斷裂力學(xué)基礎(chǔ)

1、57；二。例如， Orowan（1949）得到(5.1)(5.2)(5.6)(5.7)第五章線彈性斷裂力學(xué) 5.1弓I言斷裂力學(xué)是從材料強(qiáng)度問題提出的。隨著固體物理、物理力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，人們已能夠大 致從理論上計算出某些固體材料（特別是單晶體）的理論強(qiáng)度G、e/2二，Zhurkov（ 1957）得到t ：、E。其中e為楊氏模量。但試驗中測得的實(shí)際材料強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于計算所得的理論強(qiáng)度，兩者往往相差幾個數(shù)量級。這一情況吸引著不少科學(xué)家去研究現(xiàn)有材料的強(qiáng)度比理論強(qiáng)度低的原因。人們很早就認(rèn)識到這是由于實(shí)際固體中存在著大量缺陷所致。 但這種認(rèn)識在很長一段時期里只停留在定性說明階段。而對于缺陷如何定量地影

2、響材料的強(qiáng)度， 直到斷裂力學(xué)的產(chǎn)生，才得到較明顯的進(jìn)展。 4.2介紹了含橢圓孔平板受拉伸時的彈性解。當(dāng)拉伸應(yīng)力 匚垂直于橢圓長軸時，長軸端點(diǎn)處的環(huán)向應(yīng)力最大。由4.2可得Gax =1 - 2a /b c又橢圓長軸端點(diǎn)處的曲率半徑為T二b2/a,因此（5.1）又可以改寫成-max =12. a /因而應(yīng)力集中系數(shù):.為(5.3)當(dāng)T很小時，很大。當(dāng)b 0時，橢圓孔就退化為長為 2a的直線裂紋。更一般的提法是 T 0。 按上述計算公式得到。這樣的結(jié)果不能用傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的觀點(diǎn)來解釋。Griffith沒有直接考慮裂紋尖端的應(yīng)力，繞過這一矛盾，而計算由于裂紋的存在，整個彈性板所釋放的彈性勢能為（參

3、看 5.4）(5.4)為簡便起見，設(shè)板的厚度為 1.其中E為楊氏彈性模量。由于裂紋的出現(xiàn)，增加的表面能為:(5.5)其中r為單位面積的表面能。Griffith認(rèn)為當(dāng)裂紋端部擴(kuò)展一小段長度da（裂紋長度從2a宀2a+2da）時，彈性勢能的釋放率dWc/da，如果大于或等于表面能的增加率dS/da，則裂紋處于不穩(wěn)定狀態(tài)，勢必進(jìn)一步擴(kuò)展，因此而得到裂紋擴(kuò)展的條件為dW dSda da將（5.4）, （5.6）代入上式，得臨界應(yīng)力d g為:G = . 2E 丨 / 二a(1 - 2)(平面應(yīng)變其中e、r是材料常數(shù)。上式最引人注目這之點(diǎn)在于g不僅與材料性質(zhì)有關(guān)，而且與裂紋長度有密切關(guān)系。它預(yù)言對于同一種

4、材料，如果a不同，二g也不同，但二g，a應(yīng)該為常數(shù)。為了驗證自己的理論，格里菲斯進(jìn)一步做了實(shí)驗。他用玻璃管及玻璃球作內(nèi)壓實(shí)驗，用金剛 鉆在試件上刻劃出不同長度的人為刻痕（預(yù)制裂紋），用實(shí)驗測出對于不同裂紋長度的臨界應(yīng)力，其實(shí)驗結(jié)果與理論預(yù)言符合是令人滿意的。Griffith的工作從思想方法上看，在兩點(diǎn)上突破了以往連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中研究材料強(qiáng)度時的傳統(tǒng) 觀念：（A） Griffith理論則建立在普遍適用的能量概念的基礎(chǔ)上。（B）以整個包含裂紋的物體作為研究對象，突破了傳統(tǒng)的局部分析方法。Griffith被認(rèn)為是斷裂力學(xué)的開創(chuàng)人。Griffith的工作建立在彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，因此只適用于所謂“理想脆性

