矩陣可對角化的判定條件開題報告

1、矩陣可對角化的判定條件開題報告 開題報告矩陣可對角化的判定條件 選題的背景、意義 矩陣最初是作為研究代數學的一種工具提出的,但是經過兩個多世紀的發(fā)展,現在已成為獨立的一門數學分支?矩陣論。矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現代理論。矩陣及其理論現已應用于自然科學、工程技術、社會科學等許多領域。如在觀測、導航、機器人的位移、化學分子結構的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識別、計算機層析及 x 射線照相術等方面都有廣泛的應用。隨著現代數字計算機的飛速發(fā)展和廣泛應用,許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數和矩陣計算,成為從事科學研究和工程

2、設計的科技人員必備的數學基礎。 矩陣是一個重要的數學工具,不僅在數學中有廣泛的應用,在其他學科中也經常遇到。它在二十世紀得到飛速發(fā)展,成為在物理學、生物學、地理學、經濟學等中有大量應用的數學分支,現在矩陣比行列式在數學中占有更重要的位置。 矩陣對角化是矩陣論的重要組成部分,在矩陣論中占有重要的作用,研究矩陣對角化問題很有實用價值,關于矩陣對角化問題的研究,這方面的資料和理論已經很多。但是他們研究的角度和方法只是某個方面的研究,沒有進行系統(tǒng)的分類歸納和總結。因此,我就針對這方面進行系統(tǒng)的分類歸納和總結,對一些理論進行應用和舉例,給出算法。特別給出了解題時方法的選擇。 矩陣的應用在現代社會中是十分

3、廣泛的,本文圍繞有限維線性空間上的線性變換對角化問題與矩陣可對角化相互轉換進行研究.根據矩陣的多項式對矩陣對角化問題進行判斷,這種方法不僅為探討矩陣對角化提供了一個簡便的工具,也把矩陣和有限維空間相結合.在現代科技中,很多問題都是運用此類方式。 矩陣對角化問題只是矩陣理論中的一個小問題,但是一個基礎問題,這樣矩陣可對角化作為矩陣理論里的最基礎的知識,就顯得格外的重要.通過對高等代數,科學計算方法等有關資料的查閱和分析研究,為我們對判定矩陣的可對角化的條件提供了相關依據和理論. 文獻1和2介紹了廣義逆矩陣和一類特殊矩陣可對角化的判定條件,利用子空間關于矩陣的最小多項式研究了矩陣可廣義對角化的充要

4、條件,給出了一種更簡單的判別僅有兩個互異特征根的矩陣與對角陣相似以及求特征向量的方法。 文獻3總結了利用循回陣的性質找出一個矩陣可對角化的充要條件。任意階矩陣可以對角化的充要條件是相似于一個階循回陣, 形式最簡單的矩陣是對角陣。矩陣對角化是線性變換和化二次型到主軸上問題中經常遇到并需要解決的一個關鍵問題,但不是任何一個階矩陣都可以對角化。 文獻4總結了對矩陣的計算中用到了對角化的性質。該文詳細地分析了doolittle lu分解過程,基于分解過程的特點,在mpi(message-passing interface)并行環(huán)境下,提出了按直角式循環(huán)對進程進行任務分配的并行求解方法。實驗證明該方法可

5、以有效地減少進程間數據通信量,從而加快計算速度。 文獻5?7 闡述了矩陣可對角化的條件以及對實對稱矩陣的可對角化,從冪等陣及可交換陣的性質出發(fā),討論了矩陣可對角化的條件,并給出了矩陣只有兩個特征值的特殊情況下可對角化的一種簡單判別方法。矩陣可對角化在求矩陣的高次冪中有重要應用,矩陣的對角化有多種判別方法,定義了分塊矩陣的初等變換與初等分塊矩陣,給出了非滿秩情況下分塊矩陣可以對角化的條件。 文獻8-11在以往關于矩陣可對角化的判定條件的基礎上,利用矩陣可以對角化的判定,以及求矩陣的線性無關的特征向量完全可以歸納為矩陣乘法的原理,使得矩陣的特征值與特征向量同步求解,從而得出矩陣可對角化更為直接的簡

