2020年高考文科數學一輪總復習：拋物線

1、 2020 年高考文科數學一輪總復習：拋物線第 7 講 拋物線1拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內(2)動點到定點 f 的距離與到定直線 l 的距離相等(3)定點不在定直線上2拋物線的標準方程和幾何性質標準方程(p0)(p0)(p0)(p0)p 的幾何意義：焦點 f 到準線 l 的距離圖形頂點o(0，0)y0x0焦點e1xx22方程y0，xry0，xr范圍x0，yrx0，yr開口方向向右向左|pf|pf|pf|pf|x y 200000y )0常用知識拓展與焦點弦有關的常用結論2020 年高考文科數學一輪總復習第 1 頁 共 13 頁 (以圖為依據)設 a(x ，y

2、 )，b(x ，y )1122p24(1)y y p ，x x .21 21 22p(2)|ab|x x p(為 ab 的傾斜角)sin 122112(3)為定值 .|af| |bf|p(4)以 ab 為直徑的圓與準線相切(5)以 af 或 bf 為直徑的圓與 y 軸相切判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內與一個定點 f 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切()(3)若一拋物線過點 p(2，3)，則其標準方程可寫為 y 2px(p0)()2(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()答案：(1) (2)

3、 (3) (4)14(教材習題改編)拋物線 y x 的焦點坐標是()2a(0，1)c(1，0)b(0，1)d(1，0)14p2解析：選 a.拋物線 y x2 的標準方程為 x24y，開口向下，p2， 1，故焦點為(0，1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點p(4，2)的拋物線的標準方程是()ay xbx 8y22cy 8x 或 x ydy x 或 x 8y2222解析：選 d.設拋物線為 y2mx，代入點 p(4，2)，解得 m1，則拋物線方程為y2x；設拋物線為 x2ny，代入點 p(4，2)，解 得 n8，則拋物線方程為 x28y.(2018高考北京卷)已知直線 l 過點(1，0)且垂直于

4、 x 軸若 l 被拋物線 y 4ax 截得2的線段長為 4，則拋物線的焦點坐標為_解析：由題意知，a0，對于 y24ax，當 x1 時，y2 a，由于 l 被拋物線 y24ax截得的線段長為 4，所以 4 a4，所以 a1，所以拋物線的焦點坐標為(1，0)答案：(1，0)設拋物線 y28x 上一點 p 到 y 軸的距離是 4，則點 p 到該拋物線焦點的距離是_2020 年高考文科數學一輪總復習第 2 頁 共 13 頁 解析：如圖所示，拋物線的準線 l 的方程為 x2，f 是拋物線的焦點，過點 p 作 pay軸，垂足是 a，延長 pa 交直線 l 于點 b，則|ab|2，由于點 p 到 y 軸的

5、距離為 4，則點 p到準線 l 的距離|pb|426，所以點 p 到焦點的距離|pf|pb|6.答案：6拋物線的定義(典例遷移)(1)已知拋物線 y 2px(p0)上一點 m 到焦點 f 的距離等于 2p，則直線 mf 的斜2率為()33b3a4c1d 3(2)設 p 是拋物線 y 4x 上的一個動點，f 為拋物線的焦點，若 b(3，2)，則|pb|pf|2的最小值為_p p2【解析】 (1)設 m(x，y)，由題意知 f ，0 ，由拋物線的定義，可知 2 ，故xpx23p23p23p23p0 3，當 m 3p ，由 y22p ，知 y 3p.當 m ， 3p 時 ，k mf， 3p23p p

6、2 2 3p03p p時，k mf 3，故 k 3.故選 d.mf2 2(2)如圖，過點 b 作 bq 垂直準線于點 q，交拋物線于點 p ，則|p q|p f|.111則有|pb|pf|p b|p q|bq|4.11即|pb|pf|的最小值為 4.2020 年高考文科數學一輪總復習第 3 頁 共 13 頁 【答案】 (1)d (2)4遷移探究 1 (變條件)若將本例(2)中的 b 點坐標改為(3，4)，試求|pb|pf|的最小值解：由題意可知點(3，4)在拋物線的外部因為|pb|pf|的最小值即為 b，f 兩點間的距離，所以|pb|pf|bf| 4222 1642 5，即|pb|pf|的最小

