新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系優(yōu)秀教案

1、備課資料備用習(xí)題 在正方體abcda1b1c1d1中，a1c與面dbc1交于o點(diǎn)，ac、bd交于m，如圖23.圖23求證：c1、o、m三點(diǎn)共線.證明：c1、o、m平面bdc1,又c1、o、m平面a1acc1,由公理2，c1、o、m在平面bdc1與平面a1acc1的交線上,c1、o、m三點(diǎn)共線.(設(shè)計者：趙冠明)第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本章教材分析 本章將在前一章整體觀察、認(rèn)識空間幾何體的基礎(chǔ)上，以長方體為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；通過大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言

2、表述幾何對象的位置關(guān)系，初步體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題. 本章主要內(nèi)容：2.1點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì).2.1節(jié)的核心是空間中直線和平面間的位置關(guān)系.從知識結(jié)構(gòu)上看，在平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，由易到難順序研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系.本章在培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3節(jié)內(nèi)容的編寫是以“平行”和“垂直”的判定及其性質(zhì)為主線展開，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)；直線和平

3、面垂直、平面和平面垂直的判定和性質(zhì). “平行”和“垂直”在定義和描述直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系中起著重要作用.在本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化. 本章教學(xué)時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1.1平面約1課時2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系約1課時2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系約1課時2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系約1課時2.2.1直線與平面平行的判定約1課時2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)約1課時2.2.22.2.4平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質(zhì)約1課時2.3.

4、1直線與平面垂直的判定約1課時2.3.2平面與平面垂直的判定約1課時2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)約1課時2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)約1課時本章復(fù)習(xí)約1課時2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 平面整體設(shè)計教學(xué)分析 平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準(zhǔn)確地理解平面,教材重點(diǎn)介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書中的三個公理,這也是本節(jié)的重點(diǎn).另外,本節(jié)還應(yīng)充分展現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換.三維目標(biāo)1.正確理解平

5、面的幾何概念,掌握平面的基本性質(zhì).2.熟練掌握三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,結(jié)合三個公理的應(yīng)用會證明共點(diǎn)、共線、共面問題.3.通過三種語言的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)語言的美,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.重點(diǎn)難點(diǎn) 三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,利用三個公理證明共點(diǎn)、共線、共面問題.課時安排 1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 大家都看過電視劇西游記吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點(diǎn)，他的運(yùn)動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認(rèn)識數(shù)學(xué)中的平面.思路2.(事例導(dǎo)入)觀察長方體（圖

6、1），你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖1 長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;平面的畫法與表示方法;如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？直線與平面有一個公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個公共點(diǎn)才能判斷直線在平面內(nèi)？根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個點(diǎn)能確定一個平面？如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，它

7、們的位置關(guān)系如何？請畫圖表示;描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？自己總結(jié)三個公理的有關(guān)內(nèi)容.活動：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對有困難的學(xué)生可提示如下：回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.確定一條直線需要幾個點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個點(diǎn)確定.兩個平面不可能僅有一個公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o限延展性.文字語言、圖形語言、符號語言.平面的基本性質(zhì)小

8、結(jié).討論結(jié)果：平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因?yàn)樗遣患佣x的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3. 圖2 圖3 平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母、的前面加“平面

9、”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面abcd（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面ac（圖5）. 圖4 圖5下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)a在直線a上（或直線a經(jīng)過點(diǎn)a）aa元素與集合間的關(guān)系點(diǎn)a在直線a外（或直線a不經(jīng)過點(diǎn)a）aa點(diǎn)a在平面內(nèi)（或平面經(jīng)過點(diǎn)a）a點(diǎn)a在平面外（或平面不經(jīng)過點(diǎn)a）a直線上有一個點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在

10、一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述. 空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：若aa,ba,且a,b,則a. 圖6 圖7請同學(xué)們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.若aa,ba,且a,b,則a.如圖（圖7）.在生活中，我們常?？梢钥?/p>

11、到這樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀等等. 上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一.我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.問：兩個平面會不會只有一個公共點(diǎn)？不會，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)

