廣義逆矩陣的求法探討學(xué)士

1、廣義逆矩陣的求法探討 the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrix 畢業(yè)設(shè)計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計（論文），是我個人在指導(dǎo)教師的指 導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致 謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包 含我為獲得及其它教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對 本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個人或集體，均已在文中作了明確的說 明并表示了謝意。 作者簽名： 日期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 使

2、用授權(quán)說明 本人完全了解大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計（論文）的 規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷本和電子版本；學(xué) 校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽 服務(wù)；學(xué)校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不 以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。 本文介紹了廣義逆矩陣的定義，討論了由Moore-Pe nrose方程所定義的各種廣義 逆的性質(zhì)，在廣義逆矩陣的初等變換法和滿秩分解法的基礎(chǔ)上，研究了幾種特殊的廣義 逆矩陣的計算方法 關(guān)鍵詞：廣義逆矩陣；滿秩分解；消元；初等變換法 Abstract This article di

3、scusses the system of gen eralized In verse matrices defi ned, discussed by the Moore-Penrose equation is defined by the nature of the various Generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular gen eralized in verse matri

4、x calculatio. Keywords： Generalized inverse matrix; full rank decomposition; elimination; elementary tran sformatio n 目錄 摘 要 錯誤！未定義書簽。 Abstract 錯誤！未定義書簽。 0引言 1 1廣義逆矩陣的概念與定理 8 2廣義逆矩陣的計算方法 8 2.1廣義逆矩陣A+的奇異值分解法 8 2.2廣義逆矩陣a+的最大值秩分解法 9 2.2極限法求廣義逆矩陣A+ 9 2.3廣義逆矩陣A-的滿秩分解法 11 2.4初等變換法求廣義逆矩陣 15 參考文獻(xiàn) 21 0引言 矩陣逆

5、的概念只對非奇異方陣才有意義.但是，在實際問題中，我們碰到的矩陣并 不都是方陣，即使是方陣，也不都是非奇異的。 因此，有必要推廣逆矩陣的概念.為此, 本文給出了廣義逆矩陣的定義，并利用廣義逆的性質(zhì)，給出其計算方法。 1廣義逆矩陣的概念與定理 定義1.1設(shè)A是m n的矩陣，若n m的矩陣G滿足如下四個Penrose方程的全部 或者一部分，則稱G為A的廣義逆矩陣，簡稱廣義逆 AGA=A(1.1) GAG =G(1.2) (GA)h 二 GA(1.3) (AG)H =AG(1.4) 則稱G是A的Moore -Penrose逆，記為A . 如果某個G只滿足(1.1 )式，G為A的1廣義逆，記為G A1

6、；如果另一個G 滿足(1.1)，( 1.2)式，則稱G為A的1,2廣義逆，記為G A1，2；如果GA1， 2，3，4，則G是Moore - Penrose逆等.下面介紹常用的5種 A1, A1,2 ，A1,3, A1,4, A1,2,3,4 每一種廣義逆矩陣又都包含著一類矩陣，分述如下： (1) A1中任意一個確定的廣義逆，稱作減號廣義逆，或g逆，記為A-； (2) A 1,2中任意一個確定的廣義逆，稱作自反減號逆，記為A ； (3) A1,3中任意一個確定的廣義逆，稱作最小范數(shù)廣義逆，記為A； （4）A1,4中任意一個確定的廣義逆，稱作最小二乘廣義逆，記為人-; （5）A1,2,3,4:唯一

7、一個，稱作加號逆，或 Moore Penrose，記為 A . 定義1.2 設(shè)A是m n的矩陣（m乞n ,當(dāng)m n時，可以討論AT），若有一個n m 的矩陣（記為A-）存在，使下式成立，則稱 A-為A的減號廣義逆或者g逆： (1.5) AAA= A 當(dāng)A-存在時，顯然A -滿足上式，可見減號廣義逆 A-是普通廣義逆矩陣A-的推廣; 另外，由aa-a=：a得 （AA0）T = N，即 At（A-）t =at. 可見，當(dāng)A-為A的一個減號廣義逆時，（AJt就是At的一個減號廣義逆. 定義1.3設(shè)A Crmn，AhA的特征值為 1 一八2I H r r 1 二r 2 T I I 二n = 0 則稱j

