維數(shù)基與坐標(biāo)

1、第六章線性空間本次課的內(nèi)容： 3維數(shù)基與坐標(biāo) 4基變換與坐標(biāo)變換目的要求：掌握線性空間維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念復(fù)習(xí)：掌握過(guò)渡矩陣的概念及坐標(biāo)變換公式.線性空間定義:（1）設(shè)V是非空集合，P是一個(gè)數(shù)域加法（2） V的元素之間定義兩種運(yùn)算丿莎壬數(shù)乘例如：V對(duì)于加法與數(shù)乘封閉，則稱V為P上線性空間.pfxpn,pnn，注： 3維數(shù)基與坐標(biāo)第三章 n維向量空間的一切定義與性質(zhì)可以搬到任意線性空間中定義2（線性組合線性表出）（1） V是數(shù)域P中的一個(gè)線性空間， k!,k2,kP,： 1,： 2,，: r V,（一1）,（3） :- =kk2： 2kr ： r向量組1,2,-,亠是一個(gè)線性組合。稱向量:可以用

2、向量12,，r線性表出。定義3（等價(jià)）設(shè)1,2,，r ；（ 1）-1, 2/ , s（ 2）是V中的兩個(gè)向量組。如果（1）中的每個(gè)向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向 量組（1）可以用向量組（2）線性表出。如果（1）與（2）可以互相線性表，那么向量組（1）與（2 ）稱為等價(jià)的。定義4 線形看見(jiàn)V中向量 r,2,，：（-1）成為線形相關(guān)，如果在數(shù)域P中有r個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2, ,kr，使心 k2： 2 亠 亠 kr ： r =0。（3）如果向量12,，r不線形相關(guān)，就稱為 線形無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，向量組1,2，r稱為線形無(wú)關(guān)，如果等式（3）只有在 匕=k2二二kr - 0時(shí)才成立。性質(zhì)：

3、1 .單個(gè)向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是 =0.兩個(gè)以上的向量 1 2 a r線性相關(guān)的充分必要條件是其中有一個(gè)向量是其余的線性組合.2如果向量組1,：2,，亠線性無(wú)關(guān)，而且可以被 -1, -2/- , -s線性表出，那么 r s.由此推出，兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組，必定含有相同的個(gè)數(shù)的向量.3 .如果向量組1l,-,：線性無(wú)關(guān)，但向量組1,2,，:r，-:線性相關(guān),那么-可以被：r,2,，r向性表出，而且表法是唯一的.我們知道，對(duì)于幾何空間中的向量， 線性無(wú)關(guān)的向量最多是3個(gè)，而任意4個(gè)向量都是線性相關(guān)的.對(duì)于 n個(gè)元數(shù)組所組成的向量空間，有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.而任意 n+1個(gè)向量都是線

4、性相關(guān)的. 在一個(gè)線性空間中，究竟最多能有幾個(gè)線性武官的向量，顯然是線性空間的一個(gè)重要屬性.我們引入定義5(1) 如果在線性空間V中有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，(2) 沒(méi)有更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，那么V稱為無(wú)限維的.問(wèn)題1: Pxlpn,Pnn，- 它們維數(shù)各是多少？問(wèn)題2：n維向量的維數(shù)與線性空間的維數(shù)區(qū)別是什么？無(wú)限維空間是一個(gè)專門(mén)研究的對(duì)象，它與有限維空間有比較大的差別.在本課程中，我們主要討論有限維空間.在解析幾何中我們看到， 為了研究向量的性質(zhì)， 引入坐標(biāo)是一個(gè)重要的步驟.對(duì)于有限維空間，坐標(biāo)同樣是一個(gè)有力的工具.例 幾何空

5、間中引入了坐標(biāo)，任意向量可以由極大無(wú)關(guān)組線性表示3v2=10+ 21+ 302=X11+ X21+ X3013丿11定義6 (1) 在n維線性空間V中，n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 jj,，；n稱為V的一組基.(2)設(shè)是V中任一向量，于是；i,遼,，；線性相關(guān)，因此可以被基% ；2，線性表出：=6 a2；2 an ；n，其中系數(shù)a!,a2/ ,an是被向量和基；i,，；n唯一確定的，這組數(shù)就稱為 在基；!, ；2，,；n 下的坐標(biāo)，記為(ai,a2, ,an).問(wèn)題：(1)基與維數(shù)的關(guān)系是什么？(2)不知道維數(shù)如何確定基的個(gè)數(shù)？由以上定義看來(lái)， 在給出的空間V中的一組基之前，必須先確定V的維數(shù). 實(shí)際上

6、這兩個(gè)問(wèn)題是同時(shí)解決的.定理1(1) V為線性空間(2 ) 1,2,，n為線性無(wú)關(guān)的向量(3)V中任一向量都可以用它們線性表出則V是n維的，而 ,2,，n就是V的一個(gè)基證明既然宀，：,，n是線性無(wú)關(guān)的，那么V的維數(shù)至少是 n.為了證明V是n維的,只須證V中n+1個(gè)向量必定線性相關(guān).設(shè)1, -2 , nd是V中的任意n+1個(gè)向量，它們可以用1,2,，:線性表出.假如它們線性無(wú)關(guān).就有nW n +1,于是得出矛盾. 下面我們來(lái)看幾個(gè)例子.例1在線性空間pxn中,2nV1,x,x ,x是n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，而且每一個(gè)次數(shù)小于 n的數(shù)域P上的多項(xiàng)式都可以被它們線性表出， 所以P Xln是n維的，而1,

7、x,xnJ就是它的一組基.n _1在這組基下，多項(xiàng)式f (x) = a。anx的坐標(biāo)就是它的系數(shù)(ao,a1,如果在V中取另外一組基；1 曰，；2 H(X-a), ；n H(X-a)n.那么按泰勒展開(kāi)公式f (x) - f (a) f (a)(x - a)f z(a)(n-1)!(x-nVa)因此,f(x)在基；1, ；2,，；n下的坐標(biāo)是f(a), f(a),(n 4)(a)(n -1)!例2 在n維空間pn中，顯然引=（1,0，,0）, s =（o,1，,0）, I；n = （0,0,1）是一組基對(duì)每一個(gè)向量:-=（印82,an），都有:-=ai “ a2 ；2 亠亠 an ；n.所以（ai,a2,an）就是向量:-在這組基下的坐標(biāo).不難證明，H =（1,1，,1）, 嚴(yán)2 =（0,1，,1）, I ；n =（0,0,1）是Pn中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量在基, S,，呂n下，對(duì)于向量a =（ a1,a2/t ,an）,有:二 a1；1（a2-aJ；2（-務(wù)_1）；因此，在基；，；2,；n下