12、有很多公共點(diǎn).正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個公共點(diǎn)，必有無數(shù)個公共點(diǎn).那么這無數(shù)個公共點(diǎn)在什么位置呢？可見，這無數(shù)個公共點(diǎn)在一條直線上. 這說明，如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：p,且p=l,且pl.圖9 公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點(diǎn).也就是說，如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個公共點(diǎn)，只要找出這兩個平面的兩個公共點(diǎn)，就找出了它們的交線. 由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據(jù)

13、，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)應(yīng)用示例思路1例1 如圖10，用符號語言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動：學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價.解：在（1）中，=l,a=a,a=b.在（2）中，=l,a,b,al=p,bl=p.變式訓(xùn)練1.畫圖表示下列由集合符號給出的關(guān)系：(1)a,b,al,

14、bl;(2)a,b,ac,bc=p,=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面平面=l，直線ab，abl，eab，直線ef=f，fl;（2）平面平面=a，abc的三個頂點(diǎn)滿足條件:aa，b，ba，c，ca.答案：如圖12.圖12點(diǎn)評：圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號表示出來.(2)根據(jù)符號，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.例2 已知直線a和直線b相交于點(diǎn)a.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.圖13證明：如圖13,點(diǎn)a是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)b，b上取一點(diǎn)c

15、，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)a、b、c有一個平面，因?yàn)閍、b在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面內(nèi),同理直線b在平面內(nèi)，即平面是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因?yàn)閍、b在a上，a、c在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點(diǎn)a、b、c.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)a、b、c的平面有且只有一個，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個.變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為a、b、c、d、e、f,圖14直線a直線b=a,直線a和直線b確定平面設(shè)為，即a,b.b、ca，e、fb,b、c、e、f.而b、fc，c、ed,

16、c、d,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點(diǎn)評：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點(diǎn).(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.思路2例1 如圖15，已知=ef,a,c、b,bc與ef相交，在圖中分別畫出平面abc與、的交線.圖15活動：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對作圖不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.解：如圖16所示，連接cb，c,b,直線cb.圖16直線cb平面abc，平面abc=直線cb.設(shè)直線cb與直線ef交于d,=ef,d,d平面abc.a,a平面abc，平面abc=直線ad.

17、變式訓(xùn)練1.如圖17，ad平面=b,ae平面=c，請畫出直線de與平面的交點(diǎn)p，并指出點(diǎn)p與直線bc的位置關(guān)系.圖17解：ad和ac是相交直線，它們確定一個平面abc，它與平面的交線為直線bc，de平面abc，de與的交點(diǎn)p在直線bc上.2.如圖18，正方體abcda1b1c1d1的棱長為8 cm，m、n、p分別是ab、a1d1、bb1的中點(diǎn)，圖18(1)畫出過m、n、p三點(diǎn)的平面與平面a1b1c1d1的交線，以及與平面bb1c1c的交線.(2)設(shè)過m、n、p三點(diǎn)的平面與b1c1交于點(diǎn)q，求pq的長.解：(1)設(shè)m、n、p三點(diǎn)確定的平面為，則與平面aa1b1b的交線為直線mp，設(shè)mpa1b1=

18、r，則rn是與平面a1b1c1d1的交線，設(shè)rnb1c1=q，連接pq，則pq是所要畫的平面與平面bb1c1c的交線.如圖18.(2)正方體棱長為8 cm，b1r=bm=4 cm，又a1n=4 cm，b1q=a1n,b1q=4=（cm）.在pb1q中，b1p=4 cm，b1q=cm，pq=cm.點(diǎn)評：公理3給出了兩個平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點(diǎn)和交線.例2 已知abc三邊所在直線分別與平面交于p、q、r三點(diǎn)，求證：p、q、r三點(diǎn)共線.解：如圖19,a、b、c是不在同一直線上的三點(diǎn),圖19過a、b、c有一個平面.又ab=p，且ab,點(diǎn)p既在內(nèi)又在內(nèi).設(shè)=l,則pl,同理可證：

19、ql,rl,p、q、r三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練 三個平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點(diǎn). 已知平面、兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求證：l1、l2、l3相交于一點(diǎn).證明：如圖20，=l1，=l2，=l3，圖20l1，l2，且l1、l2不平行,l1與l2必相交.設(shè)l1l2=p，則pl1,pl2,p=l3.l1、l2、l3相交于一點(diǎn)p.點(diǎn)評：共點(diǎn)、共線問題是本節(jié)的重點(diǎn)，在高考中也經(jīng)?？疾?，其理論依據(jù)是公理3.知能訓(xùn)練 畫一個正方體abcdabcd，再畫出平面acd與平面bdc的交線，并且說明理由.解：如圖21,圖21fcd，f平面acd.

