一元二次方程知識(shí)點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)

1、一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理（1）含有個(gè)未知數(shù)。（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是1、概念 （3）是方程。（4） 一元二次方程的一般形式是 。（1）法，適用于能化為x m）2 n n 0 的一元二次方程元二方程（2）法，即把方程變形為ab=0的形式，2、解法（a, b為兩個(gè)因式）,則a=0或（3）法（4） 法，其中求根公式是 根的判別式 r當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（5） 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有沒有的實(shí)數(shù)根。f可用于解某些求值（1）元二次方程的應(yīng)用（2）（3）可用于解決實(shí)際問題的步驟 （4）（5）（6）知識(shí)點(diǎn)歸類 知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊

2、為 0,而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式， 那么這樣 的方程叫做一元二次方程。注意：1、一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)： 方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2、同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于x的方程，哪些是一元二次方程？ 2 - r3 ；2） x2 6x 0 ；（3）. x x 5 ；（4） x2 0 ；（5）2x（x 3） 2x2 1x 5知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0 （a, b, c是已知數(shù)，a 0）。其中a, b, c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：（1） 二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一

3、次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3） 形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng) a 0時(shí)是一元二次方程。例1已知關(guān)于x的方程m1xm2 mix 2 0是一兀二次方程時(shí)，則m 知識(shí)點(diǎn)三一兀二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，女口：當(dāng)x 2時(shí)，x2 3x 20所以x 2是x2 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識(shí)點(diǎn)四建立一兀二次方程模型建立元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)

4、系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）雞場建立一兀二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系 例如圖（1），有一個(gè)面積為150川的長方形雞場 雞場一邊靠墻（墻長18m），另三邊用竹籬笆圍成， 若竹籬笆的長為35m，求雞場的長和寬各為多少？因式分解法、直接開平方法 知識(shí)點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程 如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于 0,即若pq=O時(shí)，則p=0或q=0 用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1

5、）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（1）5x2 4x ；（2） （2x23）250 ；（3） x2 6x 95 2x 2 。知識(shí)點(diǎn)二直接開平方法解一元二次方程若 x2 a a0，則x叫做a的平方根，表示為xa，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1） x2 a a0的解是x、a ； （ 2） x m 2n n 0的解是x、n m ；2（3） mx ncm 0,且 c0的解是x亠2-n。m例用直接開平方法解下列一元二次方程（1）9x2 16 0 ； （2） x 5 2 16

6、0 ；（3） x 5 2 3x 1 2 （因式分解）知識(shí)點(diǎn)三 靈活運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程形如 ax b 2 k 0 k 0 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。 例 運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。（1）4 x 5 2 36 0 ； （2） 1 2x 2 3 0知識(shí)點(diǎn)四 用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式 （方程右邊為 0 時(shí)）的公因式提出， 將多項(xiàng)式寫出因式的乘積形式， 然后利用“若pq=O時(shí)，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如 ： 0.01t 2 2t 0 ， 將 原 方 程 變 形 為 t 0.01t

7、 20 ， 由 此 可 得 出t0或 0.0t2 0，即 t10,t2200注意：在解方程時(shí)，千萬注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。知識(shí)點(diǎn)五 形如“ x 2a b x b 0 a,b為常數(shù)的方程的解法。對于形如“ x2a b x b 0 a, b為常數(shù)的方程（或通過整理符合其形式的）可將左邊分解因 式， 方程變形為 x a x b0 ， 則 x a 0或 x b 0 ， 即x1a,x2b 。a b x b 0 a,b為常數(shù)”型方注意：應(yīng)用這種方法解一元二次方程時(shí)，要熟悉“ x2程的特征。2) x2 x 120例 解下列方程：（1） x 2 5x 60 ；

8、配方法知識(shí)點(diǎn)一配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含 未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開 平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程 x2 px q 0，當(dāng)對方程的左邊配方時(shí)，一定記住 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例用配方法解下列方程：（1） x2 6x 5 0 ；（2） x2 x 2 02知識(shí)點(diǎn)二用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1）在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（

9、2）把原方程變?yōu)閤 m 2 n的形式。（3） 若n 0，用直接開平方法求出x的值，若n 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2）=b24ac=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3）=b24ac v 0方程沒有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式; 確定a,b.c的值；計(jì)算b2 4ac的值；根據(jù)b2 4ac的符號(hào)判定方程根的情況。 例 不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）2x2 3x 5 0；（2）9x2 30x 25 ；（3）x2 6x 10 0知識(shí)點(diǎn)四根的判別式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 0中，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac 0

