考點14 基本不等式及其應用(1)-2020年高考數(shù)學二輪優(yōu)化提升專題訓練(解析版)

1、 考點 14 基本不等式及其應用（1）【知識框圖】1、（2019 年蘇州學情調研） 若正實數(shù)x，y【答案】、8【解析】、因為正實數(shù)x，yy 4xy 4 y 4(x + y) y 4x 2 + 4 = 4 + 4 = 8，當且僅當 =+ 4+ = +x y xyxyx y12332 3a b_【答案】 2 63x最小值為_【答案】. 813【解析】、解法 1 因為實數(shù) x，y 滿足 xy3x30 ，所以 y 3(y3)，xx31y31y31y3所以 y3 x y1 1y33731且僅當 y3，即 y4 時取等號，此時 x ，所以 的最小值為 8.x y3133解法 2 因為實數(shù) x，y 滿足 x

2、y3x30 ，所以 y 3(y3)，y3 x2xx60，31331311 3所以 66268，當且僅x yx3x3xx6x6x6313731當 6，即 x 時取等號，此時 y4，所以 的最小值為 8.x33x yx6解后反思 從消元的角度看，可以利用等式 xy3x3 消“實數(shù) x”或消“實數(shù) y”，無論用哪種消元方式，消元后的式子結構特征明顯，利用基本不等式的條件成熟4、(2015 蘇北四市期末） 已知 a，b 為正數(shù)，且直線 axby60 與直線 2x(b3)y50 互相平行，則 2a3b 的最小值為_【答案】25【解析】、由于直線 axby60 與直線 2x(b3)y50 互相平行，所以

3、a(b2 32 3b a3)2b，即 1(a，b 均為正數(shù))，所以 2a3b(2a3b) 136 a bb aa ba bb a1362 25(當且僅當 即 5 時取等號)a ba ba bsin5、(2017 南京、鹽城、徐州二模） 已知 ， 均為銳角，且 cos()sin，則 tan 的最大值是_24【答案】【解析】、思路分析 注意研究目標，故先要將cos()應用兩角和的余弦公式展開，然后利用同角三角函數(shù)式將 tan 表示為 的函數(shù)形式，利用求函數(shù)的最值方法可得到結果sinsinsinsin由 cos( ) 得 coscos sinsin ， 即 coscos 1sinsincoscoss

4、insin，由 ， 均為銳角得 cos0，tan0，所以 tan1sinsin2 112 22222根據所求的目標，將所求的目標轉化為相關的變量的函數(shù)，是研2223 ab2，即(ab) 4，所以2 2，所以( ) 2.2 a b a b4max2222222u22a22 b2a最小值為_2 2【答案】231比較常規(guī)了a22 b22b1aac12 1132 1122c3 【答案】 4 5思路分析先根據一元二次不等式的解集，確定a0，以及 ， ， 的關系，再a b cc 52將所求運用消元法，統(tǒng)一成單變量 a 的函數(shù)問題，運用基本不等式求最值abba 7，b7a，則依題意得 a0)，所以(m222

5、25125121)x ny 1，令 1 ，與mn m1 聯(lián)立解得 ，n，從而22mn1512x2y 2.5124 【問題探究，變式訓練】題型一、利用基本不等式求最值問題知識點撥：利用基本不等式求最值的問題，關鍵是對復雜的代數(shù)式進行合理的代數(shù)變形，配湊出使用基本不等式的條件，再利用基本不等式進行求解 .解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！2a +1 2b + 422例 1、(2019 蘇錫常鎮(zhèn)調研）已知正實數(shù) a，b 滿足 ab1，則+ab的最小值為【答案】、.11.【解析】、思路分析：由于目標式比較復雜，不能直接求最小值，需要對該式子進行變形，配湊出使用基本不等式的條件，

6、轉化為熟悉的問題，然后利用基本不等式求解2a +1 2b + 4141 4b 4ab 4a22+= 2a + + 2b + = 2(a + b) + ( + )(a + b) = + + 7 2 + 7 =11ababa ba ba b1a =b4a322a2+1 2b2+ 4當且僅當 =a b，即時取“ ”，所以+的最小值為11.=abb =3yx1 xx y【變式 1】、(2019 常州期末）已知正數(shù) x，y 滿足 x 1，則 的最小值為_【答案】、4思路分析【解析】、多元條件等式下的最值問題通?？梢钥紤]消元之后利用基本不等式或函數(shù)知識求解yx1 x 1x y x x x x 1 xx11