20、eac，e平面acd.ebd，e平面bdc.fdc，f平面dcb.ef為所求.拓展提升 o1是正方體abcda1b1c1d1的上底面的中心，過d1、b1、a作一個截面，求證：此截面與對角線a1c的交點(diǎn)p一定在ao1上.解：如圖22,連接a1c1、ac，圖22因aa1cc1，則aa1與cc1可確定一個平面ac1，易知截面ad1b1與平面ac1有公共點(diǎn)a、o1，所以截面ad1b1與平面ac1的交線為ao1.又pa1c，得p平面ac1，而p截面ab1d1，故p在兩平面的交線上，即pao1.點(diǎn)評：證明共點(diǎn)、共線問題關(guān)鍵是利用兩平面的交點(diǎn)必在交線上.課堂小結(jié)1.平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是

21、無限延展性.2.通過三個公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)3.利用三個公理證明共面、共線、共點(diǎn)問題.作業(yè)課本習(xí)題2.1 a組5、6.設(shè)計感想 本節(jié)的引入精彩獨(dú)特，用如來佛的手掌形象地刻畫了平面的基本特征；本節(jié)設(shè)計了較多的語言轉(zhuǎn)換題目，反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生的讀圖、作圖能力，以及用符號語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的能力，因?yàn)檫@是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，是本節(jié)的重點(diǎn)；本節(jié)的難點(diǎn)是利用三個公理證明共面、共線、共點(diǎn)問題，本節(jié)設(shè)計了大量題目來突破這一難點(diǎn)，每個題目都精彩活潑難度適中，我相信這是一節(jié)值得期待的精彩課例.備課資料備用習(xí)題1.在空間，有下

22、列命題：有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；四邊相等的四邊形是菱形；平行于同一條直線的兩條直線平行；有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中正確的個數(shù)為（ ）a.1 b.2 c.3 d.42.三個角是直角的四邊形（ ）a.一定是矩形 b.一定是空間四邊形c.是四個角為直角的空間四邊形 d.不能確定3.以下四個命題：圓上三點(diǎn)可確定一個平面；圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個平面；四條平行線確定六個平面；不共線的五點(diǎn)可以確定一個平面，則必有三點(diǎn)共線.其中正確的是（ ）a. b. c. d.4.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（ ）a.平行或異面 b.相交或異面 c.異面

23、d.相交5.若a和b異面，b和c異面，則（ ）a.ac b.a和c異面c.a和c相交 d.a與c或平行或相交或異面6.若直線a、b、c滿足ab，bc，則a與c的關(guān)系是（ ）a.異面直線 b.平行直線c.垂直 d.相交7.如果ab，那么a與b（ ）a.一定相交 b.一定異面 c.一定共面 d.一定不平行答案：1.b 2.d 3.a 4.b 5.d 6.c 7.d(設(shè)計者：于新彬)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系整體設(shè)計教學(xué)分析 空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何中最基本的位置關(guān)系，直線的異面關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明

24、方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎(chǔ)，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎(chǔ)，請注意知識之間的相互關(guān)系，準(zhǔn)確把握兩異面直線所成角的概念.三維目標(biāo)1.正確理解空間中直線與直線的位置關(guān)系,特別是兩直線的異面關(guān)系.2.以公理4和等角定理為基礎(chǔ)，正確理解兩異面直線所成角的概念以及它們的應(yīng)用.3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn) 兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.課時安排 1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入） 在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過（假設(shè)它們的軌跡為直線），請同學(xué)們討論這兩直線的位置關(guān)系.學(xué)生：有可能平行，有可能

