線性微分方程組

1、第五章線性微分方程組教學(xué)目標(biāo)1. 理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，2. 理解n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。3. 掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，4. 理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基解矩陣的方法。5. 掌握常系數(shù)線性微分方程組的Lapice變換法。教學(xué)中難點求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組教學(xué)方法講授，實踐。教學(xué)時間16學(xué)時教學(xué)內(nèi)容n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，一階線性微分方程組解的存在唯一性定 理；齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，求解非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法；常系數(shù) 齊線性

2、微分方程組的基解矩陣及求基解矩陣的方法；求常系數(shù)線性微分方程組的Lapice變換法?？己四繕?biāo)1. 線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。2. 能夠求解常系數(shù)線性微分方程組。存在唯一性定理記號和定義考察形如Xi3ii(t)xiai2(t)X2Hain(t)Xnfi(t)()X2a2i(t)為a22(t)X2IIa2n(t)Xnf2 (t)lllllllllllllllXnani(t)%an2(t)X2|ann(t)Xnfn (t)的一階線性微分方程組，其中已知函數(shù)aj (t)(i, j i2|卜n)和(t)(ii,2,卅，n)在區(qū)間a t上是連續(xù)的。方程組()關(guān)于X|, x2|, xn及x-i, x2J

3、 11, xn是線性的.引進(jìn)下面的記號:a12a1AL/Vna117z/lx這里A(t)是n n矩陣，它的元素是個函數(shù) aj(t)(i, j 1,2,川,n).fi(t)f(t) f2(t)XiXifn(t)這里f (t)， x， x是n 1矩陣或X2lX2i()XnXnn維列向量。注意，矩陣相加、矩陣相乘、矩陣與純量相乘等等性質(zhì)對于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立。這 樣一來，方程組()可以寫成下面的形式()x A(t)x f (t)引進(jìn)下面的概念。一個矩陣或者一個向量在區(qū)間a t b上稱為連續(xù)的，如果它的每一個元素都是區(qū)間a t b上的連續(xù)函數(shù)。一個n矩陣B(t)或B(t)者一個n維列向量bi

4、i(t)bi2(t)b2i (t)b22(t)IIIHl lbni (t)bn2(t)u(t):g(t)b2n(t)IIIbnn (t)u(t)Ui(t)U2 (t)IUn (t)在區(qū)間ab上稱為可微的，如果它的每一個元素都在區(qū)間a t b上可微。它們的導(dǎo)數(shù)分別由下式給出:B(t)不難證明，如果S(t)b2i(t)IIIbni(t)S(t)b22(t)Hlbn2(t)n n 矩陣 A(t)，bin(t)b2n(t)HIbnn (t)u(t)Ui(t)U2 (t)IUn (t)B(t)及n維向量u(t)，v(t)是可微的，那么下列等式成立:(I) A(t) B(t) A(t) B(t)u(t)

5、v(t) u(t) v(t)(n) A(t) B(t) A(t)B(t) A(t)B(t)(川)A(t)u(t) A(t) u(t)A(t)u(t)類似地，矩陣 B(t)或者向量u(t)在區(qū)間b上稱為可積的，如果它的每一個元素都在區(qū)間a t b上可積。它們的積分分別由下式給出:ba B(t)dtbbii(t)dtababii(t)dtIIIbbii(t)dtab8(t)dtaba S(t)dtIIIb02(t)dtaIIIIIIIIIIIIbbin (t)dtabab2n (t)dtIIIbbnn(t)dtaba u(t)dtbu1 (t)dtaba U2(t)dtbUn(t)dta現(xiàn)在我們給

6、出()的解的定義:定義1設(shè)A(t)是區(qū)間a tb上的連續(xù)n n矩陣,f (t)是同一區(qū)間ab上的連續(xù)n維向量。方程組x A(t)x f (t)()在某區(qū)間t(這里，a,b )的解就是向量u(t)，它的導(dǎo)數(shù)u (t)在區(qū)間t上連續(xù)且滿足u(t) A(t)u(t) f(t) , t現(xiàn)在考慮帶有初始條件 x(to)的方程組(5 . 4),這里to是區(qū)間a t b上的已知數(shù)，是n 維歐幾里得空間的已知向量，在這樣條件下求解方程組稱為初值問題。 定義2初值問題()的解就是方程組()在包含t0的區(qū)間 t 上的解u(t)，使得u(t0) 例2驗證向量u(t)是初值冋題在區(qū)間上的解。解顯然u(0)0e0e因為

