勾三股四弦五I

1、第七講.勾三股四弦五I【教學(xué)目標】1. 復(fù)習直角三角形及勾股定理;2. 掌握勾股定理的直接應(yīng)用；3. 掌握構(gòu)造勾股定理法；4. 掌握勾股定理的綜合應(yīng)用?！局R、方法梳理】1. 勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a,b,c有下面關(guān)系：a2，b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.2. 勾股數(shù)：滿足a2 b2二c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a,b,c為勾股數(shù)，那么ka, kb, kc同樣也是勾股數(shù)組.）* 附：常見勾股數(shù)：3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,

2、12,15 ； 5,12,133. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長 a,b,c滿足a2 bc2，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一個角為90的三角形是直角三角形.（2 ）有兩個角互余的三角形是直角三角形用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為 c）；（2） 若ca2 b2，則 ABC是以.C為直角的三角形；若a2 b2 c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2 b2 c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）4. 注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2） 在直角三角形中，如果一個

3、銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊(2) 已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系(3) 用于證明線段平方關(guān)系的問題 .(4) 利用勾股定理，作出長為xn的線段【典例精講】類型一：勾股定理的直接用法例 1 在 Rt ABC 中，.C =90(1)已知 a =6, c =10，求 b , (2)已知 a=40, b=9，求 c; (3)已知 c = 25, b =15，求 a.【思路點撥】：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的

4、變形使用 【解析】：(1) 在-ABC 中，/ C = 90,a=6 ,c=10 , b = -. c2a2=8(2) 在：ABC 中，.C =90：,a =40,b=9, c=a2 b2=41(3) 在：ABC 中，.C =90：,c=25,b=15, a*c2 -b2 =20類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用例 2如圖，已知：在 ABC 中，.B=60：, AC =70, AB = 30。求：BC 的長?！舅悸伏c撥】：由條件 B=60；，想到構(gòu)造含30角的直角三角形，為此作 AD_ BC于t1D，則有.BAD =30、, BDAB =15，再由勾股定理計算出 AD、DC的長，進而求出2BC的長?！?/p>

5、解析】：作AD _ BC于D，則因.B =60 , BAD =90：-60 =30： ( Rt ：的兩個銳角互余)1 c- BD AB =15 (在Rt中，如果一個銳角等于 30 , 2那么它所對的直角邊等于斜邊的一半) 根據(jù)勾股定理，在 RV ABD中，AD . AB2 -BD2 二.302 -152 = 15 3.根據(jù)勾股定理，在 Rt ACD中，CD AC2 -AD2 = ,702 -152 3 =65. BC = BD DC =65 15 =80 .類型三：勾股定理的實際應(yīng)用:(一)用勾股定理求兩點之間的距離問題例3如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了

6、 500、.3m到達B點，然后再沿北偏西 30：方向走了 500m到達目的地C點（1）求A、C兩點之間的距離.（2）確定目的地C在營地A的什么方向.【解析】：（1）過B點作BE/ AD . DAB = . ABE 二 60：/ 30：. CBA . ABE =180； . CAB =90%即. ABC為直角三角形由已知可得：BC = 500m , AB = 500”./3m由勾股定理可得： ACBC2 AB2所以 AC 二 BC2 AB2 二 5002 500.3 =1000 m（2） 在 Rt ABC 中，/ BC =500m , AC = 1000m . CAB =30： . DAB =

7、60： . DAC =30：即點C在點A的北偏東30的方向（二）用勾股定理求最短問題：例4國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改 造，某地有四個村莊 A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村 莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架 設(shè)方案最省電線.【思路點撥】：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路 長，然后進行比較，得出結(jié)論.【解析】：設(shè)正方形的邊長為 1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB BC CD =3,AB BC CD =3圖（3）中，在Rt AB

8、C中AC = AB2 BC2 =運同理BD = 2圖（3）中的路線長為 22 : 2.828圖（4）中，延長EF交BC于H，則FHBC , BH二CH由.FBH =30：,BH =丄 及勾股定理得：2EA =ED =FB=FC =,FH312 / 9.3此圖中總線路的長為 4EA EF3 ： 2.732?3 2.828 2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線。類型四：利用勾股定理作長為.n的線段:例5 作長為,2、.3、5的線段.、2，直角邊【思路點撥】：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長就等于 為2和1的直角三角形斜邊長就是3, 類似地可作 5.（1）

9、作直角邊為1 （單位長）的等腰直角 =ABC，使AB為斜邊；（2） 以AB為一條直角邊，作另一直角邊為 1的直角.B1BA.斜邊為B1A ；（3） 順次這樣做下去，最后做到直角三角形AB2B3，這樣斜邊AB、AB1、AB2、AB3的 長度就是,2、,3、,4、,5.類型五：逆命題與勾股定理逆定理：例6.寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 原命題：貓有四只腳（正確）2 原命題：對頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等（正確）【思路點撥】：掌握原命題與逆命題的關(guān)系.【解析】：1.逆命題：有四只腳的是貓

