橢圓與雙曲線的對偶性質100條

1、|PFi|2 2亍甘1.10.11.切點弦2 2”x y右P)(xo, yo)在橢圓2 a b22若P)(xo, yo)在橢圓2 a bP1P2的直線方程是竽轡b2=1上，則過P0的橢圓的切線方程是2aX0Xyy甘1.=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為Pi、P2,則12. AB是橢圓2a22丄a2 b2=1.=1的不平行于對稱軸且過原點的弦,M為AB的中點，則kOM kAB =b22 .a13 .若2 2P（X0, y）在橢圓務與=1內，則被Po所平分的中點弦的方程是a b2 2X)xyy_x。y。2.2 -a ba2 b214 .若 F0 ( Xo, yo)在橢圓一2 2X% = 1內，

2、則過Po的弦中點的軌跡方程是a b22丄y_a2 b2_xxyy_2ab215 .若PQ22X y22=1（ a b 0 ）上對中心張直角的弦，則a b丄丄2 2 r1 r2二丄a21了(|0十二|OQ|).橢圓與雙曲線的對偶性質100條1. | PF1 | PF2 | = 2a2 22 標準方程：篤與=1a2 b23.er 1d14 .點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的外角5. PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為 直徑的圓，除去長軸的兩個端點.6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離 .7 .以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑

3、的圓內切.8 .設AA?為橢圓的左、右頂點，則厶PF1F2在邊PF2 （或PF1）上的旁切圓，必與A1A2 所在的直線切于A2 （或A1）.A （-a,0） , A2（a,0）,與y軸平行的直線x2 y29 .橢圓2 =1 （a b 0）的兩個頂點為a b交橢圓于Pi、P2時AiPi與A2P2交點的軌跡方程是2 216 .若橢圓篤爲=1 ( a b 0 )上中心張直角的弦L所在直線方程為a b4242Ax By=1(AB則右存八B2；LaaAA b罟22222. 22222 a -b 217.給疋橢圓 C1 : b x a y 二ab (a b 0) , C2: b x a y =( 22 a

4、b),a +b則(i)對G上任意給定的點F0(x, y),它的任一直角弦必須經(jīng)過C2上一定點2 . 2 2 . 2#a -ba -b、M( (22 x0， 22 y0).aba b(ii)對C2上任一點P0(X0,y0)在C1上存在唯一的點 M,使得M的任一直角弦都經(jīng)過P。占x2 v2。二 2=1 (a 0,. b 0)上一點，P1P2 為曲線 C 的 a bk1, k 2,則直線 P1P2 通過定點 M (mx0,-my0) (m = 1)的1&設P0(xo, yo)為橢圓(或圓)八、-動弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為1 m b2充要條件疋k1 k?2 .1 -m a2219.過

5、橢圓 冷 =1 (a 0, b 0)上任一點A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交a bb2x(常數(shù))橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBC尸a y。2 220.橢圓篤豈-1 (a b 0)的左右焦點分別為F1, F 2,點P為橢圓上任意一點a bF1PF2 =，則橢圓的焦點角形的面積為2 丫 a f22 b2 丫 SF1PF2 =b tan： , P( . c -b tan tan；).22c2c 22 2xy21若P為橢圓 2 =1 ( a b 0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1, F 2是焦點，ab”/任 a -ca PPF1F2 =，,PF2F1 =.：,則tan cot .

6、a c 222 222.橢圓2 1 (ab 0)的焦半徑公式：a bIMFjna e ,|M FzFa-esFH-c,。)，F(xiàn)2(c,0) M (x, y).2 2若橢圓X- 勞=1 (a b 0)的左、右焦點分別為 Fi、F2,左準線為L,則當a2 b2.2 -1時，可在橢圓上求一點 P,使得PFi是P到對應準線距離d與PF2的比例中項2 2P為橢圓7 =1 (ab 0) 上任一點，F(xiàn)i,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，貝Va2 b223.Ov ew24.2a -1 AF2閆PA| | PF1 2a | AF11，當且僅當A, F2, P三點共線時，等號成立.2 2x y25.橢圓 2=1

7、(a b 0) 上存在兩點關于直線 l : y=k(x-X0)對稱的充要條a b/ 22、2件是 2 . (a -b ) 件是X022 2a +b k26. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應 焦點的連線必與切線垂直27. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，半徑互相垂直.則該點與焦點的連線必與焦Jx = a cos28 P是橢圓yE(a b 0)上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條2 1件是e21+s in 2 2a2 b2 交于 P,Q,則 AP =BQ.x2 y230 .在橢圓2 = 1中a b29.設A,B為橢圓k(k 0,k)上兩