7、e t和et處處有連續(xù)導(dǎo)數(shù),x, x(0)我們得到u(t)tetetete正如在第而章所看到的，當(dāng)1時，我們可以得到初值問題（）的解的明顯表達(dá)式，當(dāng)n 2時,因此u（t）是給定初值問題的解。情況就復(fù)雜多了。在第四章中，我們討論了帶有初始條件的n階線性微分方程的初值問題?，F(xiàn)在進(jìn)一步指出，可以通過下面的方法，將 n階線性微分方程的初值問題化為形如（）的線性微分方程組的初值問題。考慮n階線性微分方程的初值問題()ta,b，1, 2,III, n 是已知x(n)a1(t)x(n1)an 1(t)xan(t)xf (t)x(t0)1,X(t)2,|,X(n (t。) n其中a1（t）,a2（t）,|,a

8、n（t），f（t）是區(qū)間a t b上的已知連續(xù)函數(shù),常數(shù)。我們指出，它可以化為下列線性微分方程組的初值問題其中01 000 1xIIIIII00 0an(t)an 1 (t)an2(t)1x(t。)0000x 01-印f (t)事實上，令這時XiXX2XnXiX, X2x ,X3X2Xnx,川,Xn X(n 1)X)XX3Xn iX(n 1)XnXnX(n)an(t)Xi ani(t)X2 卅 印億風(fēng) f (t)而且X(to)iX(to)i,X(to)2X(to)2,川,Xn(to)X(n1)(t。)n現(xiàn)在假設(shè)(t)是在包含t0的區(qū)間a t b上()的任一解。由此，得知(t),(t),卅，(n

9、)(t)在i(t)(t)2(t)11In(t)其中 i(t)(t),2(t)(t),，n(t)(ni)(t)(a t b)，那么，顯然有 (to)a t b上存在、連續(xù)、滿足方程()且(to)1 ,(to) )(t0) n。令。此外,i(t)(t)2(t)2(t)e3(t)(t):15%)pfn i(t)n(t)n(t)(n)(t)ai(t)(n %)an(t) (t)f(t)2(t)010101(t)03(t)110110111110P2(t)1011IO1n(t)100III10P11n 1(t)10an(t) i(t)ai(t) n(t)f(t)an (t)an i(t)IIIa2(t)

10、ai(t)n(t)f(t)這就表示這個特定的向量（t）是（）的解。反之，假設(shè)向量u（t）是在包含t0的區(qū)間a t b上（）的解。令Ui(t)u(t)U2(t)IIUn (t)并定義函數(shù) w（t） u,（t），由（）的第一個方程，我們得到w（t） 5（t）u2（t），由第二個方程得到w (t)U2(t)U3(t),，由第n 1個方程得到w(n 1)(t)Un i(t) Un(t)，由第n個方程得到w(n)(t) Un(t)an(t)Ui(t) an i(t)u2(t)川 a2(t)Un i(t) ai(t)Un(t)f (t)a(t)w(n1)(t) a2(t)w(n2)(t)川 an(t)w(

11、t) f(t)由此即得w(n)(t)a!(t)w(n i(t) a2(t)w(n2)(t)川 an(t)w(t) f (t)同時，我們也得到w(to) Ui(to) i,川,W (to)Un(to)n這就是說，w(t)是()的一個解。總之，由上面的討論，我們已經(jīng)證明了初值問題（）與（）在下面的意義下是等價的：給定其中 一個初值問題的解，我們可以構(gòu)造另一個初值問題的解。值得指出的是：每一個n階線性微分方程可化為 n個一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不x0 ix， xi 0Xi x2不能化為一個二階微分方程。存在唯一性定理本節(jié)我們研究初值問題xA(t)x f (t)，x(to)成立。例如方程組

12、()的解的存在唯一性定理。類似與第三章，我們通過五個小命題，采用逐步逼近法來證明定理。因為現(xiàn)在討論的是方程組（寫成向量的形式），所以有些地方稍微復(fù)雜些，而且要引進(jìn)向量、矩陣的“范數(shù)”及向量函數(shù)序列的收斂性等概念；然而由于方程是線性的，所以有些地方又顯得簡單些，而且結(jié)論也 加強(qiáng)了?？傊?，我們要比較第三章中的證明和現(xiàn)在的證明的異同，從對比中加深對問題的理解。Xi對于n n矩陣A aij和n維向量xn nX2，我們定義它的范數(shù)為Xnnaiji,j 1設(shè)代B是n n矩陣，x， y是n維向量，這時容易驗證下面兩個性質(zhì):1) AB A B Ax A x2) A B A B x y x yXik向量序列xk

