高等數(shù)學(xué)：高斯公式 通量與散度

1、第六節(jié)第六節(jié) Green 公式公式Gauss 公式公式 推廣推廣 一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 三、通量與散度三、通量與散度 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度 第十章第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式 定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲由分片光滑的閉曲 上上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , zyx z R y Q x P ddd yxRxzQzyPdddddd zyx z R ddd yxRdd 下面先證下面

2、先證: 函數(shù)函數(shù) P, Q, R 在在面面 所圍成所圍成, 的方向取外側(cè)的方向取外側(cè), 則有則有 (Gauss 公式公式) 高斯高斯 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2 3 1 z y x yx D ) ,(yxR yxyxRdd) ,( , ),(: 11 yxzz 證明證明: 設(shè)設(shè) yx Dyxyxzyxzyxz ),(, ),(),(),(: 21 , 321 z z R yxz yxz d ),( ),( 2 1 yx D ),( 2 yxz ),( 1 yxz yxRdd yx D 2 zyx z R ddd yxdd 1 3 yxRdd 為為XY型區(qū)域型區(qū)域 ,

3、),(: 22 yxzz 則則 yxyxRdd) ,( yx D yx D ),( 2 yxzyxyxRdd) ,(),( 1 yxz 定理定理1 1 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 所以所以zyx z R ddd yxRdd 若若 不是不是 XY型區(qū)域型區(qū)域 , 則可引進(jìn)輔助面則可引進(jìn)輔助面 將其分割成若干個(gè)將其分割成若干個(gè) XY型區(qū)域型區(qū)域, 故上式仍成立故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消, 在輔助面在輔助面 類似可證類似可證 zyx y Q ddd yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P ddd xzQdd zyx x

4、P ddd zyPdd 三式相加三式相加, 即得所證即得所證 Gauss 公式：公式： 定理定理1 1 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意: 1.1.RQP,是對(duì)什么變量求偏導(dǎo)數(shù)是對(duì)什么變量求偏導(dǎo)數(shù); ; 2 2. .是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ; 3.3.是取閉曲面的外側(cè)是取閉曲面的外側(cè). . GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界 曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系. . .)coscoscos( )( dSRQP dv

5、 z R y Q x P 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式的另一由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式的另一 種形式：種形式： 例例1. 用用Gauss 公式計(jì)算公式計(jì)算 zyxzyyxyxdd)(dd)( 其中其中 為柱面為柱面1 22 yx 閉域閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里這里 利用利用Gauss 公式公式, 得得 原式原式 = zyxzyddd)( zrrzrddd)sin( (用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)) zzrrrd)sin(dd 3 0 1 0 2 0 2 9 x 3 o z 1 y ,)(xzyP , 0 QyxR 及平面及平面 z = 0 , z = 3

6、所圍空間所圍空間 思考思考: 若若 改為內(nèi)側(cè)改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化結(jié)果有何變化? 若若 為圓柱側(cè)面為圓柱側(cè)面(取外側(cè)取外側(cè)) , 如何計(jì)算如何計(jì)算? 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 利用利用Gauss 公式計(jì)算積分公式計(jì)算積分 SzyxId)coscoscos( 222 其中其中 為錐面為錐面 222 zyx h o z y x解解: 作輔助面作輔助面 ,: 1 hz ,:),( 222 hyxDyx yx 取上側(cè)取上側(cè) 1 (I 1 Szyxd)coscoscos)( 222 0, 2 1 上上在在 介于介于 z = 0 及及 z = h 之間部分的下

7、側(cè)之間部分的下側(cè). 1 , 記記 h 1 所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)?, , 則則 zyxzyxddd)(2yxh yx D dd 2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 zyxzyxIddd)(2 利用重心公式利用重心公式, 注意注意 0 yx zyxzddd2 4 h yxh yx D dd 2 4 2 1 h hz 0 2 2 z zd 4 h h o z y x h 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例3. .dddddd)( 2223 yxzxxzyzxzyxzxI 設(shè)設(shè) 為曲面為曲面21,2 22 zyxz取上側(cè)取上側(cè), 求求 解解