8、 =i（i=1, 2，門為矩陣A的正奇異值，簡稱奇異值 定義1.4設(shè)m n矩陣 a21 玄伐illa1n a22川a2n _am1 am2 IH amn 如果m空n時存在ran kA =m ;或者當(dāng)m _ n時，存在有rankA =n，稱這兩種長方陣 為最大秩方陣（滿秩方陣），前者又稱行最大秩矩陣（行滿秩矩陣），后者又稱為列最大 秩矩陣（列滿秩矩陣） 定義1.5 設(shè)A是m n矩陣,若有n m矩陣G滿足AG=lm（或GA= ln）,則稱G 為A的右逆（或左逆）,記為Ar（或AL）. 定理1.1 設(shè)A是m n的矩陣，則A的Moore 一 Penrose逆存在且唯 證明 先證A -的存在性.設(shè)A的奇

9、異值分解 VH 丿 其中 r 二diagCi，、 2,|，,=12 川, r）是A的非零奇異值，U與V是酉矩陣. _T 0 UH 容易驗證G滿足四個Penrose方程，因此A 存在. F面證A 的唯一性.假定Y也是滿足4個Penrose方程，則 G =GAG 二 gghah 二 ggahyhah =gagay 二 GAY 二 GAYAY 二 AHGH AHYHY 二 AHYHY 二YAY =Y 因此G二Y,說明A 是唯一的, uh 若A是非奇異矩陣，容易驗證 A-滿足4個Pen rose方程，此時A丄A；由此可見 Moore - Penrose逆把逆推廣到所有矩陣（甚至零矩陣） 定理1.2設(shè)A

10、 Cm n，rank（A） =r，存在m階的可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使 PAQ = 01 0 則n m階矩陣G使得AGA二A的充分必要條件是 G=Q G2 Ip G22 其中 G12,G21,G22分別是 r (m-r),(n-r) r,(n-r) (m-r)階任意矩陣. 證明 先證必要性，由條件有 m階及n階可逆矩陣P, Q,使 Er PAQ - 1 01 那么 根據(jù)G應(yīng)滿足的AGA = A ,有 p常心逼F=p也F 再令 Er _ QGPEr _ QGP Gii = |IG21 G12 G22 分塊如題設(shè)要求，代入上式 Gii 0. |心21 Gl2Er G22 . _ 1 Gii _

11、 IL 01 所以G11 = Er ,于是有 qgp G： G12 G22 一 得到 G = QEr GJ G21 G22 _ 再證充分性，由于 G=QErG2 p p- Er Q :G21G22J AGA = P|Er0 QPfr GJ PPEr 01 o O- G21 G22 _ 0 0 一 QJ 二A 引理1.1對于任意的矩陣A，它的減號逆A-總存在，但不唯一，并且 當(dāng) rankA 二 m; 當(dāng) rankA = n; 當(dāng)A = DC是A的滿秩分解時; AT(AAT)， T 1 T 人-=(AA ) A , Ct(CCt)(DtD)Dt, 是A的一個減號逆【1, 2】. 引理1.2對于任意

12、的矩陣A，它的極小范數(shù)陽總存在，但不唯一，并且 _ J ( AAt )J A,當(dāng) ran kA = m; A (aatkaat ,在一般情況下； _LAT (AAt),當(dāng)rankA = m; m 一 At(AAt)-,在一般情況下； 是A的一個極小范數(shù)逆11 2】. 引理1.3對于任意矩陣A ,它的最小二乘逆A 總存在，但不唯一,并且 _ I (AAJ) 4 A,當(dāng) ran kA = m; -(AAt廠At , 在一般情況下; 它是A的一個最小二乘逆【1, 2】. 引理1.4對于任意矩陣A,它的加號逆A 總存在，并且唯一.其中 a+= AmAA 或 a + = Ct(CCt)(DtD)斗 dt