10、（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上（正確）【總結(jié)升華】：本題是為了學(xué)習勾股定理的逆命題做準備。例7.如果二ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2 b2 c250 = 6a 8b 10c ,判斷 ABC的形狀.【思路點撥】：要判斷:ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2 b2 c250 6a 8b 10c，故只有從該條件入手，解決問題【解析】：由a2 b2 c2 5 6a 8b 10c，得：2 2 2a -6a 9 b -8b

11、16 c -10c 25 =0,2 2 2a -3b -4c-50.2 2 2a -3-0, b-4_0, c-5_0.a =3,b =4,c=5. 3242 =52, a2 b2 =c2.由勾股定理的逆定理，得 . ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到?！倦p基訓(xùn)練】1.如圖，.B=/ACD=90：, AD =13,CD =12, BC =3,則 AB 的長是多少？A2.如圖，已知：C =90； , AM =CM , MP _ AB于 P .求證：BP2 二 AP2 BC2。3.已知：如圖， B=90；, A =60； ,

12、AB =4,CD =2 .求：四邊形 ABCD 的面積.AC4.四邊形 ABCD 中，.B =90 , AB =3, BC =4, CD =12 , AD =13，求四邊形 ABCD的面積。CAD2 2 2 25.已知:ABC的三邊分別為 m -n ,2mn,m n（ m,n為正整數(shù)，且m n）,判斷匚ABC是 否為直角三角形.1F為AB上一點，且BF AB。請問FE與DE是46.如圖正方形ABCD， E為BC中點, 否垂直？請說明。AB【縱向應(yīng)用】7輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ？FTr-i匚2垛一8. 在數(shù)軸上表

13、示 10的點。【橫向拓展】9. 如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm，高AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從 點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程.練習題目答案【雙基訓(xùn)練】1.【答案】 . ACD =90： AD =13,CD =12,2 2 2AC 二AD -CD2 2=13 -1=25二 AC =5又 . ACB =90*且 BC =3由勾股定理可得AB2 =AC2 -BC2=52 -32-16- AB = 4 AB的長是4.2.【解析】：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在 Rt BMP中, BP=BM -PM2.而在Rt AMP中，則根據(jù)勾股定理有MP2=AM -

14、AM 24.S四邊形 ABCD = S ABE sc DE【答案】：連結(jié)ACab becd de =6、3.22步根據(jù)本題給定的邊C BP2 二 BM 2 - AM 2 - AP2 二 BM 2 - AM 2 AP2又 AM =CM （已知），2 2 2 2 BP =BM -CM AP .在Rt BCM中，根據(jù)勾股定理有2 2 2BM -CM =BC ,2 2 2 BP =BC +AP .3.【分析】：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E ,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進 選第三種較為簡單.【解析】：延長AD、BC交于E. A =60

15、： , B =90； E =30 AE =2AB =8,CE =2CD =4,BE2 = AE2 - AB2 =82 -42 =48, BE.78 =4 3.:DE2 =CE2 - CD2 =42 -22 =12, DE =五=2、G . B =90； , AB =3, BC =4二 AC?二 AB2 BC2 =25 （勾股定理） AC =52 2 2 AC2 CD2 =169, AD2 =1692 2 2 AC CD =AD . ACD =90：（勾股定理逆定理）S四邊形 ABCD 二 S.abC S.acD11AB BC AC CD =36225.【分析】：本題是利用勾股定理的的逆定理，只

16、要證明：a2 b2=c2即可【證明】：2 2 2 2m -n i 亠 i2mn42 242 2=m -2m n n 4m n二 m4 2m2n2 n4=m2n2連接于廠門正中間所以- ABC是直角三角形。6.答案】答：DE _ EF 證明：設(shè) BF =a，貝U BE=EC=2a, AF =3a，AB=4a, EF2 =BF2 BE2 =a2 4a2 =5a2 ； DE2 =CE2 CD2 =4a2 16a2 =20a2 .DF （如圖）DF2 AF2 AD2 = 9a2 16a2 = 25a2.DF2 二 EF2 DE2,DE _ EF.& 疔7.【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位 時其高度是否小于 CH 如圖所示，點 D在離廠門中線0.8米處，且 CD _ AB ,與地面交于H .【解析】：OC = 1米（大門寬度一半），OD = 0.8米（卡車寬度一半） 在Rt OCD中，由勾股定理得：CD = OC2 ODh12 -0.82 =0.6米， CH =0.6 2.3 =2.9 （米）2.5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門。8.【解析】：可以把,10看