25、相交，還有一種位置關(guān)系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一樣.教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關(guān)系還可以舉出很多，又如學(xué)校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關(guān)系.思路2.（事例導(dǎo)入） 觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體abcdabcd中，線段ab所在的直線與線段cc所在直線的位置關(guān)系如何？圖1推進(jìn)新課新知探究提出問題什么叫做異面直線？總結(jié)空間中直線與直線的位置關(guān)系.兩異面直線的畫法.在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空間這個結(jié)論成

26、立嗎？什么是空間等角定理？什么叫做兩異面直線所成的角？什么叫做兩條直線互相垂直？活動：先讓學(xué)生動手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.討論結(jié)果：異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的，以否定形式給出的問題一般用反證法證明.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種.結(jié)合長方體模型(圖1)，引導(dǎo)學(xué)生得出空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：教師再次強(qiáng)調(diào)異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如圖2.圖2組織學(xué)生思考：長方體abcdabcd中，如圖1,bbaa，ddaa,bb與dd平行嗎？通過觀察得出結(jié)論：b

27、b與dd平行.再聯(lián)系其他相應(yīng)實(shí)例歸納出公理4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示為：ab,bcac.強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用.公理4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應(yīng)用.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢？生：可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖3，異面直線a、b，在空間中任取一點(diǎn)o，過點(diǎn)o分別引aa，bb，則a，b所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.圖3針對這個定義，我們來思考兩個問題.

28、問題1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點(diǎn)o有無限制條件？答：在這個定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的.若在空間中，再取一點(diǎn)o（圖4），過點(diǎn)o作aa，bb，根據(jù)等角定理，a與b所成的銳角（或直角）和a與b所成的銳角（或直角）相等，即過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點(diǎn)位置無關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時，為了方便，可將點(diǎn)o取在a或b上（如圖3）.圖4問題2：這個定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒有矛盾.當(dāng)a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所

29、成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖5）.圖5應(yīng)用示例思路1例1 如圖6，空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn).圖6求證：四邊形efgh是平行四邊形.證明：連接eh，因?yàn)閑h是abd的中位線，所以ehbd，且eh=.同理，fgbd，且fg=.所以ehfg，且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.變式訓(xùn)練1.如圖6，空間四邊形abcd中

30、，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn)且ac=bd.求證：四邊形efgh是菱形.證明：連接eh，因?yàn)閑h是abd的中位線，所以ehbd，且eh=.同理，fgbd，efac，且fg=,ef=.所以ehfg，且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.因?yàn)閍c=bd,所以ef=eh.所以四邊形efgh為菱形.2.如圖6，空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn)且ac=bd，acbd.求證：四邊形efgh是正方形.證明：連接eh，因?yàn)閑h是abd的中位線，所以ehbd，且eh=.同理，fgbd，efac，且fg=，ef=.所以ehfg，且eh=fg.所以四

31、邊形efgh為平行四邊形.因?yàn)閍c=bd，所以ef=eh.因?yàn)閒gbd，efac，所以feh為兩異面直線ac與bd所成的角.又因?yàn)閍cbd，所以efeh.所以四邊形efgh為正方形.點(diǎn)評：“見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行常用的方法.例2 如圖7，已知正方體abcdabcd.圖7(1)哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？(2)直線ba和cc的夾角是多少？(3)哪些棱所在直線與直線aa垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱ad、dc、cc、dd、dc、bc所在直線分別與ba是異面直線.(2)由bbcc可知，bba是異面直線ba和cc的夾角，bba=45，所以直線ba和cc的夾角為45

32、.（3）直線ab、bc、cd、da、ab、bc、cd、da分別與直線aa垂直.變式訓(xùn)練 如圖8，已知正方體abcdabcd.圖8（1）求異面直線bc與ab所成的角的度數(shù)；(2)求異面直線cd和bc所成的角的度數(shù).解：（1）由abcd可知，bcd是異面直線bc與ab所成的角，bccd，異面直線bc與ab所成的角的度數(shù)為90.（2）連接ad,ac,由adbc可知，adc是異面直線cd和bc所成的角，adc是等邊三角形.adc=60，即異面直線cd和bc所成的角的度數(shù)為60.點(diǎn)評：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.思路2例1 在長方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是棱aa1和棱cc1