13、 這里A =DC是A的滿秩分解式【 1, 2, 3】 第5頁，共21頁 定理1.3 A是m n矩陣，若A是行滿秩矩陣,則總有AAm二AT(AAT) ; A 是列滿秩矩陣,則總有A-=A = (AA)A ； rank = r c min(m, n),則總有 A-二ACmDi-，其中A二DC是A的滿秩分解式. 定理1.4設(shè)A = (aij)mn，ra nk二r冬mi n(m,n)則可將A做滿秩分解(或A的最大秩分 解) A =CD 其中C是m r階矩陣，且rankC二rankD = r. 將一非列或非行滿秩的非零矩陣表示為一列滿秩和一行滿秩的矩陣的積的分解稱 為滿秩分解.在各種廣義逆的直接計算方法

14、中，幾乎都要對矩陣進(jìn)行滿秩分解，例如 QU分解等等.但當(dāng)計算某些廣義逆時，QU分解將帶來大量非必要的計算，因而有必 要對滿秩分解的方法進(jìn)行簡化，為此，我們首先用構(gòu)造性方法證明下述定理. 定理1.5對任意矩陣A Cm n r 0，總存在著矩陣B Crm r和矩陣C C； n，使得 A二BC成立. 證明 設(shè)A-b ，a2 ，川，an 1,則必有一個最大線性無關(guān)列aji ,孤， ajr，故令 B = a，aj2，ajr 于是有非奇異矩陣G，使GB1= ,亦即有 1 b BG4 1(1.6) 1 o 成立，其中o為階數(shù)適當(dāng)?shù)牧憔仃?，再另置換矩陣 r PF G k 便有 I I Mr n GAP= |，

15、皿吐畀) b o一 r 于是由(1)知 AuG* M LPuG/Jlll M】P=BG(1.7) 1。o 一 b 其中 g - Il m Ip ,且顯然有 b, cm r, G c；n. r 類似地可證存在著H E CT和Q=n lKrjk，使有 kA QAH=O NEC嚴(yán) N。一 成立，倘令 B2=q|1(1.8) C2 - Il OH(1.9) 同樣有A二B2C2 . 特別，若A為行滿秩或者列滿秩，則B與C中之一為單位陣，定理依然成立 定理1.6對任何m n的矩陣A，都有 AA =(AhA)(AAh) =(AAh) (AAh) A A = (AhA)(Ah A) =(Ah A) (Ah A

16、) 性質(zhì)1.1 (1) rank(A)二n的充分必要條件是 AA-En，此時A=(AH A)AH ,稱為 A的一個左逆，記為Al4. (2) rank (A)二m的充分必要條件是AA二Em，此時AH (AAh )-1稱為A的一個右 逆，記為ar1. 證明(1)充分性，若AA=En則 n = rank(En)亠 rank(A) - rank(A_A)二 n 所以 rank (A) = n 由定理1.2可得二Qr G21 G即A -，于是有AA= En 由于 所以aha是可逆陣，那么 所以，可取 必要性，若rank(A)二n，則存在m階及n階可逆矩陣P,Q,使 PAQ=|Enl 或 A=P|Enl

17、Q G叫，則有 G22 _ G = Q En G2 P H rank(AA ) = rank(A) = n (Ah A) 4 Ah A = En A-二 al =(AhA)Ah 同理可證性質(zhì),aah可逆，有 AAH(AAH)J = Em 所以，可取 AJAR1 =Ah(AAh)-1 2廣義逆矩陣的計算方法 2.1廣義逆矩陣的奇異值分解法 設(shè)矩陣A Cmn，由定理1.1知A 存在并且唯一，當(dāng)A = 0時，則A有奇異值分解: si V, Sr 其中, 0 r啟0, s0，H|,s0為A的奇異值，貝U A+具有如下形式: J Sr 1 用奇異值分解求A，其中A= 1 】0 A的奇異值分解為 所以 A

