2019年高中人教A版數(shù)學(xué)選修11練習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題課

1、2019年高中人教A版數(shù)學(xué)選修1-1練習(xí)習(xí)題課導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及幾何意義的綜合問(wèn)題課后訓(xùn)練案鞏固提升一、A組1.(2016東北育才學(xué)校期中考試)已知奇函數(shù)f(x)滿足f(-1)=1,則limx0f(x-1)+f(1)x=()A.1B.-1C.2D.-2解析:由f(x)為奇函數(shù),得f(1)=-f(-1),所以limx0f(x-1)+f(1)x=limx0f(-1+x)-f(-1)x=f(-1)=1,故選A.答案:A2.(2016四川綿陽(yáng)高二月考)若曲線f(x)=13x3+x2+mx的切線中,只有一條與直線x+y-3=0垂直,則實(shí)數(shù)m的值等于()A.2B.0C.0或2D.3解析:依題意,只有一條切線的斜率

2、等于1,又f(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案:A3.已知f(x)=f(1)x+4x,則f(1)=()A.1B.4C.2D.-1解析:因?yàn)閒(x)=f(1)x+4x,所以f(x)=-f(1)x2+4.因此f(1)=-f(1)12+4,解得f(1)=2.答案:C4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線l與拋物線y=x22的兩個(gè)交點(diǎn)處的切線相互垂直,則直線l的斜率k等于()A.-16B.-13C.12D.-12解析:設(shè)直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x-3),設(shè)直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x2

3、2,y=k(x-3),得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又對(duì)y=x22求導(dǎo)有y=x,所以拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=-16.答案:A5.(2016山西朔州高二月考)觀察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可推得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:由已知可以看出:奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).答案:D6.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)

4、f(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f(x)=(f(x),若f(x)0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù),以下四個(gè)函數(shù)在0,2上不是凸函數(shù)的是()A.f(x)=sin x+cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析:若f(x)=sin x+cos x,則f(x)=-sin x-cos x,在0,2上,恒有f(x)0;若f(x)=ln x-2x,則f(x)=-1x2,在0,2上,恒有f(x)0;若f(x)=-x3+2x-1,則f(x)=-6x,在0,2上,恒有f(x)0,故選D.答案:D7.(2016惠州一中月考)

5、已知函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線方程為2x+y-3=0,則f(2)+f(2)=.解析:切線2x+y-3=0的斜率為-2,所以f(2)=-2.又切點(diǎn)在切線上,所以22+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f(2)=-1+(-2)=-3.答案:-38.已知a=limx0f(x0+x)-f(x0)x,b=limx0f(x0-x)-f(x0)x,c=limx0f(x0+2x)-f(x0)x,d=limx0f(x0+x)-f(x0-x)x,e=limxx0f(x)-f(x0)x-x0,則a,b,c,d,e中有相等關(guān)系的是.解析:容易推得c=d,又在e=limxx0f(x)-f(x0)x

6、-x0中,若令x-x0=x,則該式可化為e=limxx0f(x)-f(x0)x-x0=limx0f(x0+x)-f(x0)x,所以a=e,因此具有相等關(guān)系的是c=d,a=e.答案:c=d,a=e9.在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中,斜率最小的切線的方程為.解析:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線y=x3+3x2+6x-10上每一點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)f(x)=x3+3x2+6x-10在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),因此曲線切線的斜率k=f(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+33,當(dāng)x=-1時(shí)斜率取到最小值3,此時(shí),切點(diǎn)為(-1,-14),切線方程為y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案:3

7、x-y-11=010.已知曲線y=x2+1,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.解:因?yàn)閥=x2+1,所以y=2x.設(shè)切點(diǎn)為(t,t2+1),所以切線斜率為y|x=t=2t,于是切線方程為y-(t2+1)=2t(x-t),將(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因?yàn)榍芯€有兩條,所以=(-2)2-4(a-1)0,解得a2.故存在實(shí)數(shù)a,使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線,且a的取值范圍是a0)的導(dǎo)函數(shù),且滿足xf(x)+2f(x)=1x2,f(1)=1,則f(x)的解析

8、式為()A.f(x)=lnx+1x2(x0)B.f(x)=ln x+1(x0)C.f(x)=lnxx2+1(x0)D.f(x)=lnxx+1(x0)解析:xf(x)+2f(x)=1x2,x2f(x)+2xf(x)=1x.x2f(x)=x2f(x)+2xf(x),可設(shè)x2f(x)=(ln x+c),即f(x)=lnx+cx2.又f(1)=1,c=1.f(x)=lnx+1x2(x0).答案:A3.已知f(x)=xex,f1(x)=f(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN*,經(jīng)計(jì)算得f1(x)=1-xex,f2(x)=x-2ex,那么f3(x)=,根據(jù)以上計(jì)算所得規(guī)律,可推

9、出fn(x)=.解析:f3(x)=ex-(x-2)exe2x=3-xex;f4(x)=-ex-(3-x)exe2x=x-4ex,類比可得fn(x)=(-1)n(x-n)ex.答案:3-xex(-1)x(x-n)ex4.(2016中山一中測(cè)試)設(shè)曲線y=xn+1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lg xn,則a1+a2+a99的值為.解析:y|x=1=n+1(nN*),曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線為y-1=(n+1)(x-1)(nN*),令y=0,得x=xn=nn+1(nN*),an=lgnn+1(nN*),a1+a2+a99=lg12+lg23+lg99100=

10、lg122399100=lg1100=-2.答案:-25.已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(abc),試證明方程f(x)=0必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.證明:法一:因?yàn)閒(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)(x-b)(x-c),所以f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c),因?yàn)閍bc,所以有g(shù)(a)=(a-b)(a-c)0,g(b)=(b-a)(b-c)0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)知,函數(shù)g(x)在區(qū)間(b,a)和(c,b

11、)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),故原方程有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)大于b,另一個(gè)小于b.法二:f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc,f(x)=3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac).=-2(a+b+c)2-43(ab+bc+ac)=4(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=2(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)=2(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,abc,0恒成立.方程f(x)=0必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.6.導(dǎo)學(xué)號(hào)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx,曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)證明:曲線y=f(x)在任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3.當(dāng)x=2時(shí),y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3,故f(x)=x-3x.(2)證明:設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y=1+3x2,知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3