5、材料”，即材料直到斷裂之前，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系仍是彈性的。這種破壞情況稱之為脆性斷裂，簡稱脆斷。由于在當(dāng)時的生產(chǎn)力水平條件下(如工程上多使用強(qiáng)度較低的韌性材料)，發(fā)生脆斷事故的情況不多，所以Griffith的工作在長達(dá)幾十年的時間里沒有受到足夠的重視。隨著生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，新的高強(qiáng)度鋼，超高強(qiáng)度鋼被研制出來并得到廣泛使用。再加 上機(jī)械與設(shè)備的大型化，焊接工藝的大量使用，工作條件的復(fù)雜多樣化(低溫、原子輻射、化學(xué) 腐蝕等)各種原因，工程上發(fā)生了一系列所謂低應(yīng)力脆斷事故。(即工作應(yīng)力低于屈服應(yīng)力時發(fā)生的脆性斷裂)。直接導(dǎo)致斷裂力學(xué)誕生的，是1950年美國北極星導(dǎo)彈發(fā)動機(jī)殼試驗時發(fā)生的爆炸事件。試驗爆

6、炸時的工作應(yīng)力只有700兆帕，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其屈服應(yīng)力 1600兆帕。事故發(fā)生后美國國防部建議美國材料試驗學(xué)會(ASTM)及美國國家宇航局(NASA)組織專門的機(jī)構(gòu)研究斷裂力學(xué)。Irwin與Orowan研究了材料的塑性對裂紋擴(kuò)展的影響，建議將 Griffith公式：G =、2E 丨 / 二a修改為二 g = 2 E (廠-Tp) / 7：a(5.8)其中rp為塑性功。根據(jù)低碳鋼實(shí)驗結(jié)果估計r p比r大三個數(shù)量級以上。1 / 2Sneddon(1946)從數(shù)學(xué)力學(xué)出發(fā)，證明了裂紋前緣的應(yīng)力分量具有r -階的奇異性。Irwin(1957)提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念。這個概念在斷裂力學(xué)中占有重要地位。斷裂韌

7、性測試技術(shù)也隨之建 立和發(fā)展起來。至此線彈性斷裂力學(xué)已奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。在六十、七十年代里斷裂力學(xué)得到飛速的發(fā)展。Dugdale(1960)得出考慮裂紋尖端塑性區(qū)的帶狀模型。Wells(1961)提出了裂紋頂端張開位移準(zhǔn)則。Rice(1968)提出用J積分作為斷裂擴(kuò)展的判據(jù)。Rice，羅森蘭和 Atkinson幾乎同時于1968年得到了硬化材料中裂紋端部彈塑性應(yīng)力漸近近似解(通常稱為R. H. H.解)。上述代表性的工作標(biāo)志著彈塑性斷裂力學(xué)取得了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展，但是比之線彈性斷裂力學(xué)，仍然存在不少根本性的有待解 決的問題。在斷裂動力學(xué)方面，莫特(1948)將動能項引入 Griffith理論的能量判

8、據(jù)中，但實(shí)質(zhì)上仍然是準(zhǔn) 靜態(tài)問題。Broburg (1960)得到了裂紋勻速擴(kuò)展的解。Yoffe(1951)計算了一個勻速擴(kuò)展但后面不斷愈合的裂紋問題。薛昌明 (G.C.Sih)、Kostrov(1966, 1975)及Fruend(1972)等人的工作進(jìn)一步豐富了 這個領(lǐng)域。范天佑(1990)詳細(xì)介紹了斷裂動力學(xué)的基本理論，并作出了補(bǔ)充和發(fā)展。Dmowska和Rice(1983)詳細(xì)綜述了斷裂力學(xué)理論及其在地震學(xué)中的應(yīng)用。 5.2柯洛索夫一Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)為了進(jìn)一步深入分析斷裂力學(xué)的有關(guān)問題，首先必須研究裂紋端部的應(yīng)力場與位移場。6.2.1裂紋的三種基本類型Irwin將簡

9、單裂紋分為三種類型(圖6.1)。丨型裂紋代表在垂直于裂紋面的拉應(yīng)力作用下，裂紋 表面位移垂直于裂紋面的情況，所以又稱之為張開型。II型及III型裂紋代表在剪應(yīng)力作用下，裂紋表面互相滑移的情形，稱之為剪切型裂紋。其中II型裂紋稱為面內(nèi)剪切型裂紋；III型裂紋稱之為面外剪切型或反平面裂紋。更復(fù)雜的裂紋，可以由這幾種簡單裂紋組合而成，稱之為復(fù)合型裂紋。復(fù)合型裂紋在第六章 中討論。在工程中，I型裂紋最重要。因此，I型裂紋也研究得最充分。在地學(xué)中，剪切型裂紋則具有 特殊重要的意義。522柯洛索夫一Muskhelishvili函數(shù)分析裂紋端部的應(yīng)力場與位移場有許多種數(shù)學(xué)方法，這里我們只介紹復(fù)變函數(shù)方法。在

