圓中最值問(wèn)題

1、與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問(wèn)題引例1:【2012年武漢市中考】在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3 , 0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) C是第象限內(nèi)一點(diǎn)，且 AC=2設(shè)tan / BOC=m貝U m的取值范圍是 .引例2 :【2013年武漢市元月調(diào)考試題】如圖，在邊長(zhǎng)為 1的等邊 OAB中，以邊AB為直徑作O D,以O(shè)為圓 心OA長(zhǎng)為半徑作O O,C為半圓弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交O O于點(diǎn)E, BC=a , AC=b，求a b的最大值引例3:【2013年武漢市四月調(diào)考試題】如圖，/ BAC=60，半徑長(zhǎng)為1的圓O與/ BAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心,PA

2、長(zhǎng)為半徑的圓P交射線AB AC于D E兩點(diǎn)，連接DE貝懺段DE長(zhǎng)度的最大值為（）.A . 3 B . 63.31BkyCOAx一、題目分析：此題是一個(gè)圓中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也是圓中的最值問(wèn)題， 主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識(shí)的銜接1 .引例1:通過(guò)隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn) O A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為 特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對(duì)三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運(yùn)用；2 .引例2:通過(guò)圓的基本性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是

3、高中“柯西不等式”的直接運(yùn)用；3.弓側(cè)3:本例動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)由引例 1、引例2中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，增加為三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、 動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度， 解答中還是注意動(dòng)點(diǎn) D、E與一個(gè)定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件 （/ DAE=60 ）, 構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“ 正弦定理”的直接運(yùn)用；綜合比較、回顧這三個(gè)問(wèn)題，知識(shí)本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺(jué)去尋找、猜想關(guān)鍵位置來(lái)求解，但對(duì)其真正的幾何原理卻無(wú)法通透二、解題策略1 .直觀感覺(jué)，畫(huà)出圖形；2 .特殊位置，比較結(jié)果；3 .理性分析動(dòng)點(diǎn)過(guò)程中

4、所維系的不變條件，通過(guò)幾何構(gòu)建，尋找動(dòng)量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【2013年武漢市中考】 如圖，E、F是正方形 ABCD勺邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 AE DF,連接CF交 BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 【2014年武漢市四月調(diào)考試題】如圖，P為的O O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為O O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AP、AO分別與O O交于B、C兩點(diǎn).若O O的半徑長(zhǎng)為3, OP = 3，則弦BC的最大值為A. 2 3 .B . 3.C.6 .D. 3,2 .【2014年武漢市元月調(diào)考試題】.如圖，扇形AOD中，/ AOD = 90, OA =

5、 6,點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不 與點(diǎn)A和D重合），PQ丄OD于Q,點(diǎn)IOPQ的內(nèi)心，過(guò) 0,1和D三點(diǎn)的圓的半徑為 r 貝U當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（ ）A. 0 r 3B. r 3C . 3 r 3. 2D . r 3.2三、中考展望與題型訓(xùn)練 方法一、找出與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)（極端位置）1 .如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3,點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AD=2 M為BD的中 點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 CM長(zhǎng)度的取值范圍是2.如圖，O O的直徑為4, C為O O上一個(gè)定點(diǎn)，/ ABC=30，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧 Ab向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)

6、C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn).在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CD長(zhǎng)度的取值范圍為方法二、正弦定理如圖， ABC 中，/ BAC=60，/ ABC=45 ,CBOPBC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑作OOAB=2 . 2 , D是線段方法三、柯西不等式在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，2為半徑畫(huà)O 0, P是O 0上一動(dòng)點(diǎn)，且 P在第一象限內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作O 0的切線與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,線段AB長(zhǎng)度的最小值是.方法四、利用函數(shù)求最值如圖，已知半徑為2的OO與直線I相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

7、P作直線I的垂線，垂足為 C, PC與OO交于點(diǎn)D,連接PA PB,設(shè)PC的長(zhǎng)為x PD?CD勺值最大，且最大值是為時(shí),方法五、借助對(duì)稱求最值如圖，已知，OO的直徑CD為4,點(diǎn)A在O0上，/ ACD=30 , B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，求BP+AP的最小值【題型訓(xùn)練】1如圖，已知直線 I與O 0相離，0ALI于點(diǎn)A 0A=5 0A與O 0相交于點(diǎn)P,AB與O 0相切于點(diǎn)B, BP的延長(zhǎng)線交直線I于點(diǎn)C，若在O 0上存在點(diǎn)Q,(2v x V 4)，則當(dāng) x=3使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O 0的半徑r的取值范圍為 .2.如圖，O M O N的半徑分別為 2cm, 4cm