7、值為 2 5.遷移探究 2 (變條件)若將本例(2)中的 b 點坐標改為(0，3)，試求|pb|pf|的最小值解：拋物線 y24x 的焦點為 f(1，0)，求點 p 到點(0，3)的距離與點 p 到焦點 f 的距離之和的最小值，結合圖形不難得出相應的最小值就等于焦點f 到點(0，3)的距離因此所求的最小值等于 1232 10.拋物線定義的應用(1)利用拋物線的定義解決問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化即“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”p2p2(2)注意靈活運用拋物線上一點 p(x，y)到焦點 f 的距離|pf|x| 或|pf|y| .321已知拋物線 c：y

8、 x 的焦點為 f，a(x ，y )是 c 上一點，|af| x ，則 x ()20000112a.4b.c1d214解析：選 b.由題意知拋物線的準線為 x ，3214因為|af| x ，根據拋物線的定義可得 x 003212|af| x ，解得 x .002已知 f 是拋物線 y x 的焦點，a，b 是該拋物線上的兩點，且|af|bf|3，則線2段 ab 的中點到 y 軸的距離為()3a.4b157c.4d.4解析：選 c.如圖所示，設拋物線的準線為 l，ab 的中點為 m，作 aa l 于 a ，bb l 于 b ，mm l 于 m ，1111111由拋物線的定義知 p ，|aa |bb

9、 |af|bf|3，2112020 年高考文科數學一輪總復習第 4 頁 共 13 頁 p 1則點 m 到 y 軸的距離為|mm | (|aa |bb |) .故選 c.2 2 4 41 5111拋物線的標準方程及性質(師生共研)(1)(2019哈爾濱模擬)過點 f(0，3)且和直線 y30 相切的動圓圓心的軌跡方程為()ay 12xby 12x22cx 12ydx 12y22(2)以拋物線 c 的頂點為圓心的圓交 c 于 a、b 兩點，交 c 的準線于 d、e 兩點已知|ab|4 2，|de|2 5，則 c 的焦點到準線的距離為()a2c6b4d8(3)(2019東北四市模擬)若點 p 為拋物

10、線 y2x 上的動點，f 為拋物線的焦點，則|pf|2的最小值為()12a2b.118c.4d.【解析】 (1)由拋物線的定義知，過點 f(0，3)且和直線 y30 相切的動圓圓心的軌跡是以點 f(0，3)為焦點，直線 y3 為準線的拋物線，故其方程為 x212y.(2)由題意，不妨設拋物線方程為 y 2px(p0)，由|ab|4 2，|de|2 5，可取24p216p2 2p，2 2 ， ， 5 ，設 為坐標原點，由| | |，得 8 5，得 4，故a dooa odp4p選 b.1211 28(3)由題意知 x y，則 f 0， ，設 ( ，2 )，則|pf|p xxx 2 2 x2202

11、08001216418184x x 2x ，所以當 x 0 時，|pf| .40202020min【答案】 (1)d (2)b (3)d(1)求拋物線的標準方程的方法先定位：根據焦點或準線的位置；再定形：即根據條件求 p.(2)拋物線性質的應用技巧利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程；要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算2020 年高考文科數學一輪總復習第 5 頁 共 13 頁 1已知拋物線 c 與雙曲線 x y 1 有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線 c 的方22程是()ay 2 2xby 2x22cy 4xdy 4 2x22解析：選 d.因為雙

12、曲線的焦點為( 2，0)，( 2，0)p2設拋物線方程為 y22px(p0)，則 2，所以 p2 2，所以拋物線方程為y24 2x.2(2019沈陽質量檢測(一)已知正三角形 aob(o 為坐標原點)的頂點 a，b 在拋物線 y23x 上，則aob 的邊長是_ 3 1 解析：如圖，設aob 的邊長為 a，則 aa， ，因為點 a 在拋物線 y23x 上，所a221432以 a23 a，所以 a6 3.答案：6 3直線與拋物線的位置關系(師生共研)x24(2017高考全國卷)設 a，b 為曲線 c：y 上兩點，a 與 b 的橫坐標之和為 4.(1)求直線 ab 的斜率；(2)設 m 為曲線 c

13、上一點，c 在 m 處的切線與直線 ab 平行，且 ambm，求直線 ab的方程x2x2【解】 (1)設 a(x ，y )，b(x ，y )，則 x x ，y 1，y 2，x x 4，441122121212y y x x于是直線 ab 的斜率 k 12 121.4x x12x24x2(2)由 y ，得 y .x設 m(x ，y )，由題設知 31，233解得 x 2，于是 m(2，1)3設直線 ab 的方程為 yxm，故線段 ab 的中點為 n(2，2m)，|mn|m1|.2020 年高考文科數學一輪總復習第 6 頁 共 13 頁 2x將 yxm 代入 y 得 x24x4m0.4當 16(m