13、 , XkX2k,1稱為收斂的，如果對每一個 i(i 1,2j|,n)數(shù)列 Xik都是收斂的。1XnkNk(t)向量函數(shù)序列兀(t)，Xk(t)2k()稱為在區(qū)間a t1b上收斂的(一致收斂的)，如果對于1Xnk(t)每一個i(i 1,2,1”，n)函數(shù)序列xk(t)在區(qū)間a t b上是收斂的(一致收斂的)，易知，區(qū)間a t b上的連續(xù)向量函數(shù)序列xjt)的一致收斂極限向量函數(shù)仍是連續(xù)的。向量函數(shù)級數(shù)xk (t)稱為在區(qū)間a t b上是收斂的(一致收斂的)，如果其部分和作成的向量k 1函數(shù)序列在區(qū)間a t b上是收斂的(一致收斂的)。判別通常的函數(shù)級數(shù)的一致收斂性的維氏判別法對于向量函數(shù)級數(shù)也

14、是成立的，這就是說，如果|xk(t)| Mk, a t b而級數(shù) Mk是收斂的，則xk(t)在區(qū)間a t b上是一致收斂的。xk(t)在區(qū)間k 1k 1積分號下取極限的定理對于向量函數(shù)也成立，這就是說，如果連續(xù)向量函數(shù)序列a t b上是一致收斂的，則bmHklim xk(t)dta k注意，以上談到的是向量序列的有關(guān)定義和結(jié)果，對于一般矩陣序列，可以得到類似的定義和結(jié)果。例如，n n矩陣序列 A ，其中Aka(k) “ “稱為收斂的，如果對于一切i，j 1,2|,n，數(shù)列a(k)都是收斂的。無窮矩陣級數(shù)人 AA2III 人 IIIk 1稱為收斂的，如果它的部分和所成序列是收斂的。如果對于每一個

15、整數(shù) k，而數(shù)值級數(shù)Mk是收斂的，則Ak也是收斂的。k 1k 1同樣，可以給出無窮矩陣函數(shù)級數(shù)Ak(t)的一致收斂性的定義和有關(guān)結(jié)果。k 1定理1 (存在唯一性定理)如果 A(t)是n n矩陣。f(t)是n維列向量，它們都在區(qū)間a t b上連續(xù)，則對于區(qū)間a t b上的任何數(shù)t0及任一常數(shù)向量12IIn方程組x A(t)x f(t)()存在唯一解 (t)，定義于整個區(qū)間a t b上，且滿足初始條件(to)。類似于第三章，我們分成五個小命題來證明命題1 設(shè)(t)是方程組(5 . 4)的定義與區(qū)間 a t b上且滿足初始條件(to) 的解，則 (t)是積分方程x(t)()tA(s)x(s) f(s

16、) ds, a t bto的定義于a t b上的連續(xù)解，反之亦然。證明完全類似于第三章，茲不累贅。現(xiàn)在取0 (t)，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下:o(t)k(t)tt A(s) k i(s) f (s) ds,a t btok 1,2，HI向量函數(shù)k(t)稱為()的第k次近似解。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法立刻推得命題2:命題2對于所有的正整數(shù) k，向量函數(shù)k(t)在區(qū)間a t b上有定義且連續(xù)。命題3向量函數(shù)序列 k(t)在區(qū)間at b上是一致收斂的。命題4(t)是積分方程()的定義在區(qū)間a t b上的連續(xù)解。命題5設(shè)(t)是積分方程()的定義于a tb上的一個連續(xù)解，則(t)(t) ( a t b

17、)。綜合命題15,即得到存在唯一性定理的證明。值得指出的是，關(guān)于線性微分方程組的解(t)的定義區(qū)間是系數(shù)矩陣 A(t)和非齊次項f(t)在其上連續(xù)的整個區(qū)間 a t b。在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列k(t)時，k(t)的定義區(qū)間已經(jīng)是整個a t b，不像第三章對于一般方程那樣，解只存在于to的某個鄰域，然后經(jīng)過延拓才能使解定義在較大的區(qū)間。注意到中關(guān)于n階線性方程的初值問題()與線性微分方程組的初值問題()的等價性的論述，立即由本節(jié)的存在唯一性定理可以推得關(guān)于n階線性微分方程的解的存在唯一性定理。推論(即第四章的定理1)如果ai(t),|,an(t) , f (t)都是區(qū)間a t b上的連續(xù)函數(shù)，則

18、對于區(qū)間a t b上的任何數(shù)to及任何的1，2,|, n，方程x(n)ai(t)x(n1)川an i(t)xan(t)x f (t) 存在唯一解w(t)，定義于整個區(qū)間a t b上且滿足初始條件:W(to) i,W(to)2(, w(n 1)(to)n。 5. 2線性微分方程組的一般理論現(xiàn)在討論線性微分方程組x A(t)x f(t)()的一般理論，主要是研究它的解的結(jié)構(gòu)問題。如果f(t)/ 0 ,則()稱為非齊線性的。如果f (t)0 ,則方程的形式為x A(t)x()稱()為齊線性方程組，通常()稱為對應(yīng)于()的齊線性方程組。5 . 2 . 1齊線性微分方程組本段主要研究齊線性方程組(5.

