中考解析難題

1、中考解析難題 作者：dickn 如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) 0(0,0) A(2,0)，點(diǎn)B在第一象限且 OAB為正三角形, OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn) C,過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D . (1 )求B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2) 求直線CD的函數(shù)解析式； (3) 設(shè)E, F分別是線段 AB, AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF平分四邊形 ABCD的周長(zhǎng). 試探究： AEF的最大面積？ ) 一 / (第 24 題) 2008年浙江嘉興市中考數(shù)學(xué)試題參考答案 (1) Q A(2,0) , OA 2 . 作BG OA于G , ABO y C D (第 24 題) QAOAB為正三角形， OG 1,

2、 BG . 3 . B(1, - 3). 連 AC , Q AOC 90o , ACO o 2 3 OC OAta n30 3 (2) Q AOC 90, AC是圓的直徑, 又Q CD是圓的切線, OCD 30o, OD CD AC 2 OCta n30- 3 G (第 24 題) I I I 設(shè)直線 CD的函數(shù)解析式為 y kx b(k 0), 2 3 3 2k 3 k 解得 b 直線CD的函數(shù)解析式為 (3) Q AB OA 2, OD - , CD 2OD 3 BC OC 2 Z3 3 四邊形ABCD的周長(zhǎng)6乙3 3 設(shè) AE t, 則AF 3 AEF的面積為S , t , 3 1 -A

3、FgAEsin60 9_3 _ 丁時(shí), S max 7 3 12 Q點(diǎn)E, F分別在線段AB, AD上, 1 解得- Qt 93 滿足w t w 2 , 63 AEF的最大面積為 7,3 12 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A坐標(biāo)為(2, 4)，直線x 2與x軸相交于點(diǎn)B，連 結(jié)OA，拋物線y x2從點(diǎn)0沿OA方向平移，與直線x 2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A 點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng). (1) 求線段0A所在直線的函數(shù)解析式； (2) 設(shè)拋物線頂點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為m, 用m的代數(shù)式表示點(diǎn) P的坐標(biāo)； 當(dāng)m為何值時(shí)，線段 PB最短； (3) 當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使 QMA 的面積與厶P

4、MA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說明理由. 浙江省2008年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試(麗水市卷) 解：(1 )設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為 y kx, A( 2, 4), 2k 4, k 2 , OA所在直線的函數(shù)解析式為y 2x. (3分) (2)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m，且在線段OA上移動(dòng)， y 2m (0 w m 2). 頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2m). 拋物線函數(shù)解析式為 y (x m)2 2m. 22 當(dāng) x 2 時(shí)，y (2 m) 2m m 2m 4 (0w m w 2). 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2, m2 2m 4 ) (3分) T PB= m2 2m 4 = (m 1)2

5、3 ,又t 0w m w 2, 當(dāng) m 1 時(shí)，PB 最短(3 分) (3) 當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為 y x 1 22. (1分) 假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn) Q，使SVQMA SVPMA. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x , x2 2x 3) 當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過 P作直線PCAO，交y軸于點(diǎn)C , / PB 3, AB 4 , AP 1,二 OC 1 , C 點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,1）. 點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2, 3）,二直線PC的函數(shù)解析式為y S/QMA SVPMA，點(diǎn)Q洛在直線y 2x 1上. 2 x 2x 3 = 2x 1. 解得 x12,x22，即點(diǎn) Q （2, 3）. 點(diǎn)Q與點(diǎn)P重

6、合. 此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn) Q，使 QMA與厶APM的面積 2分) 與y軸交于點(diǎn)C (0, 3)。 y* D 第26題圖 相等. 當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí), 作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D，過D作直線DE / AO，交y軸于點(diǎn)E , AP 1,二 EOD A 1 , E、D 的坐標(biāo)分別是(0, 1), (2, 5), 直線DE函數(shù)解析式為y 2x 1. I S/QMA Svpma，點(diǎn) Q 落在直線 丫 2X 1 上. x2 2x 3 = 2x 1 . 解得：x1 22 , x2 2 邁. 代入 y 2x 1，得 y1 5 2 2 , y2 5 2 2. 此時(shí)拋物線上存在點(diǎn) Q1 2 J2?5 2

7、曠 ,q2 2 J2,5 22 使厶QMA與厶PMA的面積相等.(2分) 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn) Q1 2 2,5 22 , Q2 2, 2,5 2 2 使厶QMA與厶PMA的面積相等. (本小題滿分13分) 如圖，已知拋物線與 x軸交于A (- 1, 0)、B (3, 0)兩點(diǎn), 求拋物線的解析式； 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否 存在點(diǎn)P,使得 PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條 件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以 B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形 是直角梯形，試求出點(diǎn) M的坐標(biāo)。 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 一、ABDBA , DBCCD

8、, BCAC ; 2008年山東省臨沂市初中畢業(yè)與高中招生考試 設(shè)拋物線解析式為 y ax2 bx 3(a 0) 根據(jù)題意，得 a b 3 9a 3b 3 0, ，解得 .拋物線與y軸交于點(diǎn)C (0, 3), 0, 1, 2. 拋物線的解析式為 y x2 2x 3 2分 存在。 3分 2 由y x2X 3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 4），對(duì)稱軸為x= 1。 4分 若以CD為底邊，則PD= PC,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），根據(jù)勾股定理， 2 2 2 2 得 x （3 y） （x 1）（4 y），即 y= 4- x。 5分 又P點(diǎn)（x,y）在拋物線上， 4 xx2 2x 3，即x2 3x 1 0 6分 .