8、: 作取下側(cè)的輔助面作取下側(cè)的輔助面 1: 1 z 1:),( 22 yxDyx yx I 11 zyxddd yxxdd)( 2 xy D )1( 2 0 d 1 0dr 2 2 1 d r z 2 0 2 dcos 1 0 3 drr 12 13 1 z o x y 2 1 1 用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo) 用極坐標(biāo)用極坐標(biāo) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 coscoscos z v y v x v ),(, ),(yxvyxu 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上具有一階和上具有一階和 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林證明格林( Green )第一公式第一公式 Sd 例例4. 設(shè)

9、函數(shù)設(shè)函數(shù) uzyxddd u zyxddd x u y u y v z u z v 其中其中 是整個(gè)是整個(gè) 邊界面的外側(cè)邊界面的外側(cè). uP x v uQ y v uR z v 分析分析: zyx z R y Q x P ddd yxRxzQzyPdddddd x v 高斯公式高斯公式 2 2 2 2 2 2 z v y v x v 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證證: :令令uP , x v uQ , y v uR , z v 由高斯公式得由高斯公式得 2 2 2 2 2 2 z v y v x v u zyxddd coscoscos z v y v x v

10、 uSd 移項(xiàng)即得所證公式移項(xiàng)即得所證公式.(見見 P171) x u y u y v z u z v x v u yx z v xz y v zy x v dddddd 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 *二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 1. 連通區(qū)域的類型連通區(qū)域的類型 設(shè)有空間區(qū)域設(shè)有空間區(qū)域 G , 若若 G 內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G, 則稱則稱 G 為為空間二維單連通域空間二維單連通域 ; 若若 G 內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面的曲面

11、, 則稱則稱 G 為為空間一維單連通域空間一維單連通域 . 例如例如, 球面所圍區(qū)域球面所圍區(qū)域 環(huán)面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域 立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域 不是二維單連通區(qū)不是二維單連通區(qū) 域域 . 既是一維也是二維單連通區(qū)域既是一維也是二維單連通區(qū)域 ; 是二維但不是一維單連通區(qū)域是二維但不是一維單連通區(qū)域 ; 是一維但是一維但 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 閉曲面積分為零的充要條件閉曲面積分為零的充要條件 定理定理2. ),(),(),(zyxRzyxQzyxP設(shè)設(shè)在空間二維單在空間二維單 連通域連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)

12、內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 為為G內(nèi)任一閉曲面內(nèi)任一閉曲面, 則則 0dddddd yxRxzQzyP Gzyx z R y Q x P ),(,0 證證: “充分性充分性”. 根據(jù)高斯公式可知根據(jù)高斯公式可知是是的充分條件的充分條件. 的充要條件是的充要條件是: “必要性必要性”. 用反證法用反證法. 使使假設(shè)存在假設(shè)存在, 0 GM 0 0 M z R y Q x P 已知已知成立成立, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 因因P, Q, R 在在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) ,則存在鄰域則存在鄰域 ,)( 0 GM ,)( 0 上上使在使在M 0 z R

13、 y Q x P 的邊界為的邊界為設(shè)設(shè))( 0 M則由高斯公式得則由高斯公式得 yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P M ddd )( 0 0 與與矛盾矛盾, 故假設(shè)不真故假設(shè)不真. 因此條件因此條件是必要的是必要的. 取外側(cè)取外側(cè), 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、通量與散度三、通量與散度 引例引例. 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1, 速度場(chǎng)為速度場(chǎng)為 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 理意義可知理意義可知, 設(shè)設(shè) 為場(chǎng)中任一有向曲面為場(chǎng)中任一有向曲面, yxRxzQz

14、yPdddddd 單位時(shí)間通過曲面單位時(shí)間通過曲面 的流量為的流量為 則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為流量還可表示為 SRQPdcoscoscos Snvd 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 若若 為方為方向向外的閉曲面向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí), 說明流說明流入入 的流體質(zhì)量少于的流體質(zhì)量少于 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí), 說明流說明流入入 的流體質(zhì)量多于流的流體質(zhì)量多于流出出的的, 則單位時(shí)間通過則單位時(shí)間通過 的流量為的流量為 當(dāng)當(dāng) = 0 時(shí)時(shí), 說明流入與流