33、的中點(diǎn).求證：eb1df，edb1f.活動：學(xué)生先思考或討論，然后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時評價學(xué)生.證明：如圖9，設(shè)g是dd1的中點(diǎn)，分別連接eg，gc1.圖9ega1d1，b1c1a1d1,egb1c1.四邊形eb1c1g是平行四邊形,eb1gc1.同理可證dfgc1，eb1df.四邊形eb1fd是平行四邊形.edb1f.變式訓(xùn)練 如圖10，在正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是aa1、ab的中點(diǎn)，試判斷下列各對線段所在直線的位置關(guān)系：圖10（1）ab與cc1；（2）a1b1與dc；（3）a1c與d1b；（4）dc與bd1；（5）d1e與cf.解：（1）c平面abcd，ab平面

34、abcd，又cab，c1平面abcd,ab與cc1異面.（2）a1b1ab，abdc，a1b1dc.（3）a1d1b1c1，b1c1bc，a1d1bc，則a1、b、c、d1在同一平面內(nèi).a1c與d1b相交.（4）b平面abcd，dc平面abcd，又bdc，d1平面abcd,dc與bd1異面.（5）如圖10，cf與da的延長線交于g，連接d1g，afdc，f為ab中點(diǎn)，a為dg的中點(diǎn).又aedd1，gd1過aa1的中點(diǎn)e.直線d1e與cf相交.點(diǎn)評：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點(diǎn).作圖時用實(shí)點(diǎn)標(biāo)出.兩條直線異面，有時看上去像平

35、行（如圖中的eb與a1c），有時看上去像相交（如圖中的dc與d1b）.所以要仔細(xì)觀察，培養(yǎng)空間想象能力，尤其要學(xué)會兩條直線異面判定的方法.例2 如圖11，點(diǎn)a是bcd所在平面外一點(diǎn)，ad=bc，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，且ef=ad，求異面直線ad和bc所成的角.圖11解：設(shè)g是ac中點(diǎn)，連接eg、fg.因e、f分別是ab、cd中點(diǎn)，故egbc且eg=，fgad，且fg=.由異面直線所成角定義可知eg與fg所成銳角或直角為異面直線ad、bc所成角，即egf為所求.由bc=ad知eg=gf=，又ef=ad,由勾股定理可得egf=90.點(diǎn)評：本題的平移點(diǎn)是ac中點(diǎn)g，按定義過g分別作出了兩條異

36、面直線的平行線，然后在efg中求角.通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系.變式訓(xùn)練 設(shè)空間四邊形abcd，e、f、g、h分別是ac、bc、db、da的中點(diǎn)，若ab=，cd=，且hghesinehg=，求ab和cd所成的角.解：如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知，hgab，hecd，圖12ehg就是異面直線ab和cd所成的角.由題意可知efgh是平行四邊形，hg=，he=，hghesinehg=sinehg.sinehg=.sinehg=.故ehg=45.ab和cd所成的角為45.知能訓(xùn)練 如圖13，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線

37、段ab、cd、ef和gh在原正方體中相互異面的有對_.圖13答案：三拓展提升 圖14是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：圖14ab與cd所在直線垂直；cd與ef所在直線平行；ab與mn所在直線成60角；mn與ef所在直線異面.其中正確命題的序號是（ ）a. b. c. d.答案：d課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了空間兩直線的三種位置關(guān)系：平行、相交、異面，其中異面關(guān)系是重點(diǎn)和難點(diǎn). 為了準(zhǔn)確理解兩異面直線所成角的概念，我們學(xué)習(xí)了公理4和等角定理.作業(yè) 課本習(xí)題2.1 a組3、4.設(shè)計感想 空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，本節(jié)通過空間模型讓學(xué)生直觀感受兩直線的位置關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生

38、的空間想象能力.兩直線的異面關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本節(jié)選用大量典型題目訓(xùn)練學(xué)生求兩異面直線所成的角，使學(xué)生熟練掌握直線與直線的位置關(guān)系.另外,本節(jié)加強(qiáng)了三種語言的相互轉(zhuǎn)換，因此這是一節(jié)值得期待的精彩課例.備課資料備用習(xí)題1.a、b兩直線平行于平面，那么a、b的位置關(guān)系是( )a.平行 b.相交c.異面 d.可能平行、可能相交、可能異面答案：d2.直線ab，b，則a與的位置關(guān)系是( )a.a b.a與相交c.a與不相交 d.a答案：c3.直線m與平面平行的充分條件是( )a.n、mnb.m、n、mnc.n，l，mn、mld.n，mm、pm、nn、qn且mn=pq答案：b(設(shè)計者:張合森)2.1