7、解法 1(直接消元 ) 由 x 1 得 yxx ，故 2211121 x4，當且僅當 x1x，即 x 時取“”故 的最x yx（1x）2x1x2小值為 4.5 yxyx1 x 1解法 2(直接消元) 由 x 1 得 1x，故 x y x 1 x1，以下同解法 1.1 x 1x y x 1 x11xx 1xx解法3(消元，分離常數(shù)湊定值) 同解法 1，2得 x1x1xx1x1xx1x121 xx y2為 4.4，當且僅當，即 x 時取“”故 的最小值xxyx1 x 1 xyy x2解法 4(“1”的代換) 因為 x 1，所以 x 2 4，x y x y xx y212x ，y x 1 x2當且僅

8、當 ，即時取“”故 的最小值為 4.x yx y2 1y41 4【變式 2】、(2019 鎮(zhèn)江期末）已知 x0，y0，xy ，則 xy 的最小值x y為_【答案】、3【解析】、思路分析本題既可用權方和不等式也可運用“1”的代換求解1 2 （12）222解法 1 因為 x0，y0，所以 xy ，得 xy3，當且僅當 xx yxy1，y2 時取等號1 4y 4xx y解法 2 xy （xy） （xy） 5 52 43，當2x yy 4x且僅當 ，即 x1，y2 時取等號x y1 1【變式 3】、(2019 蘇北三市期末）已知 a0，b0，且 a3b ，則 b 的最大b a值為_13【答案】、1 1

9、b a1b1a1b1a【解析】、由 a3b ，得 3ba .又 a0，所以 3ba 2(當且僅1b1313當 a1 時取等號)，即 3b2，又 b0，解得 0b ，所以 b 的最大值為 .14a3b【變式 4】、(2019 宿遷期末） 已知正實數(shù) a，b 滿足 a2b2，則最小值為_.的ab6 252【答案】、【解析】、解法 1(消元法) 由 a2b2 得 a22b0，所以 0b1，令 f(b)14a3b 95b，ab2b2b210b 36b18 2（5b3）（b3）2f(b).（2b2b ）2（2b2b ）222335當 b0， 時，f(b)0，f(b)遞增，5353 255 2 所以當 b

10、 時，f(b)有唯一的極小值，也是最小值 f .1ab4a3b14a3b 29a8b解法 2(齊次化 ) 因為 a2b2，所以abab2ab（9a8b）（a2b） 9a 4b 13 29a 4b 13 254b a 2 24535 ，當且僅當 a ，b 時4ab4b a 225取等號，所以所求的最小值為 .2解后反思求互相制約的雙變元問題的最值，最直接的方法就是消元后轉化為一元問題，如解法 1；對于分式的最值問題也常常通過齊次化后用基本不等式求解，如解法 2.解法 2 用到了“1”的代換( )【變式 5】、(2018 蘇錫常鎮(zhèn)調研（二） 已知a，b 為正實數(shù)，且 a -b = 4(ab) ，2

11、31 1則 + 的最小值為 a b【答案】、2 2【解析】、解題過程：因為(a + b) = (a - b) + 4ab = 4(ab) + 4ab223，所以1 1a + b4(ab) + 4ab41 13( + ) = () =2= 4ab + 8ab+ 2 22， 故， 當 且 僅 當a bab(ab)2a b=1a = 2 +1，即 ab1 1的最小值為 2 2.= 2 -1時取得等號，所以 +(a -b) = 42ba b題型二 利用基本不等式解決多元問題知識點撥：多元最值問題是最典型的代數(shù)問題，代數(shù)問題要注重結構的觀察和7 變形，變形恰當后，直接可以構造幾何意義也可以使問題明朗化，

12、具體歸納如下：(1)多元最值首選消元：三元問題二元問題一元問題(2)二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元策略二：不好消元 用基本不等式及其變形式，線性規(guī)劃，三角換元(3) 多元問題不好消元的時候可以減元，常見的減元策略：策略一：齊次式同除減元策略二：整體思想代入消元或者減元策略三：局部思想鎖定主元(本題就是)例 2、(2019 南京、鹽城一模）若正實數(shù) a，b，c 滿足 aba2b，abca2bc，則 c 的最大值為_87【答案】、【解析】、思路分析1注意到求 的最大值，所以將參數(shù) c 進行分離，為此，c可以利用 abca2bc 進行分離得 ca2ba2bab1 a2b111，從而a

13、2b1將問題轉化為求 a2b 的最小值；思路分析2結合 abca2bc 與 aba2b 化簡得abcabc 來進行分離abab11得 c1，進而求 ab 的最小值ab1思路分析3由于所求解的 c 與 a，b 有關，而 ， 不對稱，因此，將 看a b2b作一個整體，則它與 a 就是對稱的，根據對稱原理可以猜想得到問題的答案解法 1 由 abca2bc 得，ca2ba2bab1 a2b111，由 aba2ba2b11 2b a1 2 a 4ba 4b 448，b a得， 1，所以 a2b(a2b) 4 42b ab a8故 c .7abab1解法 2 因為 abca2bc，aba2b，所以 abc