15、出說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等的流體質(zhì)量相等 . n 流流出出的的, 表明表明 內(nèi)有泉內(nèi)有泉; 表明表明 內(nèi)有洞內(nèi)有洞 ; 根據(jù)高斯公式根據(jù)高斯公式, 流量也可表為流量也可表為 zyx z R y Q x P ddd n 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方向向外的任一閉曲面方向向外的任一閉曲面 , 記記 所圍域?yàn)樗鶉驗(yàn)?, 設(shè)設(shè) 是是包含點(diǎn)包含點(diǎn) M 且且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性處的特性, M 在在式兩邊同除以式兩邊同除以 的體積的體積 V, 并令并令 以以 任意方式縮小至點(diǎn)任意方式縮小至點(diǎn) M 則有則有),(M 記作記作 VM limz

16、yx z R y Q x P VM ddd 1 lim ),( lim z R y Q x P M M z R y Q x P 此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M 的特點(diǎn)的特點(diǎn): 其值為正其值為正,負(fù)或負(fù)或 0, 分別反映在該點(diǎn)有流體涌出分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入吸入, 或沒有任何變化或沒有任何變化. ),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義: 設(shè)有向量場(chǎng)設(shè)有向量場(chǎng) kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 其中其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是是場(chǎng)內(nèi)的一片有向場(chǎng)內(nèi)的一片有向 則稱則稱曲面曲面,

17、 其單位法向量其單位法向量 n, SnAd 為向量場(chǎng)為向量場(chǎng) A 通過通過 有向曲面有向曲面 的的通量通量(流量流量) . 在場(chǎng)中點(diǎn)在場(chǎng)中點(diǎn) M(x, y, z) 處處 稱為向量場(chǎng)稱為向量場(chǎng) A 在點(diǎn)在點(diǎn) M 的的散度散度. 記作記作 Adiv z R y Q x P 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0div A表明該點(diǎn)處有正源表明該點(diǎn)處有正源, 0div A表明該點(diǎn)處有負(fù)源表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 0div A表明該點(diǎn)處無源表明該點(diǎn)處無源, 散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度. 0div A若向量場(chǎng)若向量場(chǎng) A 處處有處處有 , 則稱則稱 A

18、為為無源場(chǎng)無源場(chǎng). 例如例如, 勻速場(chǎng)勻速場(chǎng) ),(),(為常數(shù)為常數(shù)其中其中 zyxzyx vvvvvvv 0div v 故它是無源場(chǎng)故它是無源場(chǎng). P16 P16 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: 由引例可知由引例可知, 散度是通量對(duì)體積的變化率散度是通量對(duì)體積的變化率, 且且 * *例例5.5.置于原點(diǎn)置于原點(diǎn), 電量為電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 r r q E 3 .divE求求 解解: 3 r y y 3 r z z 3 5 22 r xr q 5 22 3 r yr 5 22 3 r zr 0 3 r x x ),( 3 zyx

19、 r q )0( r 計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符. )0( r 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 qEdiv 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 高斯公式及其應(yīng)用高斯公式及其應(yīng)用 公式公式: yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P ddd 應(yīng)用應(yīng)用: (1) 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧) (2) 推出閉曲面積分為零的充要條件推出閉曲面積分為零的充要條件: 0dddddd yxRxzQzyP 0 z R y Q x P 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

20、頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 通量與散度通量與散度 設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng) P, Q, R, 在域在域G內(nèi)有一階內(nèi)有一階 連續(xù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 則則 向量場(chǎng)通過有向曲面向量場(chǎng)通過有向曲面 的通量為的通量為 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為 ),(RQPA SnAd z R y Q x P A div 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 練練 習(xí)習(xí) 題題 五、設(shè)五、設(shè)),(,),(zyxvzyxu是兩個(gè)定義在閉區(qū)域是兩個(gè)定義在閉區(qū)域 上的上的 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), , n v n u ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向?qū)У耐夥ň€方向的方向?qū)?數(shù)數(shù) . . 證證明明: : dS n u v n v udxdydzuvvu)()( 其中其中 是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域 的整個(gè)邊界