10、第五 章中，我們已經(jīng)介紹了平面彈性力學(xué)問題和復(fù)變函數(shù)解法。以下就I型和II型兩種基本裂紋進(jìn)行討論。5.2.1.1 I型裂紋討論如圖5.2中所示的問題。一無限大平板，板內(nèi)有一長為2a的穿透裂紋，邊緣受到分布力Cxx =o ,匚yy - ；，.xy 的作用。本問題即為 Griffith所研究過的單軸拉伸的例子本問題的邊界條件如下：當(dāng)|z|二 0_ XX在裂紋表面上(y=0, |x|a),yy - 0 ,圖6.2單向拉伸 的中心穿透 裂紋0-xy(5.9)(5.10)利用 - .( ) =a( )/2，把z平面上的裂紋變換為平面上的單位圓(參見 4.3- 4.6)。利用向圓變換(Muskhelish

11、vili, 1953)，可得其解為:(Z)Gx ；yy z 二= 4Re(z)z .：代入柯洛索夫公式，當(dāng) ZT8,；yy -；xx 2i，xy z “： - 2 h ( Z )宀(Z ) ：-二(5.11)(1)虛部為 xy 1 z I： ： = 0實(shí)部為(yy -xx)z .y(2),聯(lián)立，得Cxx =0于裂紋面上(y =0,Tyy =；門:。證明無窮遠(yuǎn)處邊界條件已經(jīng)滿足。I X | :： a ),虛部為1 = 0xy實(shí)部為二 yy:二*x:二 yy =4 Re I(z) -y：-Cxx- 2i .xy =2z“(z) ：W(Z)=(4), (6)聯(lián)立，得Cyy =0,可見內(nèi)邊界條件也是滿

12、足的。(a)y ?不難看出，若；_-x;- =0，全部問題 Cyy MO, ,y J兩個問題的線性疊加%)曲/4, 代入柯洛索夫公式，得到CTxx =za2 一(5.15)2中ia 2z 2 3/2z a(3.29)就可以得到裂紋周圍的應(yīng)力場和位移場。但是，以下我們介紹另一種應(yīng)力函數(shù)，還可以更簡 便地得到裂紋周圍的應(yīng)力場和位移場。 5.3 Westergaarc應(yīng)力函數(shù)Westergaard(1939)提出一種方法，對于具有某種對稱性如圖5.2，圖5.3等所示的情況，可以用一個復(fù)變函數(shù) Z(z)(稱為Westergaard函數(shù))代替.:(z),(z)兩個函數(shù)，使問題得到簡化。由數(shù)學(xué)物理方法，任

13、一復(fù)變解析函數(shù)，其實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼條件，因此其實(shí)部和虛部必然分別是調(diào)和函數(shù)，即V 2U i = 0 , i =1,2,3。設(shè)U 1 , U 2和U 3分別為x, y的調(diào)和函數(shù)，則不 難證明U (x, yU 1 xU 2 yU 3 定滿足雙調(diào)和方程4U =0。(5.16)Westergaard(1939)定義了一個復(fù)應(yīng)函數(shù)Z (z)，設(shè)為解析函數(shù)。記 Z , Z， 為其導(dǎo)數(shù),么亍，表示它的積分。根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)，其導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力 分量之間的關(guān)系應(yīng)滿足(3.15)式。這樣，應(yīng)力函數(shù)就滿足了雙調(diào)和方程的條件。 5.4 I型裂紋對I型裂紋，Westergaard提出的

14、應(yīng)力函數(shù)為二 U (x,y)二 Re Z , ( z) - y Im Z , ( z)(5.17)根據(jù)(5.16)的證明可知，(5.17)所定義的U是平面問題的應(yīng)力函數(shù)，即滿足雙調(diào)和方程。(5.17)代入(3.15),得到 *XX；：2U(Re Z. y Im Z.) -2:y:y :y=-Im Z, - Im Z, y Re Z ,= Re Z , -y Im Z,.7*注5.1 :對上式的中間推導(dǎo)運(yùn)算規(guī)則給出以下證明：由Z = Re Z i Im Z ,Z = Re Z i Im Z ,：ZRe ZIm Zi;:x:x:xdZ dz.Z:xdz dx汕 Z =ImZ(A5.1)；：Re Z

