圓系方程及其應(yīng)用

1、直線系、圓系方程 1、過定點(diǎn)直線系方程在解題中的應(yīng)用 過定點(diǎn)( x0 ， y0 )的直線系方程： A(x x0) B(y y0) 0(A,B 不同時(shí)為 0). 例 1 求過點(diǎn) P( 1，4) 圓 (x 2)2 (y 3)2 1的切線的方程 分析：本題是過定點(diǎn)直線方程問題，可用定點(diǎn)直線系法 . 解析：設(shè)所求直線的方程為 A(x 1) B(y 4) 0(其中 A， B不全為零)， 則整理有 Ax By A 4B 0 ， 2A 3B A 4B 直線 l 與圓相切，圓心 C(2，3)到直線 l 的距離等于半徑 1，故1， A2 B2 3 整理，得 A(4A 3B) 0，即 A 0 (這時(shí) B 0)，或

2、 A B 0 4 故所求直線 l 的方程為 y 4或 3x 4y 13 0 點(diǎn)評：對求過定點(diǎn) ( x0 ， y0 )的直線方程問題， 常用過定點(diǎn)直線法， 即設(shè)直線方程為 : A(x x0) B(y y0) 0， 注意的此方程表示的是過點(diǎn) P(x0，y0) 的所有直線(即直線系) ，應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素 的限制，在實(shí)際解答問題時(shí)可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象 練習(xí)： 過點(diǎn) P( 1，4) 作圓 (x 2)2 (y 3)2 1的切線 l，求切線 l 的方程 解：設(shè)所求直線 l 的方程為 A(x 1) B(y 4) 0 (其中 A， B不全為零)， 則

3、整理有 Ax By A 4B 0 ， 2A 3B A 4B 直線 l 與圓相切，圓心 C(2，3)到直線 l 的距離等于半徑 1，故1， A2 B2 3 整理，得 A(4A 3B) 0，即 A 0 (這時(shí) B 0)，或 A 3B 0 4 故所求直線 l 的方程為 y 4或 3x 4y 13 0 2、過兩直線交點(diǎn)的直線系方程在解題中的應(yīng)用 過直線 l： A1x B1y C1 0( A1, B1不同時(shí)為 0)與m：A2x B2y C2 0( A2, B2不同時(shí)為 0)交點(diǎn)的直線 系方程為： A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0 ( R， 為參數(shù)) . 例 2 求過直線： x 2y 1

4、 0與直線： 2x y 1 0 的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程 . 分析：本題是過兩直線交點(diǎn)的直線系問題，可用過交點(diǎn)直線系求解 . 解析：設(shè)所求直線方程為： x 2y 1 (2x y 1) 0 ， 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，則 1=0，則 = 1， 此時(shí)所求直線方程為： x 2y 0 ； 當(dāng)所求直線不過原點(diǎn)時(shí)，令 x =0，解得 y =1 ， 2 令 y =0，解得 x=1 ， 21 由題意得， 1= 1 ，解得 1 ， 2 2 1 3 此時(shí)，所求直線方程為： 5x 5y 4 0. 綜上所述，所求直線方程為： x 2y 0或 5x 5y 4 0. 3、求直線系方程過定點(diǎn)問題 例 3 證明：直線

5、mx y m 1 0（m 是參數(shù)且 m R）過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo) . 分析：本題是證明直線系過定點(diǎn)問題，可用恒等式法和特殊直線法 . 解析：（恒等式法）直線方程化為 :（x 1）m y 1 0, x10 m R, ，解得， x 1 ， y 1， y10 直線 mx y m 1 0（m 是參數(shù)且 m R）過定點(diǎn)（ 1,1）. （特殊直線法）取 m=0， m=1 得， y 1， x y 2 0 ，聯(lián)立解得， x 1， y 1， 將（ 1,1 ）代入 mx y m 1 0 檢驗(yàn)滿足方程， 直線 mx y m 1 0（m 是參數(shù)且 m R）過定點(diǎn)（ 1,1）. 點(diǎn)評：對證明直線系過定點(diǎn)問題，常用方法

6、有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的 恒等式形式，利用參數(shù)屬于 R，則恒等式個(gè)系數(shù)為 0，列出關(guān)于 x,y 的方程組，通過解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo);特殊直 線法，去兩個(gè)特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入原直線系方程檢驗(yàn)，即得 定點(diǎn) . 一、常見的圓系方程有如下幾種： 2 2 2 1、以 （a,b）為圓心的同心圓系方程： （x a）2 （y b）2 2（0） 與圓 x2 y2 Dx Ey 同心的圓系方程為： x2 y2 Dx Ey 2、過直線 Ax By 與圓 x2 y2Dx Ey 交點(diǎn)的圓系方程為： x2 y2DxEy （ Ax By ）