19、15)的所有解的集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)問題。我們假設(shè)矩陣A(t)在區(qū)間a t b上是連續(xù)的。設(shè)u(t)和v(t)是()的任意兩個解，和是兩個任意常數(shù)。根據(jù)向量函數(shù)的微分法則，即知u(t) v(t)也是()的解，由此得到齊線性方程組的疊加原理。定理2 (疊加原理)如果 U(t)和v(t)是()的解，則它們的線性組合U(t) v(t)也是()的解，這里，是任意常數(shù)。定理2說明，()的所有解的集合構(gòu)成一個線性空間。自然要問：此空間的維數(shù)是多少呢為此，我們引進(jìn)向量函數(shù)Xi(t), X2(t),|,Xm(t)線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。設(shè)Xi(t),X2(t),|,Xm(t)是定義在區(qū)間a t b上的向量函數(shù)，如

20、果存在不全為零的常數(shù)G,C2, ,Cm，使得恒等式CiXi(t) C2X2(t)川 CmXm(t)0, at b成立；稱向量函數(shù)Xi(t), X2(t),卅，Xm(t)在區(qū)間a tb上線性相關(guān)，否則，稱Xi(t),X2(t),卅，Xm(t)為線性無關(guān)的。設(shè)有n個定義在區(qū)間a t b上的向量函數(shù)Xi(t)Xii(t)Xin(t)X21 (t)I“、X2n(t):，lII，Xn(t):1Xni (t)Xnn (t)由這n個向量函數(shù)構(gòu)成的行列式W Xi(t),X2(t),川,Xn(t)W(t)Xii(t)X21 (t)IXl2(t)X22 (t)1Xin(t)X2n(t)Xni (t)Xn2(t)I

21、IIXnn (t)稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。定理3如果向量函數(shù)Xj(t), x2(t),川，xn(t)在區(qū)間a tb上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式W(t)證明由假設(shè)可知存在不全為零的常數(shù)gq,卅，cn使得()qxi(t) X2(t)川 CnXn(t)0, a t b看成是以G,C2,|,Cn為未知量的齊次線性代數(shù)方程組，這方程組的系數(shù)行列式就是Xi(t),X2(t),川，Xn(t)的伏朗斯基行列式 W(t)。由齊次線性代數(shù)方程組的理論知道，要此方程組有非零 解，則它的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即W(t) 0, a t b定理證畢。定理4 如果()的解 Xi(t),X2(t),川，Xn(t)

22、線性無關(guān)，那么，它們的伏朗斯基行列式W(t) 0 ,a t b。證明我們采用反證法。設(shè)有某一個t0 , a t0 b，使得W(t) 0?？紤]下面的齊次線性代數(shù)方程組：CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t) 0()它的系數(shù)行列式就是W(t。)，因為W(t。)0,所以()有非零解CillLCn，以這個非零解gAJlLCn構(gòu)成向量函數(shù)x(t):x(t)Clxi(t) X2(t)川 CnXn(t)()根據(jù)定理2,易知 X(t)是()的解。注意到()，知道這個解X(t)滿足初始條件x(to)0()但是，在a t b上恒等于零的向量函數(shù)o也是()的滿足初始條件()的解。由解的唯一性，知道x(t)

23、 0 ,即宓楓 | CnXn(t) 0, a t b因為 CW|，Cn 不全為零，這就與 X1(t),x2(t)|,xn(t)線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，定理得證。由定理3,定理4可以知道，由()的n個解X,(t),X2(t),川，Xn(t )作成的伏朗斯基行列式 W(t), 或者恒等于零，或者恒不等于零定理5() 定存在n個線性無關(guān)的解x1(t),x2(t)|,xn(t).證明 任取t0 a,b，根據(jù)解的存在唯一性定理,()分別滿足初始條件0 ,|,Xn(t0)000II1的解X1(t), X2(t),川,Xn(t) 一定存在。又因為這n個解X1(t),X2(t),川,Xn(t)的伏朗斯基行列式W(

24、t。) 1 0,故根據(jù)定理3,X1(t),X2(t),|,Xn(t)是線性無關(guān)的，定理證畢。定理6 如果x(t),X2(t),川，Xn(t)是()的n個線性無關(guān)的解，則()的任一解 X(t)均可表為X(t) GXt) C2X2(t)川 CnXn(t)這里C1,C2,川,Cn是相應(yīng)的確定常數(shù)。證明任取t0a,b，令x(t)C1X1(t)qX2(t) | CnXn(t)()把()看作是以C1,C2,|,Cn為未知量的線性代數(shù)方程組。這方程組的系數(shù)行列式就是W(t。)。因為Xi(t),X2(t),川，Xn(t)是線性無關(guān)的，根據(jù)定理4知道 W(t。) 0。由線性代數(shù)方程組的理論， 方程組有 唯一解5