8、,圓心距MN=10cm P為O M上的任意一點(diǎn)，Q為O N上的任意一點(diǎn),直線PQ與連心線I所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、3Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，tan34的最大值為（）.(D)3.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90,Q,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（A.理B . 2445AC=8).BC=6經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA CB分別相交于點(diǎn)P、D .4.2(3題)(4題)ACD和等邊 BCE O 0外接于 CDE5.如圖，線段AB=4, C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AC BC為邊作等邊4.如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E不與點(diǎn)

9、A重合），線段EF長(zhǎng)度的最小值為過(guò)A、D、E三點(diǎn)作O O, O0交AC于另一點(diǎn)F,在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,則O 0半徑的最小值為（）.A.4 B. 2 3 C. 3 2 326.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2 , I一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 DA與y軸交于點(diǎn)D. 2C.0）、（0 , 2） , O C的圓心的坐標(biāo)為（-1 丘，則厶ABE面積的最小值是（2 二2,0），半徑為1,若D是O C上的).7.如圖，已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A. 3A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為射線AD與y軸交于點(diǎn)113& 如圖/ BAC= 60O P交射線AB，半徑長(zhǎng)AC于 D、9、如圖，已知線段0A交OO求/ OAP的最大值。10、如圖，ABF

10、分別是AC、BXZ艮D(zhuǎn).(7題)（-2 , 0）、（0 , 1） , O C的圓心坐標(biāo)為 丘，則厶ABE面積的最大值是（）.103(0 ,-1)（8題），半徑為1, D是OC上的1的O O與/ BAC的兩邊相切，P為O O上一動(dòng)點(diǎn)，以E兩點(diǎn)，連接DE則線段DE長(zhǎng)度的范圍為 .于點(diǎn)B,且0B= AB,點(diǎn)P是OO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的是O O的一條弦，點(diǎn)C是O O上一動(dòng)點(diǎn)，且/ ACB=30。，點(diǎn)E、 BC的中點(diǎn)，直線EF與O O交于G、H兩點(diǎn)，Rt AOB 中，OA=OB=3 J習(xí)，O O 的半徑為 111、如圖，在切線PQ （點(diǎn)Q為切點(diǎn)），求PQ的最小值12、在平面直角坐標(biāo)系

11、xOy中，以原點(diǎn)0為圓心的圓過(guò)點(diǎn) A （13, y=kx - 3k+4與O O交于B、C兩點(diǎn)，求弦BC的長(zhǎng)的最小值。y13、設(shè)AB是。0的動(dòng)切線，與通過(guò)圓心 0而互相垂直的 兩直線相交于A、B,O 0的半徑為r，求O曲OB的最小值14、如圖，圓O與正方形ABCD勺兩邊AB AD相切，E與圓AB=7求DE的最大值15、如圖，在。O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,位于直徑AB的異側(cè),過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,已知： O半徑為二聞/ ABC=，求 CQ的最大值16、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A (6, 0)， 點(diǎn)B (0，6)，動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的。0上，連接OC過(guò)O點(diǎn)作ODLOC OD與OO相交于點(diǎn)D (其中點(diǎn)C、 時(shí)針?lè)较蚺帕?，連接AB.ACBC,當(dāng)點(diǎn)C在OO上運(yùn)動(dòng)時(shí), 的面積的最大值.1117、如圖所示，已知 A(,yj , B(2, y2)為反比例函數(shù)y圖像上的兩點(diǎn),2x動(dòng)點(diǎn)P（x,O）在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段 AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)是（1A.（護(hù)）2C.（3，）218、如圖，定長(zhǎng)弦B.(1,0)5（,0）2CD在以AB為直徑的。O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A B不重合），M是CD的中點(diǎn),D.過(guò)點(diǎn)C作CP!AB于點(diǎn)P,