電影院座位設(shè)計(jì)

1、公選課數(shù)學(xué)建模論文*問(wèn)題 學(xué)號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 姓名： 年 月 日1 問(wèn)題的提出下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿(mǎn)意程度主要取決于視角和仰角.視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過(guò)分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過(guò). 設(shè)影院屏幕高h(yuǎn), 上邊緣距地面高H，地板線傾角，第一排和最后一排座位與屏幕水平距離分別為d和D, 觀眾平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）.已知參數(shù) h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1.1（單位：m）.(如圖所示)(1) 地板線傾角，問(wèn)最佳座位在什么地方.(2) 求地板線

2、傾角（一般不超過(guò)），使所有觀眾的平均滿(mǎn)意程度最大.(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿(mǎn)意程度.2 模型的假設(shè)21 在小于的范圍內(nèi)，觀眾都感到滿(mǎn)意，毫無(wú)不舒適感，且滿(mǎn)意程度相同.22 觀眾的滿(mǎn)意度只取決于仰角和視角，與其他因素?zé)o關(guān).23 同一排座位，觀眾的滿(mǎn)意程度相同.3 符號(hào)約定: 觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角（視角）（單位：度）: 觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角（仰角）（單位：度）: 地板線傾角（單位：度）: 影院屏幕高（單位：m）: 上邊緣距地面高（單位：m）: 第一排座位與屏幕水平距離（單位：m）: 最后一排座位與屏幕水平距離（單位：m）: 觀眾平均坐高（指眼

3、睛到地面的距離）（單位：m）L: 相鄰兩排座位間的間距（單位：m）l: 相鄰兩排座位間的水平間距（單位：m）n: 座位的總排數(shù)4模型的建立4.1 最佳座位（地板線傾角） 設(shè)屏幕所在直線為y軸，地面所在直線為x軸，在圖上建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示：oxy圖1仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，設(shè)某一觀眾的眼睛的坐標(biāo)為（x,y），則有： （） (1) （） (2)由公式可得： (3)將（1）、（2）式代入式（3），得： （） (4)又 （） (5)有： (6)作出仰角和視角沿著x軸的變化曲線，如圖2、圖3 所示：(單位:度)X(單位:米)圖2(單

4、位:度)X(單位:米)圖3由圖2、圖3可見(jiàn)，沿著x軸，仰角和視角都是單調(diào)遞減的.視角越大越好，即座位越往前越好，然而仰角太大（座位過(guò)于靠前）使人的頭部過(guò)分上仰，會(huì)引起不舒適感.要考慮觀眾的滿(mǎn)意程度就必須要同時(shí)考慮與的取值，最佳位置就是要在這兩者之間找到一個(gè)契合點(diǎn)，使觀眾對(duì)兩者的綜合滿(mǎn)意程度達(dá)到最大.然而與又存在一定的矛盾，要使大，也跟著大，小又跟著小，難以同時(shí)滿(mǎn)足，但在小于的范圍內(nèi)，觀眾都感到滿(mǎn)意，毫無(wú)不舒適感，且滿(mǎn)意程度相同，此時(shí)可以只考慮的取值.綜合以上的分析可得問(wèn)題一的求解模型為：由（6）式知道，、兩個(gè)函數(shù)都是角度，數(shù)值上有良好的可比性，可以簡(jiǎn)單地取其加權(quán)和作為單一目標(biāo)函數(shù).題目中沒(méi)有關(guān)

5、于優(yōu)先權(quán)及權(quán)重的規(guī)定，可以設(shè)的權(quán)重為， 的權(quán)重為，這里.這樣便有：max (*)s.t. 這里主觀設(shè)0.7，把（6）式代入（*）式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入已知參數(shù) h=1.8、 H=5、d=4.5、c=1.1、，用數(shù)學(xué)軟件Maple8.0求解得，最佳座位約在點(diǎn)（6.23,1.4）處，即所求最佳座位離屏幕的水平距離為6.23米，此處的仰角，視角.4.2使觀眾的平均滿(mǎn)意程度達(dá)到最大的地板線傾角值（一般不超過(guò)）設(shè)第i排觀眾的滿(mǎn)意度為，則所有觀眾的平均滿(mǎn)意程度，可見(jiàn)，平均滿(mǎn)意度S的大小由每一排的滿(mǎn)意度所決定，而又是由仰角和視角所決定，所以，要使觀眾的滿(mǎn)意程度達(dá)到最大，取決于兩個(gè)方面：（1） 仰角不超過(guò)的座位