7、（） 3、過兩圓 C1:x2y2D1xE1yF10，C2:x2y2 D2xE2yF2 交點(diǎn)的圓系方程為：x2y2 2 2 2 2 D1xE1yF1（xy D2xE2yF2）0（ - ，此圓系不含C2:xy D2xE2yF2 ） 特別地，當(dāng) 時(shí)，上述方程為根軸方程兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程 注：為了避免利用 上述圓 系方程時(shí)討論圓 C2 ，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過 圓C1和兩圓公 共弦所在直線交點(diǎn)的圓 系方 22 程: x2y2D1xE1yF1(D1D2)x(E1E2 )y(F1F2)0 二、圓系方程在解題中的應(yīng)用： 1、利用圓系方程求圓的方程： 2 2 2 2 例 求經(jīng)過兩圓

8、 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交點(diǎn)，并且圓心在直線 x- y-4=0 上的圓的方程。 2 2 2 2 例、求經(jīng)過兩圓 x2 y23xy2和 3x2 3y22x y 交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程 解：方法 3： 由題可設(shè)所求圓的方程為： 2 2 2 2 ( x y 3x y 2) (3x 3y 2 x y ) (0， 0)在所求的圓上，有 2 從而 故所求的圓的方程為： (x2 y2 3x y 2) 2(3x2 3y2 2x y 1) 0 即 7x2 7y27 x y 。 練習(xí)：求經(jīng)過兩圓 x 2+y2+6x 4=0 和 x2+y 2+6y 28=0 的交點(diǎn) ,并且圓

9、心在直線 x y 4=0 上的圓的方程 . 2 2 2 2 1 解 : 構(gòu)造方程 x2+y 2+6x 4+(x 2+y2+6y 28)=0 即 (1+)x2+(1+ )y2+6x+6 y (4+28 )=0 此方程的曲線是過已知兩圓交點(diǎn)的圓 ,且圓心為 ( 3 , 3 ) 11 當(dāng)該圓心在直線 x y 4=0 上時(shí) ,即3 3 4 0, 得 7. 11 所求圓方程為 x2+y2 x+7y 32=0 練習(xí):求與圓x2 y2 4x 2y 20 0切于A( 1, 3),且過B(2,0)的圓的方程 . 解：過 A( 1, 3)的圓的切線為 3x 4y 15 0。與已知圓構(gòu)造圓系 x2 y2 4x 2y

10、 20 (3x 4y 15) 0， 代入(2,0)得8, 所以所求圓方程為 7x2 7y2 4x 18y 20 0. 2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程： 例 2(1)：求過兩圓 x2 y2 5和(x 1)2 (y 1)2 16的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。 分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。 自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩 圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。 22 2 2 解：圓 x2y25和 (x1)2(y 1)216的公共弦方程為2x 2y 11 0

11、 22 過直線 2x 2y 11 0與圓 x2 y2 5的交點(diǎn)的圓系方程為 2 2 2 2 x2 y2 25 (2x 2y 11) 0 ，即 x2 y2 2 x 2 y (11 25) 0 依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑， 11 圓心 ( , ) 必在公共弦所在直線 2x 2y 11 0上。即 2 2 11 0，則 11 4 11 211 279 代回圓系方程得所求圓方程 (x11)2(y11)279 448 例( 2); 求經(jīng)過直線 l：2 x y 4與圓： x2 y22x 4 y 1的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程 解：設(shè)圓的方程為： x2 y22x4

12、y1 (2x y4) 即 x2 y2 2(1)x ( 4)y (14 )則 r2 14(1 )2 ( 4)24(1 4 ) 5(8)24 ， 4 455 當(dāng) 8時(shí)， r 2最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：5x2 5y226x 12 y 37 5 練習(xí)： 22 1求經(jīng)過圓 x2+y2+8x-6 y+21=0與直線 x- y+7=0的兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。(常數(shù)項(xiàng)為零) 2求經(jīng)過圓 x2+y2+8x-6y+21=0 與直線 x- y+5=0 的兩個(gè)交點(diǎn)且圓心在 x 軸上的圓的方程。(圓心的縱坐標(biāo)為零) 3求經(jīng)過圓 x2+y2+8x-6 y+21=0與直線 x- y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)

13、且面積最小的圓方程。(半徑最小或圓心在直線上) 4求經(jīng)過圓 x2+y2+8x-6y+21=0 與直線 x- y+5=0 的兩個(gè)交點(diǎn)且與 x 軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。(圓心到x 軸 的距離等于半徑) 3、利用圓系方程求參數(shù)的值： 例 3：已知圓 x2 y2 x 6y m 0與直線 x 2y 3 0相交于 P，Q兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OP OQ ，求實(shí)數(shù) m的值。 分析：此題最易想到設(shè)出 P( x1, y1), Q( x2 , y2) ，由OP OQ得到 x1x2 y1y2 0，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程， 由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于 m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系

