直線與平面垂直的判定教案

1、2.3.1 直線與平面垂直的判定教學(xué)內(nèi)容分析本課取自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修2人民教育出版社a版）第二章2.3.1.本節(jié)內(nèi)容是直線和平面垂直的概念發(fā)現(xiàn)、直線和平面垂直的判定定理的探索過(guò)程，是在學(xué)習(xí)了空間的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進(jìn)行的空間的另一種重要位置關(guān)系的學(xué)習(xí).垂直是立體幾何的核心概念之一.直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況，它既是直線與平面位置關(guān)系的深化，又是研究面面垂直、線面角、面面角的基礎(chǔ)，在教材中起到了承上啟下的作用，具有相當(dāng)重要的地位.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直觀感知、操作確認(rèn)，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理.教學(xué)難

2、點(diǎn)：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用.教學(xué)目標(biāo)解析知識(shí)與技能：1 經(jīng)歷對(duì)實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；2 通過(guò)直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.過(guò)程與方法：1、 類比空間的平行關(guān)系，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力.2、 在探索直線與平面垂直判定定理的過(guò)程中發(fā)展合情推理能力，同事感悟和體驗(yàn)“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無(wú)線轉(zhuǎn)化為有限”等劃歸的數(shù)學(xué)思想.3、 嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言）對(duì)定義和定理進(jìn)行準(zhǔn)確表述和合理轉(zhuǎn)換.情感、態(tài)度與價(jià)

3、值觀：經(jīng)歷線面垂直的定義和定理的探索過(guò)程，提高嚴(yán)謹(jǐn)與求實(shí)的學(xué)習(xí)作風(fēng)，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、直線與平面垂直定義的建構(gòu)（本環(huán)節(jié)是教學(xué)的第一個(gè)重點(diǎn)，是后面探究活動(dòng)的基礎(chǔ)，分三步進(jìn)行：）（1）創(chuàng)設(shè)情境感知概念多媒體展示圖片：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生尋找出其中線面垂直的位置關(guān)系.（旗桿與地面、橋墩與水面）師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生舉出身邊更多類似的例子.（如教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系，桌子的四只腳與地面的位置關(guān)系等）（2）觀察歸納形成概念思考：從直線與直線垂直、直線與平面平行的定義過(guò)程得到啟發(fā)，能否用一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的直線來(lái)定義這條直線與這個(gè)平面垂直呢？

4、結(jié)合問(wèn)題(1)和(2)觀察動(dòng)畫(huà)演示：在陽(yáng)光下直立于地面的旗桿ab及它在地面的影子bc的位置變化.問(wèn)題(1)：旗桿所在的直線ab與影子所在的直線bc的位置關(guān)系是什么？問(wèn)題(2)：旗桿ab與地面內(nèi)任意一條不過(guò)旗桿底部b的直線b1c1的位置關(guān)系又是什么？由此可以得到什么結(jié)論？（師生活動(dòng)：在多媒體演示時(shí)，先展示動(dòng)畫(huà)1使學(xué)生感受到旗桿ab所在直線與過(guò)點(diǎn)b的直線都垂直.再展示動(dòng)畫(huà)2引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿ab所在直線與地面內(nèi)任意一條不過(guò)點(diǎn)b的直線b1c1也垂直.）引導(dǎo)學(xué)生歸納直線與平面垂直的定義、介紹相關(guān)概念，并引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表示.定義：如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)

5、直線l與平面互相垂直，記作：直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)p叫做垂足.l. 用符號(hào)語(yǔ)言表示為：（師生活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位討論交流，互相補(bǔ)充，并派代表作答，教師補(bǔ)充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，同時(shí)給出直線與平面垂直的記法，并引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表示.）學(xué)生畫(huà)圖：引導(dǎo)學(xué)生將地面看成平面，旗桿看做直線畫(huà)出旗桿與地面位置關(guān)系的幾何圖形.（師生活動(dòng)：學(xué)生練習(xí)本上畫(huà)圖，教師針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，如不直觀、不標(biāo)字母等加以強(qiáng)調(diào).）（3）辨析討論深化概念辨析1：下列命題是否正確，為什么？（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么

6、這條直線與這個(gè)平面垂直.（2）如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線.（師生活動(dòng)：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生利用手中的筆和三角板，筆表示直線，三角板兩直角邊表示兩垂直直線，桌面表平面，將三角板的一條直角邊ac放在桌面上，這時(shí)另一條直角邊bc就和桌面內(nèi)的一條直線（即三角板與桌面的交線ac）垂直，在此基礎(chǔ)上在桌面內(nèi)放一只和ac平行的筆ef并平行移動(dòng)，那么bc始終和ef垂直，但bc不一定和桌面垂直，最后教師給出反例的直觀圖1.）圖1由（2）給出下列常用命題：指出它是判斷直線與直線垂直的常用方法，它將直線與直線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定一條直線垂直于另一條直線所在的平面.設(shè) 計(jì) 意

7、 圖從實(shí)例到圖片再到實(shí)際生活，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，從而建立初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”與“降維”的思想來(lái)思考問(wèn)題，直線和平面垂直的問(wèn)題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的關(guān)系通過(guò)觀察思考，感知直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵 充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高抽象概括能力，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅從具體到抽象，引導(dǎo)學(xué)生完成抽象與具體之間的相互轉(zhuǎn)換通過(guò)問(wèn)題辨析與討論，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性.由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意”和“無(wú)數(shù)”的不同.由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，“直線與直線垂直”和“直線與平面垂直”可以相互轉(zhuǎn)化.一、直

8、線與平面垂直的判定定理的探究（1）動(dòng)手操作得出定理問(wèn)題：如何將一張長(zhǎng)方形賀卡直立于桌面？a.折紙實(shí)驗(yàn)：如圖，讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過(guò)abc的頂點(diǎn)a翻折紙片，得到折痕ad，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（bd、dc與桌面接觸），進(jìn)行觀察并思考：?jiǎn)栴}折痕ad與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕ad與桌面所在的平面垂直？（師生活動(dòng)：在折紙?jiān)囼?yàn)中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)這兩類學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因.學(xué)生再次折紙，經(jīng)過(guò)討論交流，發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕ad是bc邊上的高，即adbc，翻折后折痕ad與桌面垂直.）問(wèn)題由折痕a

9、dbc，翻折之后垂直關(guān)系發(fā)生變化嗎？（即adcd，adbd發(fā)生變化嗎？）由此你能得到什么結(jié)論？（師生活動(dòng)：師生共同分析折痕ad是bc邊上的高時(shí)的實(shí)質(zhì)：ad是bc邊上的高時(shí)，翻折之后垂直關(guān)系不變，即adcd，adbd.這就是說(shuō)，當(dāng)ad垂直于桌面內(nèi)的兩條兩條相交直線cd、bd時(shí)，它就垂直于桌面.）b多媒體演示翻折過(guò)程.c歸納出直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.用符號(hào)語(yǔ)言表示為： （師生活動(dòng)：在歸納直線與平面垂直的判定定理時(shí)，先讓學(xué)生交流討論不完善的地方教師引導(dǎo)、補(bǔ)充完整，歸納出線面垂直的判定定理.然后要求學(xué)生試用圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示定理，

10、指出定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.）（2）嘗試練習(xí)，鞏固定理例1如圖2.3-1，已知ab，a，求證：b.(課本中的例1)(師生活動(dòng)：此題是課本中的例1，有一定難度，教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可用判定定理證，也可利用定義證，提示輔助線的添法，學(xué)生練習(xí)本上完成，對(duì)照課本例1,完善自己的解題步驟，讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.指出：命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個(gè)判定方法.)（2.3-1） （2.3-2）練習(xí)：如圖2.3-2，在正方體abcd-abcd中，1.

11、列舉與平面abcd垂直的直線.2.列舉與直線aa垂直的平面.3.找出一條與對(duì)角面aacc垂直的直線.考慮直線bd與ac的關(guān)系.通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕ad與桌面垂直的條件：ad垂直桌面內(nèi)兩條相交直線.問(wèn)題吸引學(xué)生注意力，為推出重點(diǎn)做準(zhǔn)備.b增設(shè)動(dòng)態(tài)演示模擬實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生更加清楚看到“平面化”的過(guò)程，在已有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上加以確認(rèn)定理c讓學(xué)生在自己的實(shí)踐中感受數(shù)學(xué)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在討論交流中激發(fā)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性例1使學(xué)生對(duì)線面垂直認(rèn)識(shí)由感性上升到理性；同時(shí)，展示了平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，給出判斷線面垂直的一種間接方法，為今后多角度研究問(wèn)題提供思路.三、直線和平面所成的

12、角探究：課本p66如圖，直四棱柱abcd-abcd中，直線ac叫做平面abcd的什么呢？它們的位置關(guān)系如何刻畫(huà)呢？（師生活動(dòng)：由探究引入平面的斜線以及直線和平面所成的角）例2正方體中，求直線ab和平面abcd所成的角. 師生共同探討解題方法.四、總結(jié)反思提高認(rèn)識(shí)（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）線面角的概念及范圍；（3）本節(jié)課涉及到哪些數(shù)學(xué)思想和方法？（師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)完善，以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖歸納出判斷直線與平面垂直的方法即可用定義，判定定理或例3的結(jié)論，說(shuō)明本課蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、類比、歸納、猜想等數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)調(diào)“平面化”是解決立體幾何問(wèn)題的一般思路.）通過(guò)小結(jié)使本節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.五、布置作業(yè)自主探究必做題：1.課本p74 練習(xí)2；2.課本p87 b組 2題.選