8、點,定長為2m ( o v12 2二22，其中 tan :-二cos ： sin :-A22 ab231.設Sx為橢圓一動,記a|AB|= I2 aI 2)max=(cc2e32.橢x2 圓a2B2ab2.C移33 橢圓2 _2. 22 2其直線AB與橢圓X2-y2 1相a bm b 0)的通徑，定長線段b,M(X0,y)是 AB 中點，2 2二a -b ,e );當 I 宀：時，有(x)maxaL的兩端點A,B在橢圓上則當IGS時，有:b、4b2-|2,(X0)m.2y2=1與直線A x By CO有公共點的充要條件是b2 2(xy) 豈彈 1與直線 Ax By C = 0有公共點的充要條件

9、是 a2b2 - 一 一、2A a B b - (Ax0 By。C).2 234. 設橢圓 務占=1 (a b 0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上a b任意一點，在 PF1F2 中，記.F1PF ： ,PF1F F1F2 ，則有s i n cesin：s i n a35. 經(jīng)過橢圓b2x2圓上任一點的切線相交于2x , y36. 已知橢圓-a11 |oT|F |OQ |a2y2 =a2b2 ( ab0)的長軸的兩端點 A1和A?的切線，與橢P1 和 P2,則 | PA | |PA2 |=b2.22=1( a b 0),0為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP _ OQ

10、. b22 2； (2) |OPf+|OQ|2 的最大值為 42a b 2 ; (3) S OPQ 的最小b12-2a b值是22 a b37. MN是經(jīng)過橢圓b2x2 a2y2 =a2b2 (ab0)過焦點的任一弦，若 AB是經(jīng)過橢 圓中心O且平行于MN的弦，則|AB|2 = 2a|MN |.38. MN是經(jīng)過橢圓b2x2 a2y2二a2b2 (ab 0)焦點的任一弦，若過橢圓中心O2 1 1 1的半弦OP _ MN，則一2二=厶厶.a|MN | |OP| a b2 2x y39. 設橢圓 2 =1 (ab0) ,M(m,o)或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的a b任一點，過M弓I一

11、條直線與橢圓相交于 P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對稱軸上的a2b2兩頂點)的交點N在直線I : x (或y)上mm40. 設過橢圓焦點 F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結 AP和AQ分別交相應于焦點 F的橢圓準線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.AiP41. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點 P、Q,A2為橢圓長軸上的頂點， 和A2Q交于點 M，A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2x42.設橢圓方程a2y2 =1,則斜率為k(k豐0)的平行弦的中點必在直線 I : y = kx的共 b軛直線y = k x上，而且kk =b2 a22xy

12、_43.設A、B、C、D為橢圓2=1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為 ，：，a b直線AB與CD相交于P且 P 不在橢圓上，則 |PA|PB|-b2c0S a2sin2_ 2 2 2 2| PC | |PD | b cos 鳥-a sin :244. 已知橢圓 =1 (ab0)，點P為其上一點Fi, F 2為橢圓的焦點， RPF?a b的外(內)角平分線為I，作Fi、F2分別垂直I于R、S,當P跑遍整個橢圓時，R、S形成 的軌跡方程是 x2 y2 = a2(b2y2 (a -ce)(x c)2 (x2 y2 ex)2 = ce(x c)2).45. 設厶ABC內接于橢圓 別交直線AC、

13、BC于E和F, 的中點x2丨，且AB為丨的直徑，I為AB的共軛直徑所在的直線，I分 又D為I上一點，貝U CD與橢圓】相切的充要條件是 D為EF2 2x y46.過橢圓一22=1a b(a b 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦| pf | eMN的垂直平分線交 x軸于P,則I MN I 2y2b2x12 =1 (a b0)上任一點，過A作一條斜率為bx247 .設 A (X1,y1)是橢圓 一2 +ad是原點到直線的直線L ,又設2a yiL的距離，1上分別是 A至U橢圓兩焦點的距離，貝y2 2XV-、a b 0)和2=丸(), 一直線順次與a br2d =ab.2 248.已