14、OP OQ ，不難得出 O在以 PQ為 直徑的圓上。而 P， Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。 解：過直線 x2y 30 與圓 x2y2x 6y m0的交點(diǎn)的圓系方程為： x2 y2x 6ym (x2y3) 0 ，即 x2 y2 (1 )x 2( 3)y m 3 0 . 11 依題意， O在以 PQ 為直徑的圓上，則圓心 ( ,3 ) 顯然在直線 x 2y 3 0上，則 2(3 ) 3 0 ， 22 解之可得1又 O(0,0) 滿足方程，則 m 3 0，故 m 3。 4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系： 22 例4 圓系 x2 y22k x (

15、4 k 10) y10k20( k ， k - )中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？ 22 解：圓系方程可化為： x y 10y20k(2x 4y10) 2x 4y 10 0 x 2y 5 0 與k 無關(guān) 2 2 即 x 2 y 2 10y 20 0 x2 (y 5)2 5 易知圓心(， - )到直線 x 2 y 5的距離恰等于圓 x2 (y 5) 2 的半徑故直線 x 2 y 5與圓 22 x2 (y 5)2 相切，即上述方程組有且只有一個(gè)解，從而圓系方程所表示的任意兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故 它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切 總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時(shí)，若能巧妙使用圓系方程，往往

16、能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算量， 收到事半功倍的效果。 練習(xí)： 一、巧用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求圓方程 2 2 2 2 例 1求過圓： x2+y2 2x + 2y +1=0 與圓： x2+y2+4x 2y 4=0 的交點(diǎn)，圓心在直線： x 2y 5 0的圓的 方程 . 分析：本題是求過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程問題，用過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程求解 . 解析：設(shè)所求圓的方程為： x2+ y2 2x +2y +1+ ( x2+y2 +4x 2y 4)=0( 1). 整理得 (1 )x2 (1 )y2 (4 2)x 2(1 )y 1 4 =0， 1 2 1 所以所求圓的圓心為 (1 2 , 1)， 11 由已知

17、知所求圓的圓心在直線： x 2y 5 0 上， 1 2 1 所以 1 2 2 1 5 0，解得， = 8 ，代入圓系方程整理得， 11 2 2 34 1833 所以，所求圓的方程為 x2 y2 34x 18 y 33 0. 777 點(diǎn)評：對過兩圓交點(diǎn)的圓的問題，用過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程求解，可以優(yōu)化解題過程，注意過交點(diǎn)的圓系方程 表示的圓包括哪一個(gè)圓不包括那一個(gè)圓，且參數(shù) 不等于 1 這一條件，同學(xué)們應(yīng)很好掌握這一方法. 二、巧用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求直線方程 22 例 2已知圓 O：x2 y2 2x 4y 1 0和圓外一點(diǎn) A (3， 4)，過點(diǎn) A 作圓 O 的切線，切點(diǎn)分別為 C、D，

18、求 過切點(diǎn) C 、D 的直線方程 . 分析：本題是求過切點(diǎn)的直線方程， 由切線性質(zhì)知， 切點(diǎn)在以線段 AO 為直徑的圓上， 故直線 CD是以線段 AO 為 直徑的圓與圓 O 的公共弦所在的直線方程，故可用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求此直線方程 . 解析：由切線性質(zhì)知，切點(diǎn) C、D 在以線段 AO 為直徑的圓上，由題知， O(1, 2)， |AO|= (3 1)2 (4 2)2=2 10，線段 AO的中點(diǎn)為( 2，1)， 以線段 AO 為直徑的圓的方程為， (x 2)2 (y 1)2 10，即 22 x y 4x 2y 5 0， 圓 O 的方程與以 AO 為直徑的圓的方程相減整理得： x +3 y

19、+3=0 ， 直線 CD 的方程為 x + 3 y +3=0. 點(diǎn)評：對過圓切點(diǎn)的直線方程問題，可通過構(gòu)造圓，利用過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程求直線方程，注意過兩圓交點(diǎn) 的曲線系方程參數(shù) 為何值時(shí)表示圓，參數(shù) 為何值時(shí)表示直線 . 例如：求與圓 x2+y24x2y20=0 切于 A( 1,3)，且過 B(2,0)的圓的方程。 解：過 A( 1, 3)的圓的切線為： 3x+4y+15=0 與已知圓構(gòu)造圓系： 22 x2+y24x 2y 20+ (3x+4y+15)=0 曲線過 B(2,0) 8 = 7 所求的方程為： 7x2+7y24x+18y 20=0 例 2 平面上有兩個(gè)圓，它們的方程分別是x2+y2=16 和 x2+y2 6x+8y+24=0 ，求這兩個(gè)圓的內(nèi)公切線方程。 分析：由 x2+y 2 6x+8y+24=0 (x3)2+(y+4) 2=1,顯然這兩圓的關(guān)系是外切。 2 2 2 2 解： x2+y 2 6x+8y+24=