6、單判定,通過討論n階方陣可對角化的充要條件來簡化對其的判斷過程,在研究實矩陣三角化計算方法的基礎上給出了復系數矩陣上雙對角化的一種通用計算方法,以及方陣的另一種解釋。 文獻12?15作者引入了線性變換可亞對角化的定義,并給出了線性變換可亞對角化的充要條件,對多判定條件加以改進,得出更為直接的簡單判定對角化的條件。二、研究的基本內容與擬解決的主要問題 本文研究的基本內容為: 一、引言,主要包括課題研究的背景、研究意義等。 二、特殊矩陣的可對角化,包括方陣,單位矩陣,廣義逆矩陣,實對稱矩陣等等的求法。 三、n階矩陣的可對角化,包括求特征值,特征向量,n階矩陣最小多項式的算法。 四、矩陣的分解,包括

7、lu分解,doolittle分解和crout分解型, 運用矩陣分析的相關知識,可以很好分析可對角化的思路,有助于提高判定的有利條件和提高解題的速度。具備一定的專業(yè)外語知識和一定的計算方法能力,同時,具備一定的求解能力,能夠運用數學軟件,例如:matalab等軟件,對矩陣可對角化進行求解分析。 三、研究的方法與技術路線、研究難點,預期達到的目標 一、 先采用文獻研究法,搜集和閱讀大量的相關文獻,了解國內外的研究現狀,吸收新理念,并對資料進行分類整理。再通過實例分析,對實際矩陣進行分析、總結特殊矩陣的判定方法。 二、 研究的主要難點,如何找到恰當的方法,如何選擇最簡單的計算步驟對矩陣進行可對角化的

8、判定,并求解。 三、 預期達到的目標,通過本課題的研究,學習用求特征值和特征向量的基本方法對矩陣進行處理,將其矩陣對角化的思想應用于實際,能夠對大數據進行合理分解與計算,提高對矩陣對角化的分析判斷能力。四、論文詳細工作進度和安排第七學期第10周至第11周:收集資料,閱讀相關文獻,形成系統(tǒng)材料,完成文獻綜述;翻譯相關問題的外文文獻。第七學期第12周至第14周:深入分析問題,建立研究和解決問題的基本方案和技術路線,撰寫開題報告,修改定稿,簽署意見;上交文獻綜述、開題報告,外文翻譯。第七學期第15周至第16周:全面開展課題研究,按照研究方案和路線指導學生撰寫論文,完成論文初稿。第八學期第1周至第8周

9、:在導師的指導下,對論文進行第一次修改。第八學期第9周至第12周:對論文進行第二次修改,并完善定稿。第八學期第13周至第15周:做好畢業(yè)論文答辯準備事項,進行答辯。五、主要參考文獻1 王新哲,蔣艷杰. 矩陣廣義對角化的探討j. 大學數學,2009,4:140-144.2 張力宏,辛大偉.一類特殊矩陣可對角化的判別及特征向量的求法j. 大學數學, 2008,(4):134-136.3 曲春平.矩陣可對角化的充分必要條件j .遼寧省交通高等?？茖W校學報,2003,(3):50-51.4 黃明游,劉播,徐濤.數值計算方法m .北京:科學出版社,2005.5 丘維聲.高等代數(上)m .北京:清華大學

10、出版社,2005.6 賀福利,萬小剛,許德云.關于矩陣可對角化的幾個條件j .高等函授學報,2004,(1):14-16.7 李大林.分塊矩陣的對角化方法j .柳州職業(yè)技術學院學報,2002,(2):64-67.8 朱靖紅,朱永生.矩陣對角化的相關問題j .遼寧師范大學學報,2005,(3):383-384.9 王治萍.試論n階方陣的可對角化問題j .高等教育與學術研究,2009, 12 :158-160.10 高英.復系數矩陣的雙對角化方法j .高校講壇,2009, 23:548.11 辛向軍,呂紅杰.談談方陣的對角化教學j .四川教育學院學報,2009,1:115-116.12 周仲旺.線性變換可亞對角化的充要條件j .濰坊學院學報,2001,(2):15-17.13 向大晶.矩陣可對角化的簡單判定j