25、Q,卅，Cn。以這組確定了的CbQ,卅，Cn構(gòu)成向量函數(shù)C1X1(t) QX2(t)川 ChXn (t)，那么， 根據(jù)疊加原理，它是()的解。注意到()，可知()的兩個解 X(t)及C1X1(t) qx2(t)川 CnXn(t)具 有相同的初始條件。由解的唯一性，得到X(t) CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)定理證畢。推論1()的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.()的n個線性無關(guān)的解Xi(t),X2(t),川，Xn(t)稱為()的一個基本解組。顯然， ()具有無窮多個 不同的基本解組.由定理5和定理6，我們知道()的解空間的維數(shù)是n.即()的所有解構(gòu)成了一個n維的線性空間.注意到節(jié)

26、關(guān)于n階線性微分方程的初值問題()與線性微分方程組的初值問題()的等價性，本節(jié)的所有定理都可以平行地推論到n階線性微分方程上去。從本節(jié)的定理2容易推得第四章的定理2。參看中關(guān)于純量函數(shù)組的線性相關(guān)概念，可以證明：一組n 1次可微的純量函數(shù) Xi(t), X2(t),川，Xm(t)線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)Xi(t)X2(t)Xm(t)Xi(t)11X2(t)+|Xm,(t)(* )Xi(n ；)(t)x2ni)(t)Xm1 b (t)線性相關(guān)。事實上，如果Xi(t), X2(t)J|, Xm(t)線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)Ci,C2,|,Cm使得CiXi(t)C2X2(t)將上式對t微分

27、一次，二次，CiXi(t)C2X2(t)CiXi(t)C2X2(t)HICmXm(t)0n 1次，得到CmXm(t)0CmXm(t)0(t) III CmXmn1)(t) 0(nIIIIIIIIIIIIHIGxf 1 (t)C2x2即有Xi(t)X2(t)Xm(t)Xi(t)Ci，1X2(t)C2，IIIXm(t)Cm0( * )1Xi(ni)(t)x2n %)Xmn %)這就是說，向量函數(shù)組(*)是線性相關(guān)的。反之，如果向量函數(shù)(*)線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)C|,C2,|,Cm使得(* )成立，當(dāng)然有GXt) C2X2(t)川 CmXm(t)0 ,這就表明Xi(t),X2(t),卅,X

28、m(t)線性相關(guān)。推論2如果Xi(t),X2(t)j|,Xn(t)是n階微分方程X(n) ai(t)x(n1)川 an(t)X 0()的n個線性無關(guān)解，其中ai(t)J|,an(t)是區(qū)間a tb上的連續(xù)函數(shù)，則()的任一解x(t)均可表為X(t) CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)這里Ci, C2 |, Cn是相應(yīng)的確定常數(shù)。如果Xi(t),X2(t),川，Xn(t)是()的n個線性無關(guān)解，根據(jù)n階微分方程通解的概念及W川)朋),川,人(00,函數(shù)X(t)CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)就是()的通解，其中 SC2,卅，Cn是任意常數(shù)?，F(xiàn)在，將本節(jié)的定理寫成矩陣

29、的形式。如果一個n n矩陣的每一列都是()的解，稱這個矩陣為()的解矩陣。如果它的列在a t b上是線性無關(guān)的解矩陣，稱為在a t b上()的基解矩陣。用(t)表示由()的n個線性無關(guān)的解i(t), 2(t),|, n(t)作為列構(gòu)成的基解矩陣。定理$和定例6即可以表述為如下的定理i*。定理i* () 一定存在一個基解矩陣(t)。如果 (t)是()的任一解，那么(t) (t)C ()這里C是確定的n維常數(shù)列向量。定理2* ()的一個解矩陣(t)是基解矩陣的充要條件是det (t) 0 ( a t b )。而且，如果對某一個 toa,b , det (t。) 0,則 det (t) 0 , a

30、t b。( det (t)表示矩陣(t)的行列式)。要注意：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關(guān)的。例1 驗證(t)tet et是方程組x ，其中x1的基解矩陣。x2解首先，我們證明(t) 是解矩陣。令1(t) 表示(t)的第一列，這時這表示這表示1(t)et 1 10 0 1et 1001(t)1(t) 是一個解。同樣，如果以2 (t )表示(t)的第二列，我們有2(t)(t 1)ettetet t e1110 112(t)2(t) 也是一個解。因此，(t)1(t),2 (t) 是解矩陣。其次，根據(jù)定理 2* ，因為 det (t)e2t 0 ，所以(t) 是基解矩陣。推論1* 如果