15、Re Z ,又7為解析函數(shù)，應(yīng)滿足柯西-黎曼條件，即:Re Z ； Im Zjx_：yiRe Z ；： Im Ziy_：x得到：Im Z=Re Z:Re Z-Im Z.：y(A5.2) Re Z, (1 、. )y Im Z2(1 、.)-)Re Z. (1 心;:)y Im Z. -A(1 - v)利用(2.42)式,xx二.：u / ;：x ,積分可得到位移,對二yy和-xy也可以進(jìn)行類似的計算。但為了滿足遠(yuǎn)場不同的邊界條件，還需要在(5.17)式中添加一項雙調(diào)和實(shí)函數(shù)U 1，即U (x,y)二Re (z) - y Im (z) U (5.18)設(shè)2 u ； - _ Ax /2(5.19)

16、其中A為待定常數(shù)，與遠(yuǎn)場邊界條件有關(guān)。這樣U (x, y)仍為雙調(diào)和函數(shù)。得到Cxx = Re Z, z)，y Im lZ1(z A 五 =Re Z,z) |+y Im JZjzJA,(5.20)品=yRe Zjz)利用虎克定律得到應(yīng)變；xx , ；yy ,；xy ,再利用應(yīng)變與位移的關(guān)系做積分，就得到(注5.2)I k 1 i 2 -uRe Z y Im Z Ax(5.21)I 2丿 fk +12 !v = Im Z y Re Z AyI 2丿注 5.2： (5.21)式的推導(dǎo)(褚武揚(yáng)，1979, 253254)，利用虎克定律(3.8),1 1論二 E ,(匚xx i：；yy)=( 1；yy

17、(二 yy -；:；xx)二(1Eu = J&dx =丄1 _v) Re Zdx (1 +v) y Im Z dx +(1 +v) Ax 1+C其中積分常數(shù)C為剛體平移部分，故取C =0。由(A5.1)左式積分得Re zqx = Re Z I，由(A5.1)右式積分得Im Z I dx = Im Z。代入上式得1 I(A5.3)u(1v)Re Z(1 v)y Im Z I (1 亠 J)Ax將(3.13)代入上式就得到(5.21)第一式k _1(5.21a)又利用(2.42)式,yy = :V / .：y，得到v = J&dy =丄【1 _v) Re Z,dy +(1 +v) fy Im Z,

18、 dy _(1 +v)Ay 將右式同理，上式舍去了代表剛體平移的積分常數(shù)項。將(A5.2)左式積分得 ReZ.dy =Im 9Z換成z，得d ( _Re ZJ =Im Z dy。利用分部積分法y Im z I dy = yd Re Z J = y _ Re Z J _( _ Re Z)dy-_y Re Z ! - Im Z !代入上式就得v =丄(1 _v) Im Z - (：；v)( _y Re ZI Im Z)_ (1 v)Ay E 2Im N _(1 - v)y Re ZI _ (1 v)Ay 1(A5.4)E 將(3.13)代入上式得到(5.21)第二式k +1、2円=Im ZyRe

19、J _A(5.21b) + o(r- 2 7rsin-1/ 2)(5.27)(5.25)和(5.27)各應(yīng)力分量可以統(tǒng)一寫成K I.1 / 2ffj - $ fj(日)+o(r )(5.28)2皿其中0(1)表示與零階等量級的小量。圖5.6給出了 fj G)的函數(shù)曲線，其中a和b分別為直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的分量。(5.23)、在計算裂紋端部的位移時，忽略了均勻應(yīng)力場引起的位移，物體整體的剛性位移，將(5.22)、(A5.5)和(A5.6)式代入(5.21)可得裂紋端部(r a )的位移場為:Ki 、4 .! 1 2二卜Kiv 二-(2；1)coscos -i1 2 2 rd3 .(2 .”亠 1)

20、 si n s i n 二42二一221 / 2-o(r )(5.29)61在極坐標(biāo)中位移分量為e32 . -1) cos cos - -i2221)sin=_sin 紅22 JJuu(5.30)圖5.6 I型裂紋f牙(v)的函數(shù)曲線。(a)直角坐標(biāo)的分量；(b)極坐標(biāo)的分量(b)從式(5.25)很明顯看出，對于I型裂紋，無疑地I yy是最受關(guān)注的分量。當(dāng)時，J =0/、2丁 o(r丄/2)，其變化如圖yy5.6所示。圖5.7在二-.方向上的變化例題 證明I型Griffith裂紋變形后近似為一橢圓。證明：將式(5.22)代入(5.21)中并令y = 0，|x| a，2止一心嚇二1 2丿22M