9、3 J53 J5宀厶亠3寸5 解得x,1，應(yīng)舍去。 x。 7分 2 2 2 5 v53 75 5 ?3,0), 分 B(1 . 3,0) 6 分 (3) 由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3) 7分 設(shè)拋物線解析式 y a(x 1)23 8分 把點(diǎn)B(1.3,0)代入上式，解得 a 19分 2 y x 2x 2 10 分 (4) 假設(shè)存在點(diǎn) D使線段OP與CD互相平分，則四邊形 OCPD是平行四邊形 11分 PC / OD 且 PC OD . Q PC / y軸， 點(diǎn)D在y軸上.12分 又Q PC 2 , OD 2，即 D(0,2). 2 又 D(0,2)滿足 yx 2x 2

10、 , 點(diǎn)D在拋物線上 13分 所以存在D(0,2)使線段OP與CD互相平分. 14分 24. (本小題滿分12分) 如圖10,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9, 0),以AB為直徑作O O 交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C,連接AC、BC,過A、B、C三點(diǎn)作拋物線. (1) 求拋物線的解析式； (2) 點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ BCE的平分線CD交O O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，求直線 BD的解析式； (3) 在(2)的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得/ PDB =Z CBD?如果存在，請(qǐng) 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 圖10 資陽(yáng)市2008年高中階段學(xué)校招生統(tǒng)一考試 以AB為直

11、徑作O 0,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C, / OCA+ / OCB=90 , 又/ OCB+ / OBC=90 , / OCA= / OBC, 又/ AOC= / COB=90 , 從OC s QOB, 1 分 OA OC OC OB 又 A(-1, 0), B(9 , 0), 1 OC OC 9 ，解得OC=3(負(fù)值舍去). b 0, b 5. 1, 9. - C(0, 43), 3分 設(shè)拋物線解析式為 y=a(x+1)(x9), 1 43=a(0+1)(0 )，解得 a=-, 3 二次函數(shù)的解析式為y= (x+1)(x)，即y=-x2-x-3.4分 333 / AB 為 O 的直徑，且 A(

12、- , 0), B(9 , 0), OO，=, O，, 0),5 分 點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ BCE的平分線 CD交O O于點(diǎn)D , 1 1 / BCD= / BCE= X90 45 2 2 1 連結(jié) OD 交 BC 于點(diǎn) M，則/ BOD=2/ BCD=2X45=90 , OO，=4OD=AB=5 2 D(4, -5). 6 分 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b ( k0) 9k 4k 解得k b 直線BD的解析式為y=x9 8分 (3)假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn) P,使得/ PDB = Z CBD, 解法一：設(shè)射線 DP交OO于點(diǎn)Q,則?Q Cd . 分兩種情況(如答案圖1所示): O，,

13、0), D(4,勺,B(9, 0), C(0,. 點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合， 因此，點(diǎn)Q1(7,-)符合?q Cd , 圖10答案圖1 把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則 用待定系數(shù)法可求出直線 y 解方程組 y 1 X 3 1 2 x 3 點(diǎn) Pi坐標(biāo)為(- 19 3 8 x 3 4i 2 得 3. i DQi解析式為y=- 3 9.4I 2 294i ； 6 29 Xi yi i9 x - 3 9,4i 2 294i 6 . ，二-4i)不符合題意，舍 2 6 X2 y2 宀，坐標(biāo)為(- 去- I0分 TQi(7, -4), 點(diǎn)Qi關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 Q2(7, 4)也符合B

14、q Cd . D(4,七)，Q2(7 , 4). DQ2解析式為y=3x-i7. ii分 y 3x 17, 12 8 得xi y x x 3.yi 3 3 解方程組 3,X2 8; y2 25), I4, 25. 點(diǎn) P2坐標(biāo)為(I4, 坐標(biāo)為(3,-8)不符合題意，舍去. 用待定系數(shù)法可求出直線 I2分 符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：Pi(94i 2 P2(i4, 25). 解法二：分兩種情況(如答案圖2所示): 當(dāng) DPi/ CB 時(shí)，能使/ PDB= / CBD . - B(9, 0), C(0, ). 用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=x-3. 3 1 又T DPi / CB,.設(shè)直線DP

15、 1的解析式為y=x+ n. 3 把D(4 ,吒)代入可求n= -19 , 3 直線DP 1解析式為y=丄x 9 . 3 3 圖10答案圖2 y 解方程組 y 1 -x 3 1 2 x 3 19 3 8 x 3 41 得 3. xi yi 94i 2 29 4i ； ; 6 x2 y2 點(diǎn)Pi坐標(biāo)為(寧 29 941 2 29 不 6 、4129 ),坐標(biāo)為(941 , 2 嚴(yán))不符合題意，舍 去. 10分 在線段 OB 上取一點(diǎn) N,使 BN=DM 時(shí)，得 ANBD 也MDB(SAS),NDB = / CBD . 由知，直線BC解析式為y=x-3. 3 取 x=4，得 y= , M(4, -

16、5), O，N=O，M = - , N( 1Z , 0), 3333 又T D(4,勺, 直線DN解析式為y=3x-17. y 3x 17, 11分 解方程組1 2 y 3x 點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14, x1 3, x2 14, y1 8; y2 25. 8 得 x 3. 3 25),坐標(biāo)為(3, -8)不符合題意，舍去. 12分 符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1(941 2 2941 ),P2(14, 25). 6 解法三：分兩種情況(如答案圖3所示): 求點(diǎn)P1坐標(biāo)同解法二. 過C點(diǎn)作BD的平行線，交圓0于G, 此時(shí)，/ GDB = / GCB = / CBD . 由題知直線BD的解析式為y=x, 又 C (0,-) 可求得CG的解析式為y=x-3, 設(shè)G ( m,m -3)，作GH丄x軸交與x