14、1)0，即 m1 時，x 22 m1.，1 2從而|ab| 2|x x |4 2（m1）.12由題設知|ab|2|mn|，即 4 2（m1）2(m1)，解得 m7.所以直線 ab 的方程為 yx7.解決直線與拋物線位置關系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|ab|x |x |p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式12(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用 “設而不求”“整體代入”等解法注意 涉及弦的中點

15、、斜率時，一般用“點差法”求解231(2018高考全國卷)設拋物線 c：y 4x 的焦點為 f，過點(2，0)且斜率為 的直2 線與 c 交于 m，n 兩點，則fmfn()a5c7b6d823y (x2)，2323解析：選 d.法一：過點(2，0)且斜率為 的直線的方程為 y (x2)，由24xy1， x4，x得 x25x40，解 得 x1 或 x4，所 以或y4，不妨設 m(1，2)，n(4，4)，2y 易知 f(1，0)，所以fm(0，2)，fn(3，4)，所以fmfn8.故選 d.23y (x2)，2323法二：過點(2，0)且斜率為 的直線的方程為 y (x2)，由得 x224xy5x

16、40，設 m(x ，y )，n(x ，y )，則 y 0，y 0，根據根與系數的關系，得 x x 5，11221212 x x 4.易知 f(1，0)，所以fm(x 1，y )，fn(x 1，y )，所以fmfn(x 1)(x1 21122121)y y x x (x x )14 x x 45188.故選 d.1 21 2121 22已知拋物線 y 16x 的焦點為 f，過 f 作一條直線交拋物線于 a，b 兩點，若|af|6，2則|bf|_2020 年高考文科數學一輪總復習第 7 頁 共 13 頁 p解析：不妨設 a(x ，y )，b(x ，y )(a 在 b 上方)，根據焦半徑公式|af|

17、x x 421122116，所以 x 2，y 4 2，所以直線 ab 的斜率為 k4 22 2，所以直線方程為 y24112 2(x4)，與拋物線方程聯立得 x 10x160，即(x2)(x8)0，所以 x 8，故|bf|228412.答案：12基礎題組練1拋物線 yax (a0)的準線方程是()2114aay2aby11cy2ady4a114a解析：選 b.拋物線 yax2(a0)上一點，f 為 c 的焦點，mf 的中點坐標是(2，22)，則 p 的值為()a1c3b2d4p p p解析：選 d.由題意得 f ，0 ，那么 4 ，4 在拋物線上，即 162 4 ，即p2mp2228p160，

18、解得 p4.3(2019四川成都檢測)已知拋物線 c：y 4x 的焦點為 f，點 a(0， 3)若線段 fa2與拋物線 c 相交于點 m，則|mf|()453a.3b.d.233c.3解析：選 a.由題意，f(1，0)，|af|2，設|mf|d，則 m 到準線的距離為 d，m 的橫d1 2d坐標為 d1，由三角形相似，可得43，所以 d ，故選 a.124直線 l 過拋物線 y 2px(p0)的焦點，且與拋物線交于 a，b 兩點，若線段 ab 的長2是 8，ab 的中點到 y 軸的距離是 2，則此拋物線方程是()ay 12xby 8x22cy 6xdy 4x22解析：選 b.設 a(x ，y

19、)，b(x ，y )，根據拋物線定義，11222020 年高考文科數學一輪總復習第 8 頁 共 13 頁 x x p8，12x x因為 ab 的中點到 y 軸的距離是 2，所以 122，2所以 p4；所以拋物線方程為 y28x.故選 b.22x y3 35拋物線 x 2py(p0)的焦點為 f，其準線與雙曲線 1 相交于 a，b 兩點，若2abf 為等邊三角形，則 p_ 3pab解析：在等邊三角形 abf 中，ab 邊上的高為 p， p，所以 b 33p， .2232p p23 4又因為點 b 在雙曲線上，故 1，解得 p6.3 3答案：66(2019云南大理州模擬)在直角坐標系 xoy 中，

20、有一定點 m(1，2)，若線段 om 的垂直平分線過拋物線 x22py(p0)的焦點，則該拋物線的準線方程是_解析：依題意可得線段 om 的垂直平分線的方程為 2x4y50，52 p把焦點坐標 0， 代入可求得 ，p254所以準線方程為 y .答案：y547頂點在原點，焦點在 x 軸上的拋物線截直線 y2x4 所得的弦長|ab|3 5，求此拋物線方程解：設所求的拋物線方程為 y2ax(a0)，a(x ，y )，b(x ，y )，把直線 y2x4 代入1122y ax2 ，得 4x2(a16)x160，由 (a16)22560，得 a0 或 a0)的焦點為 f，a 是拋物線上橫坐標為 4，且位于