21、4 利用(3.13),上式又可改寫為： 二la2 x22其中E由(3.7)給出。原裂紋面上的(X,0)點(diǎn)移動至X= x + U = (1 貯丁吐y：=v 。如令h =c；：/E , v。=2a；：/ E，則x =：hx裂紋半長度變成(b)變形后的裂紋形狀為y =vo . 1 _(x/ a)2 =v1 (x/ha )2 =v . 1 _(x/a)2(c)2 2 2(d)y x12 2Voa由此可見，I型Griffith裂紋變形后近似為一橢圓。I型裂紋的 Westergaard函數(shù)與柯洛索夫公式應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系將(5.20)式中的前兩式相加，得到；二:_-yy =2Re ZI(z)。將上式與(3

22、.28)式中；yy xx =4Re(z)相比，可知(z) =Z|(z)/2(5.32)又由裂紋面上的邊界條件(7)式可以看出，(Z)屮屮(z) =o產(chǎn)72 = -A 即屮(1z) = z(z) _ A2(5.33)因此兩種應(yīng)力函數(shù)對于I型裂紋是等效的。I型裂紋的Westergaard函數(shù)可以利用(5.32)得到，但是也可以用直接的辦法解決，參見注5.4。注5.4：單向拉伸I型裂紋的 Westergaard函數(shù)如圖5.2，無限寬板中心，有長為 2a的貫穿裂紋，在無限遠(yuǎn)處受分布力cxx =0，二yy仝，w =0的作用。求 Westergaard應(yīng)力函數(shù)。該問題的邊界條件為：(1) 裂紋內(nèi)部不受力。

23、即 y=0| X | ： a時，；一-yy =0。(2) 裂紋前端有應(yīng)力集中。即y=0 | x | . a時，匚yy - 0。且|X _a |越小，匚yy越大。(3) y=0 , |x|T8時， 5 7:，二xx =0.由(5.20)可知，當(dāng)y =0時，二yy ReZ_A，它是一個實(shí)函數(shù)。為了滿足后兩個邊界條件，最簡單的應(yīng)力函數(shù)可選為o產(chǎn)/( 1 a / x) + A考慮到對稱性，即當(dāng)x_；.:時二yy也為二.X ：: _a時二yy =.因此可取應(yīng)力函數(shù)為二：/1 (a/x)2 A(A5.7)由條件(5)還可以得出當(dāng)|x|t叱時S =!產(chǎn)+ 2 A =0，由此得A=_J72?？梢则炞C，(A5.

24、7)可以滿足(1),(2)兩個邊界條件。為了滿足第(3)邊界條件，使得當(dāng) y=0| x|：:a時，Zi的第一項應(yīng)為純虛函數(shù)， 這樣其實(shí)部就為零，；yy =A -A =0。而當(dāng)| x | a時，乙 的第一項為純實(shí)函數(shù)，就可以滿足這一要求。為此可把上面找到的函數(shù)的第一項開方，即_ :_ :xCTyCT y xZ|(x,0) = 丁+A =”二 + A222、1 .(a / x)i x .a因此當(dāng) y=0， |x 時，i CTZ|(x,0)2、a0y:A2-x即二=ReZ| A = i,當(dāng) |x | .a 時,匚yy = Re Z| (x,0) -A打x.AJ 22x - a這樣選擇的Z|(x,0)

25、就滿足了全部三個邊界條件。上述應(yīng)力函數(shù)是在 y =0 , z =x這個特殊條件下推出來的。對于y = 0的一般情況，可把上式中的x用z =x iy來代替，即Zi(z)2 2z a(A5.8)這個函數(shù) 乙(z)就能滿足單向拉伸I型裂紋的全部邊界條件。 5.5 II型裂紋如圖5.4所示。本問題的特點(diǎn)是反對稱于x軸。與I型方法相似，可得U ( x, y) _ _y Re Zd =2 Im Z + y Re Z J XXII丿II% = y Re z iiCTxy =Re Zii -y Im zii _B ”1 2Im ZH y Re Z H By 2；：一12 - vRe Z I I y I m Z