14、知橢圓U1 (2 . 2 (a b它們相交于 A、B、C、D四點，則|AB | =|CD | .2 2x y49 .已知橢圓一2石=1a ba b 0) ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0,O),2, 22, 2a -ba -bX0 :a2250 .設P點是橢圓篤爲=1a ba b 0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)i、F2為其焦點2b22.(2) S pffb2 tan1+cos日作1 2251. 設過橢圓的長軸上一點B ( m,o)作直線與橢圓相交于 P、Q兩點，A為橢圓長軸 的左頂點，連結 AP和AQ分別交相應于過 B點的直線 MN : X=n于M, N兩點

15、，則2a -ma.MBN =9022 .a + m b (n +a)2 252. L是經(jīng)過橢圓 篤爲=1 ( a b 0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是a b橢圓兩個焦點，e是離心率，點P L ,若.EPF =，則：是銳角且ab:-arcsine (當且僅當| PH |時取等號).c記.F1PF2，則（1）|PFi|PF2|2253. L是橢圓 務再=1 ( a b 0)的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點 a be是離心率， EPF二：-,H是L與X軸的交點c是半焦距，則:是銳角且:b 0)的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交 a b點，點P L , EPF =，離心率為e,半焦距

16、為c,則為銳角且sin乞e2或:-arc si ne (當且僅當 | PHc2時取等號).c2 255.已知橢圓與每=1a b(a b 0),直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于 A、B兩點，將A、B與橢圓左焦點（加2 _ b2 ）2F1連結起來，則b2 b0)的長軸兩端點， P是橢圓上的一點,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，a2b2,二 1 -e .(3) S pab 22 cot .b -a57.設A、B是橢圓 務占=1 ( ab0)長軸上分別位于橢圓內(異于原點)a2 b22部的兩點，且Xa、Xb的橫坐標Xa xa , (1)若過A點引直線與這橢圓相交于、外P、Q兩點，則N PBA=N

17、QBA ( 2)若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則 PBA QBA =180.2 258設A、B是橢圓 篤爲=1 ( ab0)長軸上分別位于橢圓內(異于原點)，外a b部的兩點，(1)若過A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，(若BP交橢圓于兩點，貝U P、2Q不關于x軸對稱)，且.PBA二/QBA，則點A、B的橫坐標 x、Xb滿足Xa x a ； (2)若過B點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，且.PBA . QBA=180：,則點A、B的 橫坐標滿足xA xB = a2.2 2=1的長軸的兩個端點，QQ是與AA垂直的弦，則直線AQx v59.設代A是橢圓2a b與AQ的交點P的軌跡是

18、雙曲線2 2_r_12 , 2a b60.8ab2a2 b22 2 過橢圓2 V? = 1 (a2 b22 2AB | | CD |乞7口.a2 2 到橢圓 冷爲=1 ( a b 0)兩焦點的距離之比等于 仝蘭(c為半焦距)的動a2 b2ba b 0 )的左焦點 F作互相垂直的兩條弦 AB、CD則點M的軌跡是姊妹圓(x _a)2 y2 =b2.2 2(c為半焦距)x ya -c62.到橢圓2 =1 ( ab0)的長軸兩端點的距離之比等于 -a bb的動點m的軌跡是姊妹圓(X二a)2亠y2 = (b)2.eeab 0)的兩準線和x軸的交點的距離之比為a 22 b 2半焦距)的動點的軌跡是姊妹圓(

19、Xp) y =(丐)(e為離心率).ee2x64.已知P是橢圓飛a2每=1 ( ab0) 上一個動點，A, A是它長軸的兩個端點,b2x2 b2y2且AQ_AP,AQ_AP，則Q點的軌跡方程是 r =1 .a a65橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸 之長的比例中項.2 266. 設橢圓 與*占=1 ( ab0)長軸的端點為 A, A, P(X1, yj是橢圓上的點過 a bb2x-i作斜率為丄的直線I，過A, A分別作垂直于長軸的直線交 I于M , Ma y1(1) | AM | A M |=b . (2)四邊形MAA M面積的最小值是2ab.2 26

20、7. 已知橢圓2 7 =1 ( a b0)的右準線I與x軸相交于點E ,a b的直線與橢圓相交于 A、B兩點，點C在右準線I上，且BC _ X軸，則直線 的中點.過橢圓右焦點AC經(jīng)過線段EF2 268. OA、OB 是橢圓(X 2a)a22 =1 ( a0,b0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標b，-2 2 .r).(2 )以 P A、P B a2b2為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是 2 2 .2 / ab +a m、2 丄 / b n 、2 （x 22 ）（y 22）a +ba +b70.如果一個橢圓短半軸長為2 2 2n (a -b )_ a2b4=（a2+b2）2b,焦點Fi、F2到直

