[中考數(shù)學(xué)]探索規(guī)律題的解法大年初一

1、探索規(guī)律題的解法新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生，能夠初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).為適應(yīng)新的教學(xué)理念及社會(huì)和諧發(fā)展的需要，既考查三基又考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的中考在近幾年來出現(xiàn)了頗具新意的觀察探索歸納猜想類型題，以數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)思想方法為載體，考查潛能的創(chuàng)新題脫穎而出.面對(duì)新題學(xué)生們總會(huì)不知所措。規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)

2、想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力本文從數(shù)與式，數(shù)與形角度出發(fā)，結(jié)合近年中考題分析一下此類題的解法。一、 an=kn+b型（一次函數(shù)型）k，b都是常數(shù)。例1.下圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè) 圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，那么第n個(gè)(n是正整數(shù))圖案中由_個(gè)基本圖形組成.從數(shù)的角度分析可知，每個(gè)圖都比上一個(gè)圖多出3個(gè)基本圖形，符合一次函數(shù)每次增減相同，隨意可以設(shè)第n個(gè)(n是正整數(shù))圖案中由kn+b個(gè)基本圖形組成.由第1個(gè) 圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，可知（1,4），（2,7）滿足an=kn+b，代入 解得 k=3

3、，b=1. 所以答案為：3n+1.從形的角度分析，如圖，每次增加3個(gè)基本圖形，第1次為4個(gè)，即3+1，第2次為7個(gè)，即3+3+1=32+1，第3次為10個(gè)，即3+3+3+1=33+1，所以答案為：3n+1.例2：如圖，圖，圖，圖，.是用圍棋棋子擺成的一列具有一定規(guī)律的“山”字則第個(gè)“山”字中的棋子個(gè)數(shù)是 圖圖圖圖從形的角度分析此題不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從數(shù)的角度分析可知，每個(gè)圖都比上一個(gè)圖多出5個(gè)棋子，列一次函數(shù)，易得第個(gè)“山”字中的棋子個(gè)數(shù)是。二、an=an2+bn+c型（二次函數(shù)型）a，b，c是常數(shù)。例3. 如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察圖形并解答下列問題.n=1 n=

4、2 n=3在第n個(gè)圖中，共有 白塊瓷磚。（用含n的代數(shù)式表示）從數(shù)的角度分析，得（1,2），（2,6），（3,12），（4,20），每個(gè)圖比上一個(gè)圖多出的白正方形個(gè)數(shù)不相等，不是一次函數(shù)型的，但再次作差，發(fā)現(xiàn)差相等，我們可以確定這是二次函數(shù)型的，為什么這么說，我們不妨取an=an2+bn+c上4個(gè)連續(xù)點(diǎn)（n，an2+bn+c），（n+1，a(n+1)+b（n+1）+c），（n+2，a(n+2)+b（n+2）+c），（n+3，a(n+3)+b（n+3）+c），作差a(n+1)+b（n+1）+c-（an2+bn+c）=2na+a+b；a(n+2)+b（n+2）+c-（a(n+1)+b（n+1）+c

5、）=2na+3a+b a(n+3)+b（n+3）+c - （a(n+2)+b（n+2）+c ）= 2na+5a+b 再次作差2na+3a+b-（2na+a+b）=2a，2na+5a+b-（2na+3a+b）=2a，差相等。而且差的一半就是二次項(xiàng)系數(shù)。將來同學(xué)們上了高中，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)就可以更好地理解其中的道理。根據(jù)上述方法，第一次作差6-2=4,12-6=6,20-12=8，第二次作差6-4=2,8-6=2，二次項(xiàng)系數(shù)為1，設(shè)解析式為n2+bn+c，代入（1,2），（2,6）得b=1，c=0.所以第n個(gè)圖中，共有白塊瓷磚。對(duì)于純數(shù)字二次函數(shù)型規(guī)律上述方法是一個(gè)不錯(cuò)的通法。 從形的的角度分析，第1個(gè)

6、圖有12=2，第2個(gè)圖有23=6，第3個(gè)圖有34=12，第n個(gè)圖形有n（n+1）=n2+n。三、-1n或-1n+1型，即符號(hào)正負(fù)交替型例4. 一組按一定規(guī)律排列的式子：，（a0）則第n個(gè)式子是_（n為正整數(shù)）先看符號(hào)：-，+，-，+，-，+，-，+ 所以為-1n，分母上數(shù)規(guī)律為一次函數(shù)型，易得為n，字母上指數(shù)規(guī)律是一次函數(shù)型，易得為3n-1.所以第n個(gè)式子是例5. 一組按規(guī)律排列的式子：，其中第8個(gè)式子是 ，第n個(gè)式子是 （n為正整數(shù)）先看符號(hào)： +，-，+，-，+，-，+，- 所以為-1n+1，分母上字母指數(shù)規(guī)律為一次函數(shù)型，易得為3n-1，分子數(shù)規(guī)律是二次函數(shù)型，易得為n2.所以第8個(gè)式子