14、abc，故 c11，由 aba2b 利用基本不等式得 ab2 2ab，故 ab8，當且僅當 a4，bab18 1182 時等號成立，故 c11 .81 7ab11212解法 3(對等性猜測) 因為已知條件可以改寫為“ a 2ba2b， a 2b ca2b8787c”，故 a 與 2b 對等，不妨設 a2b，解得 a2b4，c ，故 c 的最大值為 .解后反思解法 1，2 都是應用了分離參數(shù)的方法，即將所求的參數(shù) 用 ， 表c a b示出來，從而將問題轉化為求與 a，b 有關的代數(shù)式的最值問題來加以解決，其中解法 2 更容易把握這是兩種基礎的解法而解法 3 則是將“非對稱式”應用整體轉化的方法轉

15、化為“對稱式”來加以處理，對思維能力的要求很高【變式 1】、(2019 蘇北三市期末） 已知 x0，y0，z0，且 x 3yz6，則x y 3z 的最小值為_32374【答案】、【解析】、思路分析本題消元后轉化為二元問題研究解法 1(配方導數(shù)求函數(shù)最值) x y 3zx y 3(6x 3y)x 3xy3232322 3 3 453 3y18x 3xy4543 32 x 3x ，當且僅當 y時取等3324號設 g(x)x 3x，g(x)3x 3.令 g(x)0 得 x1，得 g(x)在(0，1)上單調32遞減，在(1，)上單調遞增，從而 g(x) g(1)2，所以(x y 3z) 32minmi

16、n45 372 ，即所求最小值為 ，當且僅當 x1，y4 43743 3212，z 時取等號274解法 2(基本不等式配湊) 由 x 113x(當且僅當 x1，取等號)，y 3 3323 32274y當且僅當y取等號，得 x y 3z2 3(x 3yz)18，x y32323743 32123z (當且僅當 x1，y，z 取等)【變式 2】、(2018 南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調） 已知 a，b，c 均為正數(shù)，且 abc4(ab)，則 abc 的最小值為_【答案】、84 4【解析】、由 a，b，c 均為正數(shù)，abc4(ab)，得 c ，代入得 abcaa b9 4 4444a4

17、b b a b 2 a 2 b 8，當且僅當 ab2 時，等號a b a b成立，所以 abc 的最小值為 8.解后反思 1.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握 “一正，二定，三相等”的內涵：一正是：參數(shù)是否為正；二定是：和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是：最后一定要驗證等號能否成立(主要注意兩點：一是相等時參數(shù)是否在定義域內；二是多次用“”或“”時等號能否同時成立)2. 研究多變量問題的基本方法是簡化問題，即進行減元處理，而減元的基本策略就是消元，這一點要高度重視1 1a b11【變式 3】、(2018 蘇州期末）已知正實數(shù) a，b，c 滿足 1， 1，a b c

18、則 c 的取值范圍是_4【答案】、1， 3【解析】、思路分析 由第二個等式知，要求出 的取值范圍，只要先求出 ca b的取值范圍，而這可由第一個等式求得1 1a b解法 1 因為 ab(ab) 2 4，)，所以a b b a1140， ，ab 1c134從而 1 ，1，得 c1， .a b 4 3解法 2 由題兩等式得 abab，c(ab)c(ab)，所以 cabc(ab)，abab111即 c1.因為 abab2 ab，所以 ab4，所以 c1ab1ab141， .3【變式 4】、(2018 南京、鹽城一模）若不等式 ksin bsinasinc19sinbsinc 對任2意abc 都成立，

19、則實數(shù) k 的最小值為_【答案】、 100【解析】、 思路分析本題首先用正弦定理將三角函數(shù)轉化為邊，然后再利用三角形中的邊的不等關系，消元后轉化為二元問題研究二元問題的最值問題，可以用基本不等式來處理解法 1(函數(shù)的最值) 因為 ksin bsinasinc19sinbsinc，所以由正弦定理可219bcac得 kb ac19bc，即 k.因為abc 為任意三角形，所以 a|bc|，即2b210 19bcac 19bc|bc|cb2b22cb c cb 18 ， 0 1，b 2cbcccbc 當 01 時， b b b 2cc b c1.b 20 ，b 2cb 19bc|bc|c 20 100，即的最大值為 100，所以 k100，即實數(shù) k 的最小值b2為 100.解法 2(基本不等式) 因為 ksin bsinasinc19sinbsinc，所以由正弦定理可219bcac 19bcac cabcb得 kb ac19bc，即 k.又 19 .因為 cab，所以 12b2b2b2aa 1 19 abcaaa b bab ，即 19 y0，且 xy2，21則的最小值為_x3y xy11 32 2【答案】、4m3nx，4m nx3ym，【解析】、設解得所以 xym n2，即 4.2 x y n. mny.4212 12 1m n2n m設 t