31、(t)是()在區(qū)間a tb上的基解矩陣,C 是非奇異 n n 常數(shù)矩陣，那么，(t)CX(t)必滿足關(guān)系也是()在區(qū)間a t b上的基解矩陣。證明 首先，根據(jù)解矩陣的定義易知，方程()的任一解矩陣X (t)A(t)X(t)，( at b)反之亦然?，F(xiàn)令(t)(t)C，( a tb)微分上式，并注意到(t) 為方程的基解矩陣，C 為常數(shù)矩陣，得到(t)(t)C A(t) (t)CA(t) (t)即 (t) 是()的解矩陣。又由 C 的非奇異性，我們有det (t) det (t) detC 0 ( a t b )因此由定理2*知，(t)即(t)C是()的基解矩陣。推論2*如果 (t),(t)在區(qū)

32、間a tb上是xA(t)x的兩個基解矩陣，那么，存在一個非奇異n n常數(shù)矩陣C，使得在區(qū)間a t b上(t) (t)C 。證明 因為(t)為基解矩陣，故其逆矩陣1(t) 一定存在?，F(xiàn)令1(t) (t) X(t) ( a t b)或(t)(t)X(t)( a t b)易知X(t)是n n可微矩陣，且detX(t) 0( a t b)于是A(t) (t)(t)A(t) (t)X(t)(t)X(t) (t)X (t)(t)X (t) A(t) (t) (t)X (t)(a t b)由此推知 (t)X (t)0,或X (t)0( a t b)，即X(t)為常數(shù)矩陣，記為 C。因此我們有(t) (t)C

33、 ( a t b)其中C 1(a) (a)為非奇異的n n常數(shù)矩陣推論2*得證。非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組x A(t)x f (t)()的解的結(jié)構(gòu)問題，這里A(t)是區(qū)間a t b上的已知n n連續(xù)矩陣，f (t)是區(qū)間a t b上的已知n維連續(xù)列向量，向量 f(t)通常稱為強(qiáng)迫項，因為如果()描述一個力學(xué)系統(tǒng)，f(t)就代表外力。容易驗證()的兩個簡單性質(zhì)：性質(zhì)1如果 是()的解， (t)是()對應(yīng)的齊線性方程組()的解，則 (t)(t)是()的解。性質(zhì)2如果 月 和_(t)是()的兩個解，則 W) 一是()的解。F面的定理7給出()的解的結(jié)構(gòu)。定理7設(shè)(t)是()的基解矩

34、陣，一住)是()的某一解，則()的任一解(t)都可表為(t) (t)c 飛)()這里c是確定的常數(shù)列向量。證明由性質(zhì)2我們知道-(t)是()的解，再由的定理1*，得到(t) _(t)(t)c這里c是確定的常數(shù)列向量，由此即得(t) (t)c (t)定理證畢。定理7告訴我們，為了尋求()的任一解，只要知道()的一個解和它對應(yīng)的齊線性方程組()的基解矩陣。在知道()的基解矩陣(t)的情況下，尋求()的解 (t)的簡單的方法 常數(shù)變易法。由定理1*可知，如果c是常數(shù)列向量，則 (t) (t)c是()的解，它不可能是()的解。因此，將c變易為t的向量函數(shù)，而試圖尋求()的形如(t)(t)c(t)()的

35、解。這里c(t)是待定的向量函數(shù)。假設(shè)()存在形如()的解，這時，將()代入()得到(t)c(t)(t)c(t) A(t) (t)c(t) f(t)因為(t)是()的基解矩陣，所以(t) A(t) (t)，由此上式中含有 A(t) (t)c(t)的項消去了。因而c(t)必須滿足關(guān)系式(t)c(t) f (t)()因為在區(qū)間a t b上(t)是非奇異的，所以 1(t)存在。用1(t)左乘()兩邊，得到t 1c(t) 1(s)f (s)ds，t0,ta,bt0其中c(to)0。這樣，()變?yōu)閠 1(t)(t) t (s)f(s)ds，to,ta,b()to因此，如果()有一個形如()的解(t) ，

36、則 (t) 由公式()決定。反之，用公式()決定的向量函數(shù) (t) 必定是()的解。事實上，微分()得到 t 1 1(t) (t) t 1(s)f (s)ds (t) 1(t) f(t)t0t1A(t) (t) t 1(s)f(s)ds f (t)t0再利用公式() ，即得(t) A(t) (t) f (t)顯然，還有 (t0) 0 ，這樣一來，我們就得到了下面的定理8。定理 8 如果 (t )是()的基解矩陣，則向量函數(shù)(t)是()的解，且滿足初始條件t(t) tt0t011(s)f (s)ds(t0)0由定理 7 和定理 8 容易看出()的滿足初始條件(t0)的解 (t )由下面公式給出1