39、.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系整體設(shè)計教學(xué)分析 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，直線與平面的相交和平行是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)來定義的，要求學(xué)生在公理1的基礎(chǔ)上會判斷直線與平面之間的位置關(guān)系.本節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合圖形判斷空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.三維目標(biāo)1.結(jié)合圖形正確理解空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.2.進(jìn)一步熟悉文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換.3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 正確判定直線與平面的位置關(guān)系.課時安排 1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 一支筆所在的直線與我們的課桌面所在的平

40、面,可能有幾個交點(diǎn)?可能有幾種位置關(guān)系?思路2.(事例導(dǎo)入) 觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體abcdabcd中，線段ab所在的直線與長方體abcdabcd的六個面所在平面有幾種位置關(guān)系？圖1推進(jìn)新課新知探究提出問題 什么叫做直線在平面內(nèi)？ 什么叫做直線與平面相交? 什么叫做直線與平面平行? 直線在平面外包括哪幾種情況? 用三種語言描述直線與平面之間的位置關(guān)系.活動：教師提示、點(diǎn)撥從直線與平面的交點(diǎn)個數(shù)考慮，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng).討論結(jié)果：如果直線與平面有無數(shù)個公共點(diǎn)叫做直線在平面內(nèi).如果直線與平面有且只有一個公共點(diǎn)叫做直線與平面相交.如果直線與平面沒有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行.直線與平

41、面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.直線在平面內(nèi)a直線與平面相交a=a直線與平面平行a應(yīng)用示例思路1例1 下列命題中正確的個數(shù)是( )若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)a.0 b.1 c.2 d.3分析：如圖2,圖2 我們借助長方體模型，棱aa1所在直線有無數(shù)點(diǎn)在平面abcd外，但棱aa1所在直線與平面abcd相交，所以命題不正確； a1b1所在直線平行于平面abcd，a1b1顯然不平行于bd，所以命題不正確； a1

42、b1ab,a1b1所在直線平行于平面abcd，但直線ab平面abcd,所以命題不正確； l與平面平行,則l與無公共點(diǎn),l與平面內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn),所以命題正確.答案：b變式訓(xùn)練 請討論下列問題： 若直線l上有兩個點(diǎn)到平面的距離相等，討論直線l與平面的位置關(guān)系.圖3解：直線l與平面的位置關(guān)系有兩種情況（如圖3），直線與平面平行或直線與平面相交.點(diǎn)評：判斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.例2 已知一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面.已知直線abc，直線la=a，lb=b，lc=c.求證：l與a、b、c共面.證明：如圖4,ab,圖4a、

43、b確定一個平面，設(shè)為.la=a，lb=b,a，b.又al，bl,ab，即l.同理b、c確定一個平面，l,平面與都過兩相交直線b與l.兩條相交直線確定一個平面,與重合.故l與a、b、c共面.變式訓(xùn)練 已知a,b,ab=a,pb,pqa，求證：pq.證明：pqa，pq、a確定一個平面，設(shè)為.p，a，pa.又p，a，pa,由推論1：過p、a有且只有一個平面,、重合.pq.點(diǎn)評：證明兩個平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法.思路2例1 若兩條相交直線中的一條在平面內(nèi)，討論另一條直線與平面的位置關(guān)系.解：如圖5,另一條直線與平面的位置關(guān)系是在平面內(nèi)或與平面相交.圖5用符號語言表示為：若ab=a,b,

44、則a或a=a.變式訓(xùn)練 若兩條異面直線中的一條在平面內(nèi)，討論另一條直線與平面的位置關(guān)系.分析：如圖6,另一條直線與平面的位置關(guān)系是與平面平行或與平面相交.圖6用符號語言表示為：若a與b異面,a,則b或b=a.點(diǎn)評：判斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.例2 若直線a不平行于平面,且a,則下列結(jié)論成立的是( )a.內(nèi)的所有直線與a異面 b.內(nèi)的直線與a都相交c.內(nèi)存在唯一的直線與a平行 d.內(nèi)不存在與a平行的直線分析：如圖7,若直線a不平行于平面,且a,則a與平面相交.圖7 例如直線ab與平面abcd相交，直線ab、cd在平面abcd內(nèi)，直線ab與直線a