18、 二 UDV 1 p 1 厲 0 1 2 1 、2 0 01 2 0 0 1 1 01 0 立 1 2 1-2 _1 A 2 0 鬪0 1 2 1 2 0 01 A=-1 0 2 0 們 -2 用奇異值分解法求A . 解aah -I 0 2 0 -22 1 -2 _50-5 0 :.-5 | - E - AH A|2(，-10) 因此aahDE特征值、=10, ，2 =花=0 一1 1 求出對應(yīng)于人=10的單位特征向量= I 0 1 所以 ,0 , 2 10 0 一2 2.2廣義逆矩陣A 的最大秩分解法 m n的矩陣A的秩二r , A的最大秩分解為 A 二 CD 其中C是m r階矩陣，D是r

19、n階矩陣，且rankC = rankD = rankA = r，則 (2.1) (2.2) A 心（DDh）ChC），Ch 特別當(dāng)ran kA =m時（行滿秩陣） A 二 Ah（AAh） 當(dāng)rankA二n時（列滿秩陣） A =(AhA)Ah (2.3) 10-1 例3求矩陣A = 022 145 們 2的M -P逆A+ 3 解首先求得A的滿秩分解為 I A = BC = 0 0 10-111 2 I 0111 4 - 故A；=Ch(CCh)(BhB)Bh 廣10、 1 一-1 01一30_2-4_10-1 -111。3-420一2 4一 1 1 atq E P. 同理，對下面的分塊矩陣施行初等

20、變換: aat at1 一叫 En。一 En AAt pat P AAT Q 1 I = IPA 1。0 J 1 Q0 0 0 因此，応0paT. 這里P、Q均指可逆矩陣. 1 -11 例9設(shè)A = 23 , L3 2 J -1 2 解因為A二 -1 3 求A的最小二乘逆A-. r，所以A 1 4 1 1 4 1 1 1_ - 對下列矩陣施行初等行變換有 14 11 I 1 2 31 11 14 I -1 3 2 11 1H HI I Hi HI ill 帀*十2 HI III III 1 0 I 0 0 0 1 I 0 0 0- 1411 0 III 75 14 HI 1 2 3 25 10

21、 5 14 7 14 III III HI 0 0 0 0 0 0 1 11 I 11 _2_ Al 14 14 14 14 0 75 I 25 10 5 14 14 7 14 - III 川I III m HI 1 0 I 0 0 0 1 I 0 0 0 一 - 0 ,1 2 3 1 1 I石 14 14 0 1 , 1 j4 1 I 一 3 15 15 III III 11 I IH III HI 1 I 0 0 0 14 V 1 I 0 0 0 1 h1 14 2 斗 -11 III 14 14 14 75 14 HI 11 14 25 14 III 10 III 14 III 所以Al

22、_ = 14 1 14 14 14 -1 4 15 一-5 -1 15 15 例10設(shè)A 1 因為at = 41 求最小范數(shù)逆需 31 ，所以 aat _5 10 15 I 1 0 0 10 20 30 I 0 1 0 15 30 45 I 0 0 1 III HI IH I HI HI III 1 2 3 I 0 0 0 0 _2 6 I 0 0 0 4 ill HI IH HI III IH III III _5 10 151 10 20 30 J5 30 45 一 2 3 4 6 I 6 9 I HI HI I 2 3 I 5 5 I 4 6 I 5 5 I - 丨1 0 0 - 1 1 5 2 0 3 0 5 HI 1 0 5 2 0 1 I 0 0 0 對下列矩陣施行初等變換有 IH HI III III IH IH III III 500| 000 | |000 | 0 III III III | III IH III 1 III HI 1 所以Am 衛(wèi) 1|-2 0.一3 01 5 2 1 - 上述例題給出的求廣義逆矩陣 Am和a的方法, 計算得到了徹底解決 | 1 0 0 1-210 1-301 I川川III 簡便易行且使各種廣義逆矩陣的 致謝 本