37、(t) (t) 1(t0)t1(t) t 1(s)f(s)dst0()這里 h(t)(t) 1(t0 ) 是()的滿足初始條件h(t0)的解。公式()或公式()稱為非齊線性微分方程組()的常數(shù)變易公式。 第五章11t ex11例 2 xxxx(0)010x21tt e te解 在例1 中我們已經(jīng)知道(t)t0 et是對應(yīng)的齊線性方程組的基解矩陣。取矩陣(t) 的逆，我們得到：sse se10 es1(t)2T-e這樣，由定理8,滿足初始條件(0)的解就是(t)tettedstette2se ds0tetet1(102te )1 / t(e e20t)h(0)11的解就是h(t)1(t) 1(t

38、 1)ett e由公式()，所求解就是(t) h(t)(t)(t 1)et et1 / tt(e e )20.t 1 , tt、te(e e )2teE，對應(yīng)的齊線性方程組滿足初始條件因為(0)注意到5.1.1關(guān)于n階線性微分方程的初值問題()與線性微分方程組的初值問題()等價性的討論，我們可以得到關(guān)于n階非齊線性微分方程的常數(shù)變易公式。推論3 如果a(t),a2(t),|,an(t)，f(t)是區(qū)間a tb上的連續(xù)函數(shù)，川),X2(t),|x(t)是區(qū)間a tb上齊線性方程x(n)a1(t)x(n1)川an(t)x0()的基本解組，那么，非齊線性方程x(n)a1(t)x(n1)川an(t)x

39、f (t)()的滿足初始條件(to)0, (to)ojll(ni)(to)0toa,b的解由下面公式給出nt(t) kiXk toWk Xi(s),X2(s), |W Xi(S),X2(S),Xn(s)，Xn(S) gdS這里 W Xi(s),X2(s)|,Xn(s)是 Xi（S）,X2（S）,川,Xn（S）的伏朗斯基行列式，W Xi（S）,X2（S）,川,Xn（s）是在W Xi(s),X2(s),|,Xn(s)中的第k列代以（O,O，川,O,i）T后得到的行列式，而且（）的任一解u（t）都具有形式u(t) GN(t) C2X2(t)川CnXn(t)(t)()這里Ci,C2,川，Cn是適當(dāng)選取

40、的常數(shù)。公式（）稱為（）的常數(shù)變易公式。這時方程（）的通解可以表為 XCiXi（t）gx2（t）|卄Cn Xn （t）（t）其中Ci,C2,川，Cn是任意常數(shù)。并且由推論3知道，它包括了方程（）的所有解。這就是第四章定理的結(jié)論。當(dāng)n2時，公式（）就是(t)Xi(t) t Xi(S)，X2(S)to WxJs),X2(s)tf(s)ds X2(t)toW2為必f(s)dS但是W Xi(s),X2(s)W2因此，當(dāng)n(t)Xi(s),X2(s)Xi(s),X2(s)0 X2(s)1 X2(S)Xi(s) OXi(s) i2時，常數(shù)變易公式變?yōu)閄2（S）Xi(s)t X2(t),Xi(s) Xi(t

41、),X2(s)W Xi(s),X2(s)to()而通解就是()XCiXi(t)gX2(t)(t)這里Ci, C2是任意常數(shù)例3試求方程x x tgt解易知對應(yīng)的齊線性方程的一個解。x x0的基本解組為x1（t） cost, x2（t） sin t。直接利用公式（）來求方程的一個解。這時cost sintW捲必1sint cost由公式（）即得（取t00）t(t)0 (sint cosscost sin s)tgsdsttsin t sin sds cost sin stgsds00 Dsin t(1 cost) cost(sint In sect tgt)sin t cost In sect

42、tgt注意，因為sint是對應(yīng)的齊線性方程的一個解，所以函數(shù)一（t） cost In sect tgt也是原方程的一個解。常系數(shù)線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)線性微分方程組的問題，主要討論齊線性微分方程組x Ax（）的基解矩陣的結(jié)構(gòu)，這里A是n n常數(shù)矩陣。我們將通過代數(shù)的方法，尋求（）的一個基解矩陣。最后討論拉普拉斯變換在常系數(shù)線性微分方程組中的應(yīng)用。5.3.1 矩陣指數(shù)exp A的定義和性質(zhì)為了尋求（）的一個基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)expA （或?qū)懽鱡A），這要利用5.1.2中關(guān)于矩陣序列的有關(guān)定義和結(jié)果。如果A是一個n n常數(shù)矩陣，我們定義矩陣指數(shù)exp A為下面的矩陣級數(shù)的和exp A