21、線L的距離分別為d2，那么（1） did?二b2，且Fi、F2在L同側 直線L和橢圓相切.（2） did2 b2，且Fi、F2在L同 側:二直線L和橢圓相離，（3） did2 : b2，或Fi、F2在L異側=直線L和橢圓相交.(x = m且 y二 n).2ab2原點，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點（二2 ,0） .（2）以O A、O B為直徑的兩圓的另一a +b2 2 個交點Q的軌跡方程是（x_具）2 丁2二匕竺）2（x）.a ba b22（x_a）y69. P（m, n）是橢圓 22=1 （ab0）上一個定點，P A、P B是互相垂直ab2 2 2 2 2a2 b2的弦，則（1）直線AB必經(jīng)

22、過一個定點（2ab m（a 一b）n（b -a ）2 271. AB是橢圓 篤爲=1 （a b0）的長軸，N是橢圓上的動點，過 N的切線與 a b過A、B的切線交于C、D兩點，則梯形 ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是x2 4a2y2 =1（y = 0）.2 2x y72 設點P（X0,y）為橢圓 2 -1 （ a b 0 ）的內部一定點，AB是橢圓a b2 2x y 亍=1過定點P（X0,y。）的任一弦，當弦 AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時a b(| PA| |PB|)max(| PA| |PB|)min2 2 2 2 2 2ab (ay bx0).當弦 abb2a2b2 -(a2

23、y。2 b2x。2)垂直于長軸所在直線時b273.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切74. 橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.75. 橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76 橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.77.橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）. 注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.78橢圓焦三角形中79. 橢圓焦三角形中80. 橢圓焦三角形中 到同側焦點的距離成比例81橢圓焦三角形中 與同側焦點連線段成比例82

24、. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.,橢圓中心到內點的距離、內點到同側焦點的距離、半焦距及外點,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 距離為橢圓長半軸的長.84. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點,則橢圓中心與垂足的,垂足就是垂足同側焦85.橢圓焦三角形中，非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線

25、的夾角的余弦的比為定值e.86. 橢圓焦三角形中，非焦頂點的法線即為該頂角的內角平分線87. 橢圓焦三角形中，非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線88 橢圓焦三角形中，過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交，則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.x2 y89. 已知橢圓 r 牙=1(a .o,b 0)(包括圓在內)上有一點 P,過點P分別作直線a by=bx及y=-bx的平行線，與直線 OP分別交于R,Q,0為原點，則：.aa2 2 2 2 2 2(1) |0M |0N | -a ； (2) |0Q |0R| -b .bb90. 過平面上的 P點作直線 h : y二一 x及I2: y - -

26、- x的平行線，分別交 x軸于aaM , N ,交y軸于R,Q . ( 1 )若|O M f + |O N* a則P的軌跡方程是2 2x y22222 =1(a 0,b 0) .(2)若 |0Q |2 |0R|2二 b2 ,貝U P 的軌跡 方程是a b2 2x y22 =1(a0,b0).a b2 291 點P為橢圓 篤 -y2 = 1(a 0,b 0)(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點，過a bbP引x軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y =-一 x于Q, R，記 0MQ aab與0NR的面積為S1,S2，則：S,，S2二巴.292.點P為第一象限內一點，過 P引x軸、y軸

27、的平行線，交 y軸、x軸于M,N ,bab交直線y =-一 x于Q, R，記=0MQ與二0NR的面積為3 , S2,已知3 S 一，則P a22 2的軌跡方程是篤y =1(a0,b0).a b雙曲線1. l|PFi|-|PF2#2a2 標準方程:a2b2=i2 2 卡計.I0.若F0(X0,y)在雙曲線22x y =ixoxyyii.若F0(x0,y)在雙曲線2.2ab22xy2 .2 =i a b(a 0,b 0)(a 0,b 0)切點為Pi、P2,則切點弦PiP2的直線方程是xxyyI2.AB是雙曲線2y_22xa2 b-I上，則過Po的雙曲線的切線方程是外，則過Po作雙曲線的兩條切線2.