26、 I I Bx2(5.34)(5.35)(5.36)其中Z| i稱為II型裂紋的Westergaard函數(shù)。根據(jù)無窮遠(yuǎn)處的邊界條件式ZH(z)(5.12)，可取:(5.37)(5.13), (5.14)。仍采用裂紋前緣坐標(biāo)將(5.37)代入式(5.35)不難驗證完全滿足邊界條件式z =a +reil9 = a +U.將式(5.37)代入(5.35)、(5.36)，并利用在裂紋端點(diǎn)附近r/a + o( r亠2)(5.38)(5.39)其中23)sin= sin32 22 一3)cosE_cos 紅22j1 / 2-o(r )(5.40)稱之為II型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。在極坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量與位移

27、分量為:K、-rr(2兀| 2sin 1 - 3 sin|一2二-3 sin cos.2 2KI日 I q . 2q- _ cos 1 _3s i n.2 二r2Kii + o(r /2)(5.41)V2丿-J |_( 2直 _1) sin 包 +3 sin 4 心 2 二22日3 J_ ( 2 ” 亠 1) cos - 3 cos -22KK“2(5.38),(5.41)中的各應(yīng)力分量可以統(tǒng)一寫成K.一 2 二r1 / 2-o(r )(5.42)1 / 2fj () o(r -)63圖5.8給出了 fj(T的函數(shù)曲線，其中圖5.8(a)和圖5.8(b)分別為直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的分量。(a)(b

28、)圖5.8II型裂紋的Westergaard函數(shù)與柯洛索夫公式應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系。由(5.35)得到匚xx ；= =2lm Z ,由(3.28)得到匚q =4Re(z)，對比可以看出,川i：(z)Z (z)(5.43)2根據(jù)裂紋面上的邊界條件不難驗證，(z) - _z ：(z) 2 ：(z) iB ,因此(z)二丄 zZ“ (z) - iZ (z) iB(5.44)2 5.6皿型裂紋如圖5.9所示，在一無窮大板中央有一長為2a的穿透裂紋。在板的兩端作用以均勻剪應(yīng)力yz圖5.9 III型裂紋69本問題不是平面問題，故不能直接應(yīng)用彈性力學(xué)中平面問題的解法。但在此問題中各物理量(G , Ui)都與z

29、無關(guān)，只依賴于坐標(biāo) X, y,所以仍然是二維問題。通常稱之為反平面或法平面剪切問題。反平面剪切問題的特點(diǎn)是根據(jù)應(yīng)變分量與位移間的關(guān)系1 :w1 ;:w；yz2 jy其余四個應(yīng)變分量恒為XXyy =； xy =； zz 0。zz由虎克定律可得匚-xz =2；xzxzyz于是，三個平衡方程中兩個自動滿足，僅剩下一個為:xzjx:w；X:w-;yyz(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)以式(5.47)代入(5.48)得因此問題歸結(jié)為在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程，而ImZIIIw必須為調(diào)和函數(shù)。所以可以取(5.49)Ziii稱之為III型裂紋的 Westergaard函數(shù)。根據(jù)解析函數(shù)

30、的性質(zhì)，只要Z|為解析函數(shù)，則式(5.49)必然滿足調(diào)和方程。將式(5.49)代入式(5.47)得：(5.50)對于圖5.9所示的裂紋問題，其邊界條件為:(5.51)根據(jù)上述邊界條件取乙iizz = a ：卜re T - a ：；”:，在111 sin 十 o (r 丄 2)2:cos 二 o (r 丄/2 )2 二 r 22Kiii.2 二 r(5.53)sin 二-o (r1 /2 ) 2 二 2其中(5.54)稱為III型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。利用坐標(biāo)變換（見習(xí)題1）,得到山型裂紋在柱坐標(biāo)中的應(yīng)力分量為：Km日1,6 =6z cos 日 +!yz Sin 日=一sin _ +o（r 一.2

31、 二r2sin v - ；yz cos v -= cos o （r 亠J2兀，r2rz其余分量“ =冊=5日=Cfzz =0 ,應(yīng)力分量可以統(tǒng)一寫成 Jrr(5.55)c1 / 2fj ( V) - o(r )(b)圖6.10 III型裂紋fj M）的函數(shù)曲線圖6.10給出了 III型裂紋匚（引的函數(shù)曲線，其中圖 6.10a和圖6.10b分別為直角坐標(biāo)和柱坐 標(biāo)的分量。將上面I, II, III型三種裂紋端部的應(yīng)力場與位移場見式（5.25）、（5.3.14）、（5.38）、（5.39）、（5.53）的公式，歸納為統(tǒng)一的形式：叮Pr）uiKj2 二 r4 - . 2二J .1 /2g ( v) Or )其中K J （