43、AkeAk 0 k!E A A2!mIIIAm! ll()其中E為n階單位矩陣，Am是矩陣A的m次幕。這里我們規(guī)定 A0 E，0! 1。這個級數(shù)對于所有的A都是收斂的，因而，exp A是一個確定的矩陣。事實上，由5.1.2中的性質(zhì)1：，易知對于一切正整數(shù)k，有A蟲 k! | k!又因?qū)τ谌我痪仃?A， A是一個確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù)E A 4tIII I瞪 III是收斂的（注意，它的和是n 1 eA ）。由知道，如果一個矩陣級數(shù)的每一項的范數(shù)都小于一個收斂的數(shù)值級數(shù)的對應(yīng)項，則這個矩陣級數(shù)是收斂的，因而（）對于一切矩陣A都是絕對收斂的。級數(shù).Aktkexp Atk o k!()在t的任何有限

44、區(qū)間上是一致收斂的。事實上，對于一切正整數(shù) 有Aktk空Akckk!k!k!k|a|c k而數(shù)值級數(shù)是收斂的，因而（）是一致收斂的。k 0 k!矩陣指數(shù)exp A有如下性質(zhì)：1 如果矩陣A，B是可交換的，即 AB BA，則k，當(dāng)t c（ c是某一正常數(shù)）時,exp（A B） exp A exp B（）事實上，由于矩陣級數(shù)（）是絕對收斂的，因而關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運算的一些定理，如項的重新排列不改變級數(shù)的收斂性和級數(shù)的和以及級數(shù)的乘法定理等都同樣地可以用到矩陣級數(shù)中來。由二項式定理及 AB BA，得A B kk ABk 七exp（A B）（）k o k!k o i o l !（kl）!另一方面，

45、由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得Ai exp A expBi o i!Bjj o j!比較（）和（），推得（）.2對于任何矩陣(exp A) 1exp(事實上，A與kABk tol!(k I)!(exp A)1存在，()A)()A是可交換的,故在（）中，令 B A，我們推得exp Aexp( A) exp( A (A)exp0 E由此即有1(exp A) exp( A)3如果T是非奇異矩陣，則()exp(T 1AT) T 1(expA)T事實上exp(T 1AT) E(T么盯k!定理9矩陣T 1AkTEk o k!1Ak1T (expA)T是（）的基解矩陣，且證明由定義易知（0）(t) (exp A

46、t)(t)(0)exp At微分（），A2tA3t2我們得到()1!2!IllAktk 1(k 1)!IllAexp AtA (t)這就表明，（t）是（）的解矩陣，又因為 det （0） detE 1，因此， （t）是（）的基解矩陣。證2畢。由定理9,我們可以利用這個基解矩陣推知（）的任一解（t）都具有形式（t） （expAt）c這里c是一個常數(shù)向量。()例1如果A是一個對角形矩陣，a10 A1100 a21p0II* 4 *III0（非主對角線上的元素都是零）P1anXAx的基解矩陣。解由（）可得在某些特殊情況下，容易得到（）的基解矩陣exp At的具體形式。，試找出a10III02a0II

47、I00a20 t02a2I0 t2expAt E 1k1114IiHI1 1ibf 1 *1 1!JIhi i r-2!100III1anI0卜0III2 anka0koaI1I440000 tkk!in anIII00eant根據(jù)定理9，這就是一個基解矩陣，當(dāng)然，這個結(jié)果是很明顯的，因為在現(xiàn)在的情況下，方程組可以寫成Xk akXk，k 1,2,11|, n，它可以分別進(jìn)行積分。2 1例2試求XX的基解矩陣。0 2解因為A，而且后面的兩個矩陣是可交換的，我們得到但是,exp At2 exp02te 02t0 e00t exp2020 10 1t2t0 00 0 2!0 10 00 00 0所以

48、，級數(shù)只有兩項。因此，基解矩陣就是2t 1 texpAt e2t015.3.2 基解矩陣的計算公式定理 9告訴我們，（）的基解矩陣就是矩陣 expAt .但是 expAt 是一個矩陣級數(shù)， 這個矩陣的每一 個元素是什么呢事實上還沒有具體給出，上面只就一些很特殊的情況，計算了 expAt 的元素。本段利 用線性代數(shù)的基本知識，仔細(xì)地討論 expAt 的計算方法，從而解決常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣 的結(jié)構(gòu)問題。為了計算（）的基解矩陣 expAt ，我們需要引進(jìn)矩陣的特征值和特征向量的概念。 類似于第四章的 4.2.2 ，試圖尋求x Ax （） 的形如（t） etc， c 0 （） 的解，其中常數(shù) 和向量 c 是待定的。為此，將（）代入（） ，得到e tc Ae tc因為 e t 0 ，上式變?yōu)椋?E A）c 0 （）這就表示，e tc是（）的解的充要條件是常數(shù)和向量c滿足方程（）。方程（）可以看作是向