7、是 ；第n個(gè)式子是。四、2n、2n1及2n1型，作為最常見的指數(shù)函數(shù)型是中考考查重點(diǎn)例6. 如圖，在中，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得，則= 的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得，則= 由幾何知識(shí)可以推出=，=4，a3=8,a4=16,所以答案為：, 例7. 如圖，直線：與直線： ，直線與y軸交于點(diǎn)a一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)a出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)依次經(jīng)過點(diǎn)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；請(qǐng)你

8、通過歸納得出點(diǎn)、的坐標(biāo)；并求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)解：（1） a點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，1），則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 同理，可得 ， b37,4, a37,8,經(jīng)過歸納得 ， 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和再減去1，即 五、循環(huán)型（關(guān)鍵是找出循環(huán)規(guī)律，需要多分析幾個(gè)量或圖形）例8.如圖，已知a1（1，0），a2（1，1），a3（1，1），a4（1，1），a5（2，1），則點(diǎn)a2 007的坐標(biāo)為_解：先按順序?qū)懗鯽1（1，0），a2（1，1），a3（1，1），a4（1，1），a5（2，1），a6 2,2,a7-2,2, a8（2，-

9、2），a9（3，-2）,a3（3，3）很容易得到循環(huán)規(guī)律：橫坐標(biāo)從第一個(gè)開始每4個(gè)的絕對(duì)值依次為1,2,3，符號(hào)依次+， +，-，-，縱坐標(biāo)從第二個(gè)開始每4個(gè)的絕對(duì)值依次為1,2,3，符號(hào)依次+， +，-，-， 20074=5013，答案易得。例9.右圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母 a，b，c，d.請(qǐng)按圖中箭頭所指方向（即 abcdcbabc 的方式）從 a 開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù) 1，2，3，4，當(dāng)數(shù)到 時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是 ；當(dāng)字母c第次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是 ；當(dāng)字母c第次出現(xiàn)時(shí)（為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是 （用含的代數(shù)式表示）.解：解題思路同上，先按順序排列，如下表：a bcdcbabc

10、dcbabcdcb123456789101112131415161718看上表格可知，字母出現(xiàn)順序從第1個(gè)起，依次是abcdcb每6個(gè)一循環(huán)，所以第12個(gè)是b，每個(gè)循環(huán)里有2個(gè)字母c，分別在每個(gè)循環(huán)的第2個(gè)和第3個(gè)，所以第次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是1006+3=603，當(dāng)字母c第次出現(xiàn)時(shí)（為正整數(shù)），共有n次循環(huán)再加第一次出現(xiàn)c，所以恰好數(shù)到的數(shù)是6n+3.例8和例9都需要多算幾個(gè)，發(fā)現(xiàn)其中的循環(huán)規(guī)律，問題就迎刃而解了。六、斐波那契數(shù)列及其他類型例10.一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，1,2,3,5,8,13 請(qǐng)你推斷第9個(gè)數(shù)是_解：斐波那契數(shù)列是一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)數(shù)列，要求其通項(xiàng)公式在初中階段學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備不足，但學(xué)生容易看出規(guī)律：從第3項(xiàng)開始，每一個(gè)數(shù)等于前2個(gè)數(shù)字之和。這樣就很快求出第9個(gè)數(shù)是34.例11. 如圖1是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，是相鄰兩行的前四個(gè)數(shù)（如圖1所示）那么當(dāng)時(shí)，解：本題是以我國古代的楊輝三角為背景的規(guī)律探索型試題，考查了學(xué)生對(duì)類比方法的運(yùn)用推理知每行的第一個(gè)數(shù)及最后一個(gè)數(shù)與行數(shù)相同，而其他數(shù)分別是上面兩個(gè)數(shù)的和（如圖2），因此，當(dāng)時(shí)，則29，所以，9，37例10和例11屬于非常規(guī)的找規(guī)律，但知識(shí)經(jīng)典，規(guī)律明顯，也是中考常見的。在平時(shí)教學(xué)中教師應(yīng)該有滲透，主要是方