28、2= i.a b(a0,b0)的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB|PFi|di4 .點P處的切線PT平分 PFiF2在點P處的內角5. PT平分 PFIF2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為 直徑的圓，除去長軸的兩個端點6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交 .7.以焦點半徑PFi為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切8 .設Ai、A2為雙曲線的左、右頂點，則PFiF2在邊PF2 (或PFi)上的旁切圓，必與AiA2所在的直線切于A2 (或Ai).2 29.雙曲線 冷-與=i (a0,b0)的兩個頂點為 A(-a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的 a b直

29、線交雙曲線于 P仆P2時AiPi與A2P2交點的軌跡方程是的中點，貝V koM kABI3.若F0(x, y)在雙曲線2 x 2 a2y_b2=i (a0,b0)內，則被Po所平分的中點弦的方程是 2axx yyb2a2b2I4.若P)(x0,y0)在雙曲線2x2a2Lb2=i (a0,b0)內，則過Po的弦中點的軌跡方程X0Xyy_ a2 _ b22 2x y15 .若PQ是雙曲線2 =1( b a O )上對中心張直角的弦，則b=g).(b a 0)上中心張直角的弦L所在直線方程為11112 22 -二(r1 H OP |，r2r1r2a b2216 .若雙曲線一22=1a b沖 11A2

30、 O2,2ja4A2 +b4B2Ax By=1 (AB = O),則(1) 2 = A B ;(2) L 戸a b|a A -b B |2 22 22 22 22 23 b 217.給定雙曲線 G ： b2x2 _a2y2 二 a2b2 (a bO) , C2: b2x- a2y= ( 22 ab)2,a - b則(i)對C1上任意給定的點FO (xO, yO),它的任一直角弦必須經(jīng)過C2上一定點2 ,2 2 ,2a +ba +bM( (22 XO，_ 2 2 yO ).a -ba -b(ii)對C2上任一點Po(Xo,yo)在G上存在唯一的點 M,使得M 的任一直角弦都經(jīng)過P。占八、-2 2

31、1&設F0(Xo, y)為雙曲線篤爲=1 a b弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2,貝y直線1 m b22 .(a 0,b 0)上一點，P1P2為曲線C的動弦，且P1P2通過定點M (mx0, -my0) (m = 1)的充要條件是K k21 -m a22xy19.過雙曲線牙=1 (aO,bo)ab上任一點 A(xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點,則直線BC有定向且kBc _ - 2a yob Xo (常數(shù)).2 220雙曲線令-古(a 0,b o)的左右焦點分別為F1, F2,點P為雙曲線上任意點F1PF2 =,雙曲線的焦點角形的面積為S F1PF2

32、y2=b co t -2a f 2 丄 22 ； b/P( . c b tan ， cot-).c 2 c 22y2 =1 (a O,b O )右(或左)b2是焦點,PF1F ： ,PF2F ，則 =tan，cot -(或c + a 222 c2x21 .若P為雙曲線a支上除頂點外的任一點,Fi, F 23 -tan二 cot).c a 222 222.雙曲線篤 =1a b當M (Xo, yo)在右支上時,當M (Xo,yo)在左支上時,X2 y2(a0,bo)的焦半徑公式：(Fi(-c,O) , F2(c,0)| MF1 1= ex3 a ,| MF2 exj - a .| MF1 l -e

33、xO a , | MF2 | - -e - a .23若雙曲線 2 =1 (aO,bO)的左、右焦點分別為 F1、F2，左準線為L,則當a b1v e 0,b 0) 上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定 a b點，則| AF2 | -2a 0,b0)上存在兩點關于直線I : y = k(x-x0)對稱的充要a b/2 丄-2、2條件是X。2弋篦.a -b k6. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直 7. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直28. P是雙曲線充要條件是x

34、 = a sec(a 0, b 0)上一點，則點 P對雙曲線兩焦點張直角的y = btan11 -tan2 29.設A,B為雙曲線2 2x y2 =k (a0,b0, k 0,k)上兩點，其直線 AB 與a b2x雙曲線一2a2y2 =1相交于b2P,Q ,則 AP 二 BQ .230 .在雙曲線一2嶺T中，定長為一 b2m ( m ) 0 )的弦中點軌跡方程為a221 -芻 *)m2嚴氣,其中cos ： sin :2a2 2b x t2 2，當 y a y=0時,- - 90.b22x31 .設S為雙曲線a2y_b2線上移動，記|AB|= I ,2c 2e2 232 .雙曲線 與告=1 (a