6、所占的比例越大，觀眾的平均滿(mǎn)意程度就越大.（2） 所有座位的視角的均值越大，觀眾的平均滿(mǎn)意程度就越大.地板線傾角（）的改變將同時(shí)使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生改變，由（6）式可知，在某一座位（即x取某一定值），在（）逐漸增大的過(guò)程中，增大，則減小，仰角不超過(guò)的區(qū)域擴(kuò)大，即地板線傾角（）越大，仰角不超過(guò)的座位所占的比例越大，由（1）、（5）式可得，時(shí)x與的關(guān)系： （7）查閱相關(guān)資料可知，相鄰兩排座位間的間距一般為0.8m，隨著地板線傾角的變化，相鄰兩排座位間的間距不變，但相鄰兩排座位間的水平間距會(huì)發(fā)生改變. 地板線圖4由圖4可看出，相鄰兩排座位間的水平間距與地板線傾角的關(guān)系為 ，座位的總排數(shù)，

7、并限制最后一排觀眾的視高不要超過(guò)屏幕的上邊緣，用數(shù)學(xué)軟件MATLAB6.5編程求出使觀眾的平均滿(mǎn)意程度達(dá)到最大的地板線傾角值（）.（具體程序見(jiàn)附錄）算法設(shè)計(jì)思想：（1） 讓地板線傾角在內(nèi)逐一取值，步長(zhǎng)為0.01;（2） 讓x在4.5,19內(nèi)逐一取值，步長(zhǎng)為；（3） 對(duì)一個(gè)取定的，判斷x所在的位置仰角是否超過(guò)，若仰角超過(guò)，則該座位的綜合滿(mǎn)意度必須同時(shí)考慮仰角和視角的取值，否則，只需要考慮視角的取值，把所有座位的綜合滿(mǎn)意度相加，并求出觀眾的平均綜合滿(mǎn)意度，判斷此時(shí)的平均滿(mǎn)意度是否最大，最后一排的高度是否超過(guò)屏幕的上邊緣，并記下最大值時(shí)的取值；（4） 改變值，重新求值、判斷.計(jì)算結(jié)果為：，這個(gè)結(jié)果不

8、影響最后一排觀眾，所以使觀眾的平均滿(mǎn)意程度達(dá)到最大的地板線傾角約為.4.3 設(shè)計(jì)地板線形狀以進(jìn)一步提高觀眾的滿(mǎn)意程度由上兩問(wèn)可知，觀眾的滿(mǎn)意程度與仰角、視角和地板線傾角都有關(guān)，而每一座位到屏幕的水平距離（）基本固定不變，考慮觀眾的滿(mǎn)意度，就要考慮仰角、視角隨著y的變化情況.由（4）式可得： （8）由（8）式可知，當(dāng)x取某一定值時(shí)，隨y先增后減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.屏幕（0，3.2）（0，5）（0，4.1）圖5其實(shí)，由圖5我們可以很直觀的看出，當(dāng)觀眾的眼睛在屏幕的中垂線上時(shí)(即)，視角達(dá)到最大值，越往兩邊，視角就越小，當(dāng)x取某一定值時(shí)，視角都在處取得最大值.圖6為時(shí)隨y的變化曲線：圖6所以，要使每

