立體幾何中的探索性問題

1、.立體幾何中的探索性問題一、探索平行關系12016棗強中學模擬 如圖所示，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件_，就有MN平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌弦粋€你認為正確的條件，不必考慮全部可能的情況) 答案：M位于線段FH上(答案不唯一)解析 連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FHDD1，HNBD，F(xiàn)HHNH，DD1BDD，平面FHN平面B1BDD1，故只要MFH，則MN平面FHN，且MN平面B1BDD1.2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(1)求直線BE和平面A

2、BB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結論解：(1)如圖所示，取AA1的中點M，連接EM，BM.因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD.(2分)又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，EBM為BE和平面ABB1A1所成的角(4分)設正方體的棱長為2，則EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，(5分)即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.(6分)(2)在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE.事實

3、上，如圖(b)所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接B1F，EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因此D1CA1B.又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EGD1C，從而EGA1B.這說明A1，B，G，E四點共面所以BG平面A1BE.(8分)因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1FBG，(10分)而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.(12分)3如圖，四棱錐PABCD中，PD平

4、面ABCD，底面ABCD為矩形，PDDC4，AD2，E為PC的中點(1)求三棱錐APDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由解析：(1)PD平面ABCD，PDAD.又ABCD是矩形，ADCD.PDCDD，AD平面PCD，AD是三棱錐APDE的高E為PC的中點，且PDDC4，SPDESPDC4.又AD2，VAPDEADSPDE24.(2)取AC中點M，連接EM，DM，E為PC的中點，M是AC的中點，EMPA.又EM平面EDM，PA平面EDM，PA平面EDM.AMAC.即在AC邊上存在一點M，使得PA平面EDM，AM的長為.4.如圖所

5、示，在三棱錐P ABC中，點D，E分別為PB，BC的中點在線段AC上是否存在點F，使得AD平面PEF？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：假設在AC上存在點F，使得AD平面PEF，連接DC交PE于G，連接FG，如圖所示AD平面PEF，平面ADC平面PEFFG，ADFG.又點D，E分別為PB，BC的中點，G為PBC的重心，.故在線段AC上存在點F，使得AD平面PEF，且.52016北京卷 如圖，在四棱錐P ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC.(2)求證：平面PAB平面PAC.(3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明

6、理由解：(1)證明：因為PC平面ABCD，所以PCDC.又因為DCAC，所以DC平面PAC.(2)證明：因為ABDC，DCAC，所以ABAC.因為PC平面ABCD，所以PCAB，所以AB平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF.因為E為AB的中點，所以EFPA.又因為PA平面CEF，所以PA平面CEF.62016四川卷 如圖，在四棱錐P ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.解：(1

7、)取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點理由如下：因為ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明：由已知，PAAB，PACD.因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD，從而PABD.因為ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD，所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.7.

8、2016陽泉模擬 如圖74110，在四棱錐PABCD中，BCAD，BC1，AD3，ACCD，且平面PCD平面ABCD.(1)求證：ACPD.(2)在線段PA上是否存在點E，使BE平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：(1)證明：平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，ACCD，AC平面ABCD，AC平面PCD，PD平面PCD，ACPD.(2)在線段PA上存在點E，使BE平面PCD，且.下面給出證明：AD3，BC1，在PAD中，分別取PA，PD靠近點P的三等分點E，F(xiàn)，連接EF，BE，CF.，EFAD，且EFAD1.又BCAD，BCEF，且BCEF，四邊形BCFE是平

9、行四邊形，BECF，又BE平面PCD，CF平面PCD，BE平面PCD.8(10分)2016河南中原名校聯(lián)考 如圖所示，在四棱錐S ABCD中，平面SAD平面ABCD，ABDC，SAD是等邊三角形，且SD2，BD2，AB2CD4.(1)證明：平面SBD平面SAD. (2)若E是SC上的一點，當E點位于線段SC上什么位置時，SA平面EBD？請證明你的結論(3)求四棱錐SABCD的體積解：(1)證明：SAD是等邊三角形，ADSD2，又BD2，AB4，AD2BD2AB2，BDAD，又平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD.BD平面SAD.又BD平面SBD，平面SBD平面SAD.(2)當E為

10、SC的三等分點，即ES2CE時，結論成立證明如下：連接AC交BD于點H，連接EH.CDAB，CDAB，HESA. 又SA平面EBD，HE平面EBD，SA平面EBD.(3)過S作SOAD，交AD于點O.SAD為等邊三角形，O為AD的中點，SO.易證得SO平面ABCD，V四棱錐S ABCDS梯形ABCDSO. S梯形ABCD(24)3，V四棱錐S ABCD3.二、探索垂直關系1如圖所示，在三棱錐P ABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動點，則下列說法錯誤的是()A當AEPB時，AEF一定為直角三角形B當AFPC時，AEF一定為直角三角形C當EF平面ABC時，AEF

11、一定為直角三角形D當PC平面AEF時，AEF一定為直角三角形答案：B解析 已知PA底面ABC，則PABC，又ABBC，PAABA，則BC平面PAB，BCAE.當AEPB時，又PBBCB，則AE平面PBC，則AEEF，A正確當EF平面ABC時，又EF平面PBC，平面PBC平面ABCBC，則EFBC，故EF平面PAB，則AEEF，故C正確當PC平面AEF時，PCAE，又BCAE，PCBCC，則AE平面PBC，則AEEF，故D正確用排除法可知選B.2如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點，點F在線段

12、AA1上，當AF_時，CF平面B1DF.答案：a或2a解析 由題意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可當CFDF時，設AFx，則A1F3ax.由RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.3如圖所示，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的正投影，給出下列結論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結論的序號是_答案：解析 由題意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB

13、，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正確4.如圖所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點.(1)求證：EF平面ABCD；(2)設M為線段C1C的中點，當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，DF平面D1MB？并說明理由解析：(1)證明：E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)當時，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分別是BD1，CC1的中點，F(xiàn)MAC.DFFM.D1DAD

14、，D1DBD.矩形D1DBB1為正方形F為BD1的中點，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.5.如圖(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖(2) (1) (2)(1)求證：DE平面A1CB.(2)求證：A1FBE.(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由解：(1)D，E分別為AC，AB的中點，DEBC.(2分)又DE平面A1CB，DE平面A1CB.(4分)(2)由已知得ACBC且DEBC，DEAC.DEA1D，DECD.DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，(6分

15、)DEA1F.又A1FCD，CDDED，A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，A1FBE.(9分)(3)線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQBC.又DEBC，DEPQ.平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，A1CDP.又DPDED，A1C平面DEP.(12分)從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C平面DEQ.(14分)6如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點(1)求證：AB1BF；(2)求證：AEBF；(3

16、)棱CC1上是否存在點P，使BF平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由解析：(1)證明：連接A1B，則AB1A1B，又AB1A1F，且A1BA1FA1，AB1平面A1BF.又BF平面A1BF，AB1BF.(2)證明：取AD中點G，連接FG，BG，則FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面BFG.又BF平面BFG，AEBF.(3)存在取CC1中點P，即為所求連接EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知AB1BF，BFEP.又由(2)知AEBF，且AEEPE，BF平面AEP.7如圖(1)所示，在RtABC中，ABC90，D為AC的中點，AEBD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于點F，將ABD沿BD折起，得到三棱錐A1BCD，如圖(2)所示(1)若M是FC的中點，求證：直線DM平面A1EF.(2)求證：BDA1F.(3)若平面A1BD平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由解：(1)證明：在題圖(1)中，因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，所以DM是ACF的中位線，所以DMEF，則在題圖(2)中，DMEF，又EF平面A1EF，D