泊松過(guò)程及其在排隊(duì)論中的應(yīng)用5頁(yè)

1、泊松過(guò)程及其在排隊(duì)論中的應(yīng)用 摘要：敘述了泊松過(guò)程的基本定義和概念，并列舉了泊松過(guò)程的其他等價(jià)定義和證明并分析了泊松過(guò)程在排隊(duì)論中的應(yīng)用，討論了完成服務(wù)和正在接受服務(wù)的顧客的聯(lián)合分布。 關(guān)鍵詞：泊松過(guò)程；齊次泊松過(guò)程；排隊(duì)論1. 前言 泊松分布是概率論中最重要的分布之一，在歷史上泊松分布是由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引人的。近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯現(xiàn)了其重要性而將泊松隨機(jī)變量的概念加以推廣就得到了泊松過(guò)程的概念。泊松過(guò)程是被研究得最早和最簡(jiǎn)單的一類點(diǎn)過(guò)程，他在點(diǎn)過(guò)程的理論和應(yīng)用中占有重要的地位。泊松過(guò)程在現(xiàn)實(shí)生活的許多應(yīng)用中是一個(gè)相當(dāng)適合的模型，它在物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、通訊技術(shù)、交通運(yùn)輸和管理

2、科學(xué)等領(lǐng)域都有成功運(yùn)用的例子。2. 泊松過(guò)程的概念定義3.2 ：設(shè)計(jì)數(shù)過(guò)程 X(t)，t 0滿足下列條件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程; (3) 在任一長(zhǎng)度為t 的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，即對(duì)任意是s, t 0，有， 則稱計(jì)數(shù)過(guò)程 X(t)，t 0為具有參數(shù)的泊松過(guò)程。注意，從條件(3)知泊松過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程且，由于，表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱為此過(guò)程的速率或強(qiáng)度。從定義3.2中，我們看到，為了判斷一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是泊松過(guò)程，必須證明它滿足條件(1)、(2)及(3)。條件(1)只是說(shuō)明事件A的計(jì)數(shù)是從t = 0時(shí)開(kāi)始的。條件(2)

3、通常可從我們對(duì)過(guò)程了解的情況去驗(yàn)證。然而條件(3)的檢驗(yàn)是非常困難的。為此，我們給出泊松過(guò)程的另一個(gè)定義。定義3.3 ：設(shè)計(jì)數(shù)過(guò)程 X(t)，t 0滿足下列條件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程;(3) X(t)滿足下列兩式：則稱計(jì)數(shù)過(guò)程 X(t)，t 0為具有參數(shù)的泊松過(guò)程。定義中的條件(3)說(shuō)明，在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生。這種假設(shè)對(duì)于許多物理現(xiàn)象較容易得到滿足。3. 齊次泊松過(guò)程定理1 假設(shè)事件E的發(fā)生形成強(qiáng)度為的齊次泊松過(guò)程，如果每一發(fā)生的事件僅以概率p被記錄到，以M表示被記錄到的事件序列，那么過(guò)程M是強(qiáng)

4、度為的齊次泊松過(guò)程。 證明：根據(jù)前面的等價(jià)定義，只需證明對(duì)于任意長(zhǎng)度b的可表為有限多個(gè)互不相交區(qū)間之并的集合B。在B中被記錄到的事件數(shù)M(B)有參數(shù)為的泊松分布。事實(shí)上，記q=1 - p，則對(duì)于任意 基于這個(gè)定理，我們還可以證明如下的齊次泊松過(guò)程分解定理。定理2 設(shè)N是強(qiáng)度為的齊次泊松過(guò)程，p是任意介于0和1之間的常數(shù)，則N可以分解為兩個(gè)互相獨(dú)立的齊泊松過(guò)程M和M ，它們的強(qiáng)度分別為和，這里q = 1- p。證明：我們可以這樣想象，過(guò)程N(yùn)的點(diǎn)事件以概率p被記錄，而且各點(diǎn)事件是否被記錄是互相獨(dú)立的，于是，由上面的定理知道，N中被記錄的事件序列M是強(qiáng)度為的齊次泊松過(guò)程。而沒(méi)有被記錄的事件序列M 則