9、一個(gè)座位所對(duì)應(yīng)的視角取最大值，對(duì)應(yīng)的y值應(yīng)在直線上.設(shè)計(jì)地板線應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面：（1） 第排座位所在的位置應(yīng)高于第排座位所在的高度（）；（2） 前一排的觀眾不會(huì)擋住后一排觀眾的視線；（3） 視角盡可能大，即眼睛的位置應(yīng)盡可能分布在直線的附近；（4） 仰角的座位所占的比例盡可能大.由上述可知，當(dāng)觀眾的眼睛在上時(shí)，視角達(dá)到最大值，所以在設(shè)計(jì)地板線時(shí)，應(yīng)盡量使觀眾的眼睛分布在的附近.在影院的最后一排作一與屏幕平行且等長(zhǎng)等高的線段，連接屏幕的下端與線段的上端，記此連接直線為，取座位區(qū)域的中點(diǎn)M，平移直線使其經(jīng)過(guò)中點(diǎn)M，把地板線設(shè)計(jì)在與直線平行且在此直線的正下方與此直線相距1.1米處，如圖7所示： (

10、11.75,4.1)(19,4.1)(0,5)(0,4.1)(0,3.2)(4.5,4.1)屏幕地板線(19,5)(19,3.2)COxy圖7由圖7可得：地板線的傾角：第一排觀眾眼睛所在的位置離地面的高度：（m）第一排觀眾的仰角：地板線前端離地面的高度：（m）地板線所在的直線：若觀眾的眼睛都在直線上，就都能無(wú)遮擋的看到整個(gè)屏幕，又能使觀眾的眼睛盡可能分布在的附近，且在此區(qū)域內(nèi)，所有觀眾的仰角都在以?xún)?nèi)，此時(shí)觀眾的平均滿(mǎn)意度可達(dá)到最大.根據(jù)最優(yōu)地板線的設(shè)計(jì)知道，第一排座位以下（2.31m）都是空置的，這樣既浪費(fèi)建筑材料，又浪費(fèi)空間，我們可以把屏幕與地板線整體向下移動(dòng)2.31m，這樣既不影響觀眾的平

11、均滿(mǎn)意度，又能節(jié)省材料與空間，操作性更強(qiáng).5 模型的評(píng)價(jià)與推廣51模型的評(píng)價(jià) 5.1.1 模型的優(yōu)點(diǎn)： （1） 模型能抓住影響觀眾滿(mǎn)意程度的主要因素（仰角和視角），合理構(gòu)造滿(mǎn)意度函數(shù)，過(guò)程清晰明了，結(jié)果科學(xué)合理.（2） 模型具有較好的通用性，實(shí)用性強(qiáng)，對(duì)現(xiàn)實(shí)有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義.5.1.2 模型的不足以及需要改進(jìn)的地方：（1） 模型主觀假設(shè)同一排座位觀眾的滿(mǎn)意程度相同，實(shí)際情況并非如此，這就使得我們的模型對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有一定的局限性.（2） 模型建立的過(guò)程中，以觀眾眼睛所在的點(diǎn)為坐高點(diǎn)，沒(méi)有考慮前排觀眾額部對(duì)后排觀眾的遮擋，在第三問(wèn)中，我們把（連接屏幕的下端與線段的上端，記此連接直線為）適當(dāng)下移

12、，在使觀眾的平均滿(mǎn)意程度達(dá)到更大的同時(shí)，也避免了遮擋情況的出現(xiàn).52 模型的推廣我們建立模型的方法和思想對(duì)其他類(lèi)似的問(wèn)題也很適用，本文所建立的模型不但能指導(dǎo)多媒體教室的設(shè)計(jì)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)籃球的設(shè)計(jì)也具有參考意義.運(yùn)用我們所建立的模型，對(duì)于已知剖面來(lái)分析物體的形狀這一類(lèi)型的問(wèn)題的處理有很好的參考價(jià)值.例如：運(yùn)用該模型去解決房間的布局，旗桿高度的設(shè)計(jì)等相關(guān)的問(wèn)題. 參考文獻(xiàn)：1 姜啟源數(shù)學(xué)模型(第三版)M北京：高等教育出版社，20032 洪毅等經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型M廣東：廣東華南理工大學(xué)出版社，19983 王庚實(shí)用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模M安徽：安徽大學(xué)出版社，20004 李海濤、鄧櫻等MATLAB程序設(shè)計(jì)教程M北京：高等教育出版社，20045 李世奇、杜慧琴等Maple計(jì)算機(jī)