35、 0,b 0)與直線 Ax By C = 0有公共點的充要條件是a ba2 2 J, 2._2A a - B b 二 C .2 233.雙曲線(x 一：0)2 嚴 1 (a 0,b 0)與直線 Ax By C = 0有公共點ab2 2 2 2 2的充要條件是 A a - B b - (Ax0 - By - C).七 =1 (a 0,b 0)的兩個焦點為 F1、f2,P (異于長軸端點)為雙b2=1 (a 0,b o)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲AB 中點，則當I _S時，有(x0)min =M(X0, y)是I 222ca(c =a b ,e );當 I ： GS時，有(x0)min

36、 二 .4b I a2bx234.設雙曲線-a曲線上任意一點，在 PF1F2中，記乙F,PF2 F,-卩卩汀2=2,斤卩2卩=容，則有sin 二ce.(sin 語一sin -) a2 2Xy35.經(jīng)過雙曲線 牙=1 (a0,b0)的實軸的兩端點 Ai和A?的切線，與雙曲線ab上任一點的切線相交于Pi和P2,則| PA | | PA2 | = b2.2x36.已知雙曲線一2 a1且 OP _OQ. (1)、|OP |22厲2S OPQ的最小值是 身2 .b -a2爲=1 (b a 0), O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點, b2D |OQ|2 a22 2g; (2) |OP|2+|OQ|2

37、的最小值為 fa b2 ； (3) bb- a22、乙12 - | 2 - 1a b是經(jīng)過雙曲線中心 O且平行于 MN的弦,2 2X丄_12 _- 1 a b237. MN是經(jīng)過雙曲線38. MN是經(jīng)過雙曲線中心O的半弦OP _ MN ,(a 0,b 0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若 AB則 | AB |2 = 2a| MN |.(a b 0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線則a|MN | |OP|2 239. 設雙曲線仔 每a b一點，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點,2交點N在直線I : x =上.m40. 設過雙曲線焦點 F作直線與雙曲線相交=1 ( a0,b0) ,M(m,

38、o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任則直線 A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點)的Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，M、N兩點，貝U MF丄NF.P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂 點，A1P和A2Q交于點 M , A2P和A1Q交于點 N，貝U MF丄NF.連結AP41 .P、和AQ分別交相應于焦點 F的雙曲線準線于 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點2x42.設雙曲線方程a共軛直線y = k x上，而且kk2 每=1,則斜率為k(k豐0)的平行弦的中點必在直線 l : y = kx的 b=2 .a43.設 A、B、C、D2 2xy22=1 ( a0,b o) 上四點ab直線A

39、B與CD相交于P,且2 . 2 |=：-a sin2.sin -為雙曲線,AB、CD所在直線的分別為，：，|PA | |PB | _ b2 cos2 1|PC | | PD | b2 co孑:-a2 244.已知雙曲線令 yra2 b2F1PF2的外(內)角平分線為不在雙曲線上，則=1 (a0,b0),點P為其上一點l，作F1、F2分別垂直I于R、S,F1,F 2為雙曲線的焦點,P跑遍整個雙曲線時,R、S形成的軌跡方程是x2 y2 a2(a3b(x _c)(a2 b2)x_b2c2 a4c2(x_c)y2 = (ab3c2y2)2).45 .設 ABC三頂點分別在雙曲線 丨上，且AB為丨的直徑

40、，I為AB的共軛直徑所在 的直線，I分別交直線AC、BC于E和F,又D為I上一點，貝U CD與雙曲線-相切的充要條件是D為EF的中點.2 246.過雙曲線 篤-爲=1 (a 0,b0)的右焦點 F作直線交該雙曲線的右支于M,Na b兩點，弦MN的垂直平分線交 x軸于P,則If匸！ =e| MN |22 2X y47 .設A ( X1 ,Y1)是雙曲線 2 =1( a 0,b 0)上任一點，過A作一條斜率為bL的距離，b2x1的直線L,又設d.r2d =ab.a是原點到直線2a Yi九“分別是 A到雙曲線兩焦點的距離，則48.已知雙曲線次與它們相交于A、49.已知雙曲線2 21丄=1 a2 b2

41、B、C、D 四點,AB |2 2x y .22=1 (a 0,b 0)a b(a 0,b0)2 2和務當=人(Ohcl ), 一條直線順 a b=|CD | .,A、B是雙曲線上的兩點，線段 AB的垂直a2 + b2平分線與50.x軸相交于點P(x0,0),則x0或x0 0)上異于實軸端點的任一點F2為其焦點記 F1PF2 ，則(1)|PF1|PF2|=1 2b . .(2) S PF1Fb2cot-.1cos 日1 2251. 設過雙曲線的實軸上一點B ( m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結 AP和AQ分別交相應于過 B點的直線 MN : X二n于M , N