5、形成一強(qiáng)度為的齊次泊松過(guò)程。顯然有N=M+M 。下面證明M和M 的獨(dú)立性。為此只需證明對(duì)任愈非負(fù)整數(shù)m和n，以及任意可表為有限多個(gè)互不相交區(qū)間之并的集合有：這里b是集合B的總長(zhǎng)度。因?yàn)槭录葍r(jià)于事件故 容易看出，上面的論斷可以推廣到r個(gè)獨(dú)立過(guò)程的情形，這里r是任意大于2的整數(shù)。于是我們有如下的推論。推論1 2 設(shè)N是強(qiáng)度為的齊次泊松過(guò)程。對(duì)于任意整數(shù)和任意r個(gè)滿足條件的整數(shù)可以把N分解為r個(gè)強(qiáng)度分別為的互相獨(dú)立的齊次泊松過(guò)程。下面進(jìn)一步研究選取概率不是一常數(shù)而是隨時(shí)間變化的情形。假設(shè)強(qiáng)度為的泊松過(guò)程的事件可以分為兩類：第一類和第二類，并且假設(shè)以事件發(fā)生的時(shí)間把事件的概率分為第一類。假設(shè)如果一個(gè)

6、事件發(fā)生的時(shí)間為t,而且與其他事件獨(dú)立，于是他可以看成是概率為P(s)的第一類事件，也可以看成是概率為1-P(s)的第二類事件。利用定理1我們能夠證明下面的命題。定理3 如果表示的是到時(shí)間t為止發(fā)生的第i類事件的數(shù)量(i = 1,2),和分別表示的是參數(shù)為和的獨(dú)立泊松隨機(jī)變量，其中： 證明：在N(t)已知的條件下，計(jì)算和的聯(lián)合分布。 現(xiàn)在考慮在區(qū)間內(nèi)的任一事件，如果事件發(fā)生的時(shí)間為s，那么它是概率為P(s)的一類事件，因而利用定理1知道這個(gè)事件發(fā)生在均勻分布(0,t)上的某個(gè)時(shí)間，那么它必然是概率為的第一類事件，并且與其他事件來(lái)說(shuō)是獨(dú)立的。因而剛好表示的是在n+m次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)中有n次成功，m次

7、失敗，用p表示每次成功的概率，那么： 也就是： 這就證明了定理的論斷。4. 排隊(duì)論中應(yīng)用舉例例1 設(shè)在上午8時(shí)到下午8時(shí)運(yùn)送乘客到達(dá)飛機(jī)場(chǎng)的小汽車形成強(qiáng)度為(輛/時(shí))的齊次泊松過(guò)程。如果每輛車載有1,2,3,4個(gè)乘客的概率分別為0.1，0.2，0.4，0.3。求在一小時(shí)內(nèi)有小汽車送到機(jī)場(chǎng)的乘客的平均數(shù)。解：用表示在一小時(shí)內(nèi)運(yùn)送i個(gè)乘客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的小汽車數(shù)目，則由推論1知道是參數(shù)分別為3，6，12，9的泊松分布。因此，分別等于對(duì)應(yīng)的分布參數(shù)值，所以欲求的乘客的平均數(shù)為 = 3 +12 + 36 + 36= 87 例2 假設(shè)顧客到達(dá)服務(wù)站的人數(shù)服從強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，到達(dá)的顧客很快就可以接受服務(wù)，并且

8、假設(shè)服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立的并且服從一個(gè)普通的分布，記為G。解：為了計(jì)算在時(shí)刻t已完成服務(wù)和正在接受服務(wù)的顧客的聯(lián)合分布，把在時(shí)刻t 完成服務(wù)的顧客稱為第一類，在時(shí)刻t未完成服務(wù)的顧客稱為第二類顧客，現(xiàn)在，如果第一個(gè)顧客到來(lái)的時(shí)間為，如果他的服務(wù)時(shí)間少于t - s，那么他就是第一類顧客，并且因?yàn)榉?wù)時(shí)間服從G分布，所以服務(wù)時(shí)間少于t - s的概率為G(t - s)因而，P(s) = G(t -s); S t。利用定理2我們得到的的分布。到時(shí)間t為止，已完成服務(wù)的顧客的數(shù)目服從泊松分布，其參數(shù)為： 同理，到時(shí)刻t 仍然在接受服務(wù)的顧客的數(shù)目也是服從泊松分布，其參數(shù)為：，由此可見(jiàn)和是獨(dú)立的。5. 總結(jié) 泊松過(guò)程是被研究得最早和最簡(jiǎn)單的一類點(diǎn)過(guò)程。它在現(xiàn)實(shí)生活的許多應(yīng)用中是一個(gè)相當(dāng)適合的模型。除了本文中所講到的在排隊(duì)