10、(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac =0(3) 方程沒有實(shí)數(shù)根b2 4ac v 0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。例 m為何值時(shí)，方程2m 1 x2 4mx 2m 3 0的根滿足下列情況:(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù);(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)沒有實(shí)數(shù)根;知識(shí)點(diǎn)五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若XiK是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩個(gè)根，則有x1 x2- , x1 x2 -aa根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：例已知方程2x2 5x 30的兩根為xX2，不解方程，求下列各式的值2 2(1) XiX

11、2 ；(2)捲2 x2。(1)2X12X2X12X22X1X2丄X11X1x2X2X1 x2(3)(X1a )(X2a)x1x2a x12X2a(4)1 X1X2 1=.x1x2 $ =x12X24x1X2知識(shí)點(diǎn)六根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問題時(shí)， 要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例 當(dāng)x取什么值時(shí)，代數(shù)式x2 x 6 0與代數(shù)式3x 2的值相等?一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。 關(guān)鍵點(diǎn)：找出

12、題中的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法： （1）若基數(shù)為a,增長率x為，則一次 增長后的值為al x，兩次增長后的值為al x 2 ；（ 2）若基數(shù)為a,降低率x為，則一次降 低后的值為al x，兩次降低后的值為al x 2。例某農(nóng)場糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000噸增加到3630噸，設(shè)這兩年的年平均增長率為x，列出 關(guān)于x的方程為知識(shí)點(diǎn)三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)；（2）利潤率=（銷售價(jià)一進(jìn)貨價(jià)）*進(jìn)貨

13、價(jià)X 100%;（3）銷售額=售價(jià)X銷售量例 某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高 售價(jià)，減少進(jìn)貨價(jià)的方法增加利潤，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷量減少10件。（1）要使每天獲得700元，請你幫忙確定售價(jià)。（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷, 注意一元二次方程一般形式中a 0.（2） 用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).一元二次方程測試題一、選

14、擇題1、 若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一個(gè)根為0，貝U m的值等于（）A、1B、2C、1 或 2D、02、 巴中日報(bào)訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45萬噸提升到50萬噸， 設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長率為x，則可列方程為（）2 2A. 45 2x 50 B. 45（1 x） 50 C. 50（1 x） 45 D. 45（1 2x）503、 已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2 nx 1 0的兩實(shí)數(shù)根，則式子-的值是（）a bA. n2 2 B. n2 2 C. n2 2 D. n2 24、 已知a、b、c分別是三角形的三邊，則方

15、程（a + b）x 2 + 2cx + （a + b） = 0的根的情況A.沒有實(shí)數(shù)根B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5、已知m,n是方程x2 2x 1 0的兩根，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，則a的值等于( )A. 5B.5C.-9D.9&已知方程x2 bx a 0有一個(gè)根是a(a 0)，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是()aA. ab B . - C . a b D . a bb7、 x2 2x 2 0的一較小根為xn下面對捲的估計(jì)正確的是()A.2xi1 B.1 xi 0C.0xi1D.1 Xi 28、關(guān)于x的一元二次方程x2mx

16、2m 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是人、x?，且x2x；7，則* X2)2的值是()A. 1B . 12C . 13D . 259、某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了 2450張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為()x( x 1)A、x(x 1) 2450 B、x(x 1) 2450 C、2x(x 1) 2450 D、245022 210、 若關(guān)于x的一元二次方程k 1x X k0的一個(gè)根為1,則k的值為()A . 1B . 0C . 1D . 0 或 111、 設(shè)a，b是方程x2 x 2009 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2 2a b的值為(

17、)A . 2006 B. 2007C. 2008D. 200912、對于一元二次方程 ax2+bx+c=O(aM 0)，下列說法： 若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有實(shí)數(shù)根； 若b2+4ac0,則方程ax2+bx+c=O一定有實(shí)數(shù)根； 若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=O一定有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根； 若方程ax2+bx+c=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝U方程cx2+bx+a=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.其中正確的是()A B C D 二、填空題1若一元二次方程x(a 2)2 b2 4 的值為.5、在等腰 ABC中，三邊分別為a、b、c ,其中a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ABC的周長為.2 26、已知關(guān)于x的一元二次方