42、兩點,2則.MBN 二 90；二= 一_ .a +mb (n +a)2 252. L是經(jīng)過雙曲線 篤-占=1 (a0,b0)焦點F且與實軸垂直的直線， A、B是a b1 雙曲線實軸的兩個焦點，e是離心率，點P L ,若.EPF二匚，則是銳角且sin 或e1ab：-arc sin (當且僅當| PH | 時取等號).ec2 2x Y53. L是經(jīng)過雙曲線 2=1 (a 0,b 0)的實軸頂點 A且與x軸垂直的直線，E、a bF是雙曲線的準線與 x軸交點，點P L , e是離心率， EPF二：-,H是L與X軸的交點11abc是半焦距，則是銳角且sin 或:0,b0)焦點F1且與x軸垂直的直線，E、

43、F是雙曲a b線準線與x軸交點，H是L與x軸的交點，點 P L , EPF，離心率為e,半焦距為11b f22c,則為銳角且sin 2或- arc sin 2 (當且僅當| PF1 | a c時取等號) eec2 255. 已知雙曲線 令-占=1 (a 0,b 0),直線L通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交 a b于A、B兩點，將A、B與雙曲線左焦點F1連結起來，則| F1A | | F1B |_ 如 2b）（當且僅當AB丄x軸時取等號）.2 256 .設A、B是雙曲線一22 =1a bPAB =二， PBA，BPA =22ab |cos： |（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點,e

44、分別是雙曲線的半焦距離心率，則有22a2b2(1) | PA |222.(2) tan : tan ： =1_e .(3) S PAB 22cot .|accos“b +a,c、2 2x y57. 設A、B是雙曲線2日（a0,b 0）a b點的區(qū)域）、外部的兩點，且 xA、xB的橫坐標xA xB這一支相交于 p、Q兩點，則.PBA=/QBA ; （2）P、Q 兩點，貝 U PBA . QBA =180；.2 2x y58. 設 A、B 是雙曲線一2 -1 （a 0,b 0）a b實軸上分別位于雙曲線一支內（含焦2-a ,（ 1）若過a點引直線與雙曲線 若過B引直線與雙曲線這一支相交于實軸上分別

45、位于雙曲線一支內（含焦點的區(qū)域），外部的兩點，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點，（若BP 交雙曲線這一支于兩點，則 P、Q不關于x軸對稱），且.PBA QBA，則點A、B的橫 坐標Xa、Xb滿足xa xa ； （2）若過B點引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點，且f2 PBA QBA =180,則點A、B的橫坐標滿足Xa x a .2 2x y59. 設代A是雙曲線 2 =1的實軸的兩個端點，QQ是與AA垂直的弦，貝U直線a b2 2x yAQ與AQ的交點P的軌跡是雙曲線 2 =12 260.過雙曲線令 = 1a ba b（a 0,b 0）的右焦點F作互相垂直的兩條弦AB

46、、CD,則8ab2市 W |CD|.2 261. 到雙曲線篤-氣ha2 b2222動點M的軌跡是姊妹圓（x二ec）亠y = （eb）.2 262. 至U雙曲線 與-告=1 （ a0,b0）的實軸兩端點的距離之比等于a b距）的動點M的軌跡是姊妹圓（x二a）2亠y2二b2.占=1 （a 0,b 0）的兩準線和x軸的交點的距離之比為c a （a 0,b 0）兩焦點的距離之比等于 - b（C為半焦距）的cab（C為半焦X263到雙曲線孑-b為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（x _a）2 y2 =（衛(wèi)）2 （e為離心率）.x264已知p是雙曲線?-be% =1 （a0,b0）上一個動點，A , A是它實軸的兩個端2 , 2 2x b y 點，且AQ _ AP , AQ _ A P，則Q點的軌跡方程是 41.a a65. 雙曲線的一條直徑（過中心的弦）的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項2 2x y66. 設雙曲線 2 =1 (a 0,b 0)實軸的端點為 A, A , P(x1, y1)是雙曲線上的點a bb2 Xf過P作斜率為一的直線I，過A,A分別作垂直于實軸的直線交I于M , M，則a yi(1)| A