初中幾何三角形五心及定理性質

1、初中幾何三角形五心定律及性質三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可 用燕尾定理證明，十分簡單。(重心原是一個物理概念，對于等厚度 的質量均勻 的三角形薄 片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名 )重心的性質：1、 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2: 1。2、重心和三角形任意兩個頂點組成的 3個三角形面積相等。即重心到三條邊 的距離 與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4、在

2、平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數，即其重心坐標為(X1+X2+X3 ) /3 ,(Y1+Y2+Y3 )/3 )。5、以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量外心定理第 2頁共 6 頁三用形外接圓的圓心，叫做三角形的外心口夕卜心的性質:1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心 2、若0是厶ABC的外心，則/ B0C=2 / A （/A為銳角或直角）或/ BOC=360 -2 Z A （/A 為鈍角）。3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重

3、合。5、外心到三頂點的距離相等垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質：1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這 7個點可以得到6個四點圓2、三角形外心0、重心G和垂心H三點共線，且0G : GH=1 : 2。（此直 線稱為 三角形的歐拉線（Euler line ）3、 垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1. 若D、E、 F分別是 ABC三邊的高的垂足，則/ 1 = / 2。（圖1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的內心。（圖1）3. 若D、E、 F分別是 ABC三邊的高的垂足，則/ 1 = /

4、 2。（圖2）定理證明已知： ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE相交于點0 ,連接CO并延長交AB于點F，求證：CF丄AB證明:連接DEvZ ADB= / AEB=90 度二A、B、D、E四點共圓?ZADE= Z ABE又 T/ ODC= / OEC=90 度?0 D、C、E 四點共圓？?/ ACF= / ADE 二 / ABE 又？： / ABE+ /BAC=90 度? / ACF+ / BAC=90 度? CF 丄 AB因此，垂心定理成立內心定理三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。內心的性質：1、三角形的三條內角平分線交于一點。該點即為三角形的內心。2、直角三角形的內心到邊的距離等

5、于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、 PABC所在空間中任意一點，點0是厶ABC內心的充要條件是：向量P0=（a x 向量 PA+bx 向量 PB+cX 向量 PC）/（a+b+c）.4、 0為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長 A0交BC邊于 N，則有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、（歐拉定理）/ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，0和I分 別為其外心和內心，貝 S OIA2=RA2-2Rr .6、（內角平分線分三邊長度關系） ABC中，0為內心，/ A、/ B、/ C的內角平分線分別交 BC、AC、AB于Q、P、R,貝卩 BQ/

6、QC 二 c/b, CP/PA 二 a/c, BR/RA 二 a/b.7、內心到三角形三邊距離相等。旁心定理三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質：1、 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的 旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心。3、旁心到三角形三邊的距離相等。如圖，點M就是 ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。第7頁共6頁四心合附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，巧記詩歌 三角形五心歌（重外垂內旁） 三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 重心三條中線定相交，交點位置真奇巧， 重心分割中線段，數段之比聽分曉； 心三角形有六元素，三個內角有三邊內心外心莫記混，內切外接是關鍵 .高線分割三角形，出現直角三對整， 四點共圓圖中有，細心分析可找清 .外三線相交定共點，叫做 內心”有根源；此圓圓心稱 內心”如此定義理當然第 7頁共 6 頁此點定義為外心，用它可作外接圓 垂心 三角形上作三高，三高必于垂心交 . 直角 三角形有十二，構成六對相似形 ,