45、b相交，直線cd與直線ab異面，所以a、b都不正確；平面abcd內(nèi)不存在與a平行的直線，所以應(yīng)選d.答案：d變式訓(xùn)練 不在同一條直線上的三點(diǎn)a、b、c到平面的距離相等，且a,給出以下三個命題：abc中至少有一條邊平行于;abc中至多有兩邊平行于；abc中只可能有一條邊與相交.其中真命題是_.分析：如圖8,三點(diǎn)a、b、c可能在的同側(cè)，也可能在兩側(cè)，圖8其中真命題是.答案：變式訓(xùn)練 若直線a,則下列結(jié)論中成立的個數(shù)是( )(1)內(nèi)的所有直線與a異面 (2)內(nèi)的直線與a都相交 (3)內(nèi)存在唯一的直線與a平行 (4)內(nèi)不存在與a平行的直線a.0 b.1 c.2 d.3分析：直線a,a或a=a.如圖9,

46、顯然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以應(yīng)選a.圖9答案：a點(diǎn)評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.知能訓(xùn)練已知=l,a且a,b且b,又ab=p.求證：a與相交,b與相交.證明：如圖10,ab=p,圖10pa,pb.又b,p.a與有公共點(diǎn)p,即a與相交.同理可證,b與相交.拓展提升 過空間一點(diǎn)，能否作一個平面與兩條異面直線都平行？解：(1)如圖11,cd與bd是異面直線，可以過p點(diǎn)作一個平面與兩異面直線cd、bd都平行.如圖12, 圖11 圖12 圖13顯然，平面pq是符合要求的平面.(2)如圖13,當(dāng)點(diǎn)p與直線cd確定的平面和

47、直線bd平行時，不存在過p點(diǎn)的平面與兩異面直線cd、bd都平行.點(diǎn)評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.課堂小結(jié) 本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn),直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn),直線與平面平行沒有公共點(diǎn). 另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).作業(yè) 課本習(xí)題2.1 a組7、8.設(shè)計感想 本節(jié)內(nèi)容較少，教材沒有討論線面平行的判定和性質(zhì)，只介紹了直線與平面的位置關(guān)系，因此認(rèn)為本節(jié)空洞無物，那就錯了.直線與平面的位置關(guān)系是立體幾何的重要位置關(guān)系，雖沒有嚴(yán)格推理和證明，卻正

48、好發(fā)揮我們空間想象能力和發(fā)散思維能力；本節(jié)的設(shè)計充分利用空間模型展現(xiàn)直線與平面的位置關(guān)系，提出了一些具有挑戰(zhàn)性的問題以激發(fā)學(xué)生的空間想象能力和發(fā)散思維能力.備課資料 兩個平面把空間分為幾部分?三個平面可以把空間分為幾部分?解：(1)如圖12,兩個平面把空間分為3部分或4部分.圖12(2)如圖13,三個平面把空間分為4部分或6部分或7部分或8部分.圖13(設(shè)計者：鄧新國)2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系整體設(shè)計教學(xué)分析 空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，平面與平面的相交和平行是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)來定義的，要求學(xué)生在公理3的

49、基礎(chǔ)上會判斷平面與平面之間的位置關(guān)系.本節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合圖形判斷空間中平面與平面之間的位置關(guān)系.三維目標(biāo)1.結(jié)合圖形正確理解空間中平面與平面之間的位置關(guān)系.2.進(jìn)一步熟悉文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換.3.培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 平面與平面的相交和平行.課時安排 1課時教學(xué)過程復(fù)習(xí)1.直線與直線的位置關(guān)系:相交、平行、異面.2.直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn),直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn),直線與平面平行沒有公共點(diǎn).導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？思路2.(事例導(dǎo)入) 觀察長方體（圖1），圍成長方體abcdabcd的六個面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？