f(a)1, a0,.02av1.f(a) = |2 1|= 1 2av1,.f(c)v1,.0cv1.1f(c),Al 2a2c 1,2a + 2c0，且a 1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大|,則a的值為.解析：當(dāng)a1時(shí)，f(x) = ax為增函數(shù)，在x 1,2上,f(x)最大=f(2) = a2, f(x)最小=f(1)=

14、 a.a2 a= 3 即 a(2a 3) = 0.厶亠 3 ,3a= 0(舍)或 a= 21.a= q當(dāng)0a1時(shí)，f(x) = ax為減函數(shù),在 x 1,2上，f(x)最大=f(1) = a, f(x)最小=f(2) = a2.2 aa a2 = 2. ，a(2a1)= 0,a= 0(舍)或 a=12；a=12.域?yàn)?54 ,13綜上可知，a= 2或a= 2.13答案：1或31 9. 已知2x2 x 4x 15 3所以，函數(shù)y = t的值域?yàn)橐? 2，即函數(shù)y= 2x 2-x的值,求函數(shù)y= 2x 2 x的值域.1解：由 2x2 x 4 x-1 = 2 2x+ 2,得 x2 x 2x+ 2,即

15、 x2 + x 2 01 1 1 、解得一 2x0對(duì)任意x R都成立,f(x)在R上是增函數(shù).Vf(x)的定義域?yàn)?R，且 f(-x) = e-X ex= f(x),.f(x)是奇函數(shù).存在.由(1)知f(x)在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)，則f(x -1) + f(x2-12) 0 對(duì)一切 x R 都成立? f(x2-t2)f(t-x)對(duì)一切 x R 都成立? x2-12t-x對(duì)一切x R都成立1 1? t2 +1W x2 + x= x+ 2 2 4對(duì)一切 x R 都成立1 1 1? t2 + t 0對(duì)一切x R都成B組高考題型專練1.(2014高考陜西卷)下列函數(shù)中,滿足“f(x+ y) = f(

16、x)f(y)”的單 調(diào)遞增函數(shù)是()A . f(x) = x3B. f(x) = 3x1 1C. f(x) = xD. f(x) = 2 x解析：對(duì)于選項(xiàng) A, f(x+ y)= (x+ y)3工f(x)f(y) = x3y3,排除 A；對(duì)于選項(xiàng) B, f(x+ y)= 3x+y= 3x3y = f(x)f(y)，且 f(x) = 3x 在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C, f(x + y)=” $x+ yzf(x)f(y) = y2=1 11.xy,排除 C;對(duì)于選項(xiàng) D, f(x + y)= 2 x+ y= 2 x 2 y= f(x)f(y)，但 f(x)1=2x在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，排除D.故選B.答案：B2. (2015高考山東卷)已知函數(shù)f(x) = ax+ b(a0, az 1)的定義域和值域都是1,0,貝S a + b=.a 1 + b = 1, 解析：當(dāng)a1時(shí),f(x)在1,0上單調(diào)遞增，則a0 + b= 0,無(wú)解.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在 1,0上單調(diào)遞減，32.a+ b =b= 2,解得a 1 + b= 0, 則a+ b= 1,3 答案：33. (2015高考江蘇卷)不等式2/ x4的解集為.解析：不等式2x2 x4可轉(zhuǎn)化