21、 x 軸上方的22020 年高考文科數學一輪總復習第 9 頁 共 13 頁 點，a 到拋物線準線的距離等于 5，過 a 作 ab 垂直于 y 軸，垂足為 b，ob 的中點為 m.(1)求拋物線的方程；(2)若過 m 作 mnfa，垂足為 n，求點 n 的坐標p2解：(1)拋物線 y22px 的準線為 x ，p2于是 4 5，所以 p2.所以拋物線方程為 y24x.(2)因為點 a 的坐標是(4，4)，由題意得 b(0，4)，m(0，2)43又因為 f(1，0)，所以 k ，fa34因為 mnfa，所以 k .mn43所以 fa 的方程為 y (x1)，34mn 的方程為 y2 x，聯立，854

22、5解得 x ，y ，8 4所以 n 的坐標為 ， .5 5綜合題組練1已知拋物線 x 4y 上一動點 p 到 x 軸的距離為 d ，到直線 l：xy40 的距離為21d ，則 d d 的最小值是()2125 525 22a.2b.115 225 2c.2d.2解析：選 d.拋物線 x24y 的焦點 f(0，1)，由拋物線的定義可得 d |pf|1，則 d 115 5 2d |pf|d 1，而|pf|d 的最小值等于焦點f 到直線l 的距離，即(|pf|d ) ，22222 min25 22所以 d d 的最小值是1.122(綜合型)(2019湖北武漢部分學校調研)過拋物線 c：y 2px(p0

23、)的焦點 f，且斜率2為 3的直線交 c 于點 m(m 在 x 軸上方)，l 為 c 的準線，點 n 在 l 上且 mnl，若|nf|4，則 m 到直線 nf 的距離為()a. 5b2 3d2 2c3 32020 年高考文科數學一輪總復習第 10 頁 共 13 頁 解析：選 b.法一：因為直線 mf 的斜率為 3，mnl，所以nmf60，又|mf|mn|，且|nf|4，所以nmf 是邊長為 4 的等邊三角形，所以 m 到直線 nf 的距離為 2 3.故選b.33p22 33法二：由題意可得直線 mf 的方程為 x y ，與拋物線方程聯立消去 x 可得 y2333p2pyp20，解 得 y p或

24、 y 3p，又點 m 在 x 軸上方，所以 m ， 3p ，因 為 mnl， pp p2nf所以 n ， 3p ，所以| | （0 3p）22p.由題意 2p4，解得 p2，2 22所以 n(1，2 3)，f(1，0)，直線 nf 的方程為 3xy 30，且點 m 的坐標為(3，2 3)，|3 32 3 3|利用點到直線的距離公式可得 m 到直線 nf 的距離為2 3.故選 b.3133p22 33法三：由題意可得直線 mf 的方程為 x y ，與拋物線方程聯立消去 x 可得 y2333p2pyp20，解 得 y p或 y 3p，又點 m 在 x 軸上方，所以 m ， 3p ，因 為 mnl，

25、 pp p2nf所以 n ， 3p ，所以| | （0 3p）22p.由題意 2p4，解得 p2，2 22所以 n(1，2 3)，f(1，0)，m(3，2 3)，設 m 到直線 nf 的距離為 d，在mnf 中，s121214 |nf|d |mn|y ，所以 d 42 32 3，故選 b.mnfm3(應用型)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬 4 m水位下降 1 m 后，水面寬_m.解析： 建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py(p0)，則 a(2，2)，將其坐標代入 x 2py，得 p1.2所以 x22y.當水面下降 1 m，得 d(x ，3)(x

26、 0)，將其坐標代入 x22y，00得 x26，所以 x 6.00所以水面寬|cd|2 6 m.答案：2 64已知拋物線 c：y 2px(p0)的焦點為 f，直線 y4 與 c 的交點為 p，與 y 軸的交232點為 q，且|pf| |pq|，則拋物線 c 的方程為_88p2解析：設 p(x ，4)將 點 p 的坐標代入 y22px(p0)，得 x ，所以|pq| ，|pf| 00 pp8p 8 3 82 p 2 p.由題意得 .又 p0，解得 p2 2.所以拋物線 c 的方程為 y 4 2x.2p2020 年高考文科數學一輪總復習第 11 頁 共 13 頁 答案：y24 2x5(2018高考全國卷)設拋物線 c：y 4x 的焦點為 f，過 f 且斜率為 k(k0)的直線2l 與 c 交于 a，b 兩點，|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)求過點 a，b 且與 c 的準線相