連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

1、 第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可為基本信號，任意信號可 分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解 得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足： （1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t); （2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻 域來解決這些

2、問題。域來解決這些問題。 本章引入本章引入復(fù)頻率復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信 號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分 析析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換 收斂域收斂域 ( (單邊單邊) )拉普拉斯變換拉普拉斯變換 常見函數(shù)的拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換 單邊拉氏變換與傅

3、里葉變換的關(guān)系單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。 為此，可用一衰減因子為此，可用一衰減因子e- t( 為實(shí)常數(shù)）乘信號為實(shí)常數(shù)）乘信號f(t) ，適，適 當(dāng)選取當(dāng)選取 的值，使乘積信號的值，使乘積信號f(t) e- t當(dāng)當(dāng)t時(shí)信號幅度趨時(shí)信號幅度趨 近于近于0 ，從而使，從而使f(t) e- t的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換相應(yīng)的傅里葉逆變換 為為 f(t) e- t= de)( 2 1 tj b jF F Fb

4、b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttf tjtjt de)(dee)( )( de)( 2 1 )( )(tj b jFtf 令令s = + j ,d =ds/j，有，有 定義 tetfsF st b d)()( j j de)( j2 1 )( ssFtf st b 雙邊拉普拉斯變換對 Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)象函數(shù)），）， f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)原函數(shù)）。）。 二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挥羞x擇適當(dāng)?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號f(t)的雙邊

5、的雙邊 拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換存在。 使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。收斂域的問題。 例例1 因果信號因果信號f1(t)= e t (t) ，求拉氏變換。，求拉氏變換。 解解 eelim1 )( 1 )( e dee)( j)( 0 )( 0 1 tt t ts stt b ss tsF ，無界 ，不定 Re, 1 s s 可見，對于因果信號，僅當(dāng)可見，對于因果信號，僅當(dāng) Res= 時(shí)，其拉氏變換存時(shí)，其拉氏變換存 在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。 j 0 收斂域

6、收斂域 收斂邊界收斂邊界 例例2 反因果信號反因果信號f2(t)= e t (-t) ，求拉，求拉氏氏變換。變換。 解解 eelim1 )( 1 )( e dee)( j)(0 )( 0 2 tt t ts st t b ss tsF ， ，不定 無界 )( 1 .Re, s s 可見，對于反因果信號，僅當(dāng)可見，對于反因果信號，僅當(dāng) Res= 時(shí)，其收斂域時(shí)，其收斂域 為為 Res 2 2 1 3 1 )()( 22 ss sFtf Res= 3 2 1 3 1 )()( 33 ss sFtf 3 2 可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢?，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必

7、 須標(biāo)出收斂域。須標(biāo)出收斂域。 通常遇到的信號都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為通常遇到的信號都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為 坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 0 def de)()(ttfsF st )(de)( j2 1 )( j j def tssFtf st 簡記為簡記為F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或或 f(t) F(s) 四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 1、 (t) 1， - 2、 (t)或或1 1/s ， 0 3、指數(shù)函數(shù)、指

8、數(shù)函數(shù)e-s0t 0 1 ss -Res0 cos 0t = (ej 0t+ e e-j -j 0t )/2 2 0 2 s s sin 0t = (ej 0t e e-j -j 0t )/2j 2 0 2 0 s 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 尺度變換尺度變換 時(shí)移特性時(shí)移特性 復(fù)頻移特性復(fù)頻移特性 時(shí)域微分時(shí)域微分 時(shí)域積分時(shí)域積分 卷積定理卷積定理 s s域微分域微分 s s域積分域積分 初值定理初值定理 終值定理終值定理 一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì) 若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2 則則 a1f1(t)+a2f2(t

9、)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例1 1f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度變換二、尺度變換 若若f(t) F(s) , Res 0，且有實(shí)數(shù)，且有實(shí)數(shù)a0 ， 則則f(at) )( 1 a s F a 0 de)()(tatfatfL st ，則，則令令at 0 de)()( a fatfL a s 0 de)( 1 f a a s a s F a 1 證明：證明： )( 1 a s F a 三、時(shí)移特性三、時(shí)移特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實(shí)常數(shù)且有實(shí)常數(shù)t00 , 則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F

10、(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合 f(at-t0) (at-t0) a s F a s a t0 e 1 例例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。求如圖信號的單邊拉氏變換。 01 1 f1(t) t 0 1-1 1 t f2(t) 解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1) F1(s)=)e1 ( 1 s s 例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s) 解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2) 01 1 f1(t) t 0 24 1 t f2(t) -1 f1(0.5t) 2F1(2s)

11、f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2s f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s) 四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a, 則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 1 2 s s 求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1( 3 2 2 e 9) 1( 1 s s s 五、時(shí)域的微分特性（微分定理）五、時(shí)域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0

12、, 則則f(t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推廣：推廣： 證明：證明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 六、時(shí)域積分特性（積分定理）六、時(shí)域積分特性（積分定理） ，則，則若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 證明：證明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de

13、 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f 0 1 s sF )( 1 d)( 0 sF s xxf n n t 例例1: t2 (t)? )(d)( 0 ttxx t tt t t xxxxx 0 22 0 )( 2 d)(d)( 3 2 2 )( s tt 七、卷積定理七、卷積定理 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jc jc sFFtftf d)()( j2 1 )()( 2121

14、八、八、s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 s sF tft d )(d )()( n n n s sF tft d )(d )()( 例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 32 2 )2( 2 ) 2 1 ( d d sss s dF t tf )( )( 例例2： ?)( sin t t t 1 1 )(sin 2 s tt s st t t s s 1 arctanarctan 2 arctand 1 1 )( sin 2 九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初

15、值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），）， 而不必求出原函數(shù)而不必求出原函數(shù)f(t) 初值定理初值定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù) 則則 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 終值定理終值定理 若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時(shí)存在，并且時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)( 0 ssFf s 舉例 例例1： 22 2 )( 2 ss s sF 2 22 2 lim)(lim)0( 2 2 ss s ssFf ss 0 22 2 lim)(lim)( 2 2 00 ss s ssFf ss

16、 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。 通常的方法通常的方法 : （1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開部分分式展開 -結(jié)合結(jié)合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01 1 1 01 1 1 . . )( asasas bsbsbsb sF n n n m m m m 若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分分 解為有理多項(xiàng)式解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )( )( )()( 0 sA sB sPsF 6116 332 2 6116 1531258 )( 23 2 23 234 sss ss s sss ssss sF 由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式P(s)的拉的拉 普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 一、零、極點(diǎn)的概念一、零、極點(diǎn)的概念 若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（m